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山东省德州市2014年高考仿真3月模拟冲刺试卷一(数学理)


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试卷类型:A

山 东 省 2014 年 高 考 仿 真 模 拟 冲 刺 卷 ( 一 )

理科数学
满分 150 分
参考公式: 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概 率: Pn (k ) ? Cn
k

/>
考试用时 120 分钟

p k (1 ? p) n?k (k ? 0,1,2,?, n).

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

b 为纯虚数”的 i





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 3} , B ? {x | x

? 3x ? 4 ? 0} ,则集合 A ? B =
( )

A. {x | ?2 ? x ? 4} C. {x | ?2 ? x ? ?1}

B. {x | ?1 ? x ? 3} D. {x | 3 ? x ? 4}

?y ? 2 ? 3.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 4.等差数列 B.11 C.3 D.-1





?an ? 中,若 a7

a5

?

S 9 ,则 13 ? S9 13
D. 2





13 9 C. 9 13 ??? ? ??? ? BC = 1 则 BC= 5.在△ ABC 中,AB=2,AC=3, AB?
A. 1 B. A. 2

( D.



2

B.

7

C.

3

23

6.已知命题 p :函数

y ? 2 ? a x?1 恒过(1,2)点;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,则 f ( x) 的
( ) B. ? p ? ? q

图像关于直线 x ? 1 对称,则下列命题为真命题的是 A. p ? q

C. ? p ? q

D. p ? ?q

7 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意

x1, x2 ??0, ??? , 且 x1 ? x2 , 都 有
( )

( x1 ? x2 ) [ f ( x ) 1 ?

,则 f (2 x? )] 0

A. f (3) ? f (?2) ? f (1) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2) 8.在某跳水运动员的一项跳水实验中,先后要完成6个动作,其中动作P只能出现在第一步或最后一 步,动作Q和R实施时必须相邻,则动作顺序的编排方法共有 A.96 种 C.24 种 B.48 种 D.144 种 是腰长为 ( )

9. 一个几何体的三视图如图所示, 其中主视图和左视图

1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积 为 A. 12? C. 3? 10. 如果函数 f ( x) ? ? ( )

B. 4 3? D. 12 3?

2a 1 并且l与圆C:x2 ? y 2 ? 1 相 ln( x ? 1) 的图象在 x ? 1 处的切线l过点 (0, ? ) , b b
( ) B.在圆外 D.不能确定

离,则点(a,b)与圆C的位置关系是 A.在圆内 C.在圆上

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知函数 12.若

f ? x ? 的定义域为 ? ?1,0? ,则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为



?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2( a ? 1) ,则 a 的值是 x 1 b且, 2

C? c s i n B cos A ? 13 . 在 ?ABC , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 为 a, b ,c . a s i n B cos
a ? b ,则 ?B ? . 1 2 14.若存在实数 x ? [ , 2] 满足 2 x ? a ? ,则实数 a 的取值范围是 3 x



15. 已知点 P 是△ ABC 的中位线 EF 上任意一点, 且 EF//BC, 实数 x, y 满足 PA ? x PB ? y PC ? 0 。 设△ ABC, △ PBC, △ PCA, △ PAB 的面积分别为 S, S1, S2, S3, 记 S1 ? ?1 , S 2 ? ?2 , S3 ? ?3 , 则?2 · ?3 S S S 取最大值时, 2 x ? y 的值为_____________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分)中学联盟网 在 ?ABC 中, a =3, b =2 (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值.

6 , ? B =2 ? A .

17. (本题满分 12 分) 某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概 率为 0.08,只选修甲和乙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ? 表示该学生选修的 课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (Ⅰ)记“函数

f ( x) ? x 2 ? ? x 为 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率;

(Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 12 分) 如图, 在四面体 A ? BCD 中,AD ? 平面 BCD ,BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC . (Ⅰ)证明: PQ // 平面 BCD ;
0 (Ⅱ)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ,求 ?BDC 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1

1 a 1 ? , n?1 ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn

? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

20. (本小题满分 13 分) 椭圆 C :

x2 y 2 3 ,过 F ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 1 且垂直于 x 2 a b 2

轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 连接 PF 设 ?F 1 , PF2 , 1PF 2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设 直线 PF 1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 值.

1 1 ? 为定值,并求出这个定 kk1 kk2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 ,曲线 y ? f ( x) 在 f (x) ? ln x x? k ( k 为常数, e ? 2.71828... 是自然对数的底数) e

点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设

g(x) ? (x2 ? x) f '(x) , 其 中 f '(x )是 f ( x) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 x ? 0 ,

g(x) ? 1 ? e?2 .

山 东 省 2014 年 高 考 仿 真 模 拟 冲 刺 卷 参 考 答 案
理科数学(一)
一、选择题: BDBAC 二、填空题: 11. ? ?1, 三、解答题 16.解 (I)因为 a=3,b=2 所以 BCACA

? ?

1? ? 2?

12.

2

13.

? 6

14. ( ?? ,

20 ) 3

15.

3 2

6 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 . ? sin A sin 2 A

2sin A cos A 2 6 6 .故 cos A ? . ? sin A 3 3 6 3 2 (II)由(I)知 cos A ? ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? .又因为∠B=2∠A, 3 3 1 2 2 2 2 所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ? .所以 sin B ? 1 ? cos B ? 。 3 3 5 3 在△ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? . 9 a sin C ?5 所以 c ? sin A 17.解: (1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x 、 y 、 z
? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08, ? x ? 0.4 ? ? 解得? y ? 0.6 ? xy(1 ? z ) ? 0.12, ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88, ? z ? 0 .5 ? ?
若 函数 依题意得

f ( x) ? x 2 ? ?x 为 R 上 的 偶 函 数 , 则

? =0,当 ? =0 时,
表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24 ,∴事件 A 的概率为 0.24 。 2 则 ? 的分布列为 (2)依题意知 ? ? 0,

?
P

0

2

0.24 0.76 ? E ? ? 0 ? 0 . 24 ? 2 ? 0 . 76 ? 1.52 。 ∴ 的数学期望为
18.解: ((Ⅰ)方法一:如图 6,取 MD 的中点 F ,且 M 是 AD 中点,所以 AF ? 3FD .因为 P 是 BM 中点 , 所以 PF / / BD ; 又因为(Ⅰ) AQ ? 3QC 且 AF ? 3FD , 所以 QF / / BD , 所以面

PQF / / 面 BDC ,且 PQ ? 面 BDC ,所以 PQ / / 面 BDC ;

方法二:如图 7 所示,取 BD 中点 O ,且 P 是 BM 中点,所以 PO / / 使 DH ? 3CH ,且 AQ ? 3QC , 所以 QH / /

1 MD ;取 CD 的三等分点 H , 2

OH ? BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ; (Ⅱ)如图 8 所示,由已知得到面 ADB ? 面 BDC ,过 C 作 CG ? BD 于 G ,所以 CG ? BMD , 过 G 作 GH ? BM 于 H , 连接 CH , 所以 ?CHG 就是 C ? BM ? D 的二面角 ; 由已知得到 BM ? 8 ? 1 ? 3 ,设 ?BDC ? ? ,所以 CD CG CB ? cos ? ,sin ? ? ? ? CD ? 2 2 cos ? , CG ? 2 2 cos ? sin ? , BC ? 2 2 sin ? , , BD CD BD BG ? BG ? 2 2 sin 2 ? , 所 以 在 RT ?BHG 中 , 在 RT ?BCG 中 , ?BCG ? ? ? sin ? ? BC

1 1 AD / / MD ,所以 PO/ /QH ? PQ / / OH ,且 4 2

1 2 2 sin2 ? ,所以在 RT ?CHG 中 ? ? HG ? 3 2 2 sin 2 ? 3 HG
CG 2 2 cos ? sin ? ? HG 2 2 sin 2 ? 3 ? ? ? tan ? ? 3 ?? ? (0,90 ) ?? ? 60 ??BDC ? 60? . tan ?CHG ? tan 60? ? 3 ?

19、解: (1)∵

a n ?1 1 1 1 1 ? ,∴数列{ an }是首项为 ,公比为 的等比数列,∴ an ? ( ) n (n ? N * ) . an 4 4 4 4

(2)∵ bn ? 3 log1 an ? 2 ,∴ bn
4

1 ? 3log 1 ( )n ? 2 ? 3n ? 2 .∴n≥2 时,bn—bn-1=3,∴ b1 ? 1 , 4 4

公差 d=3,∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.

1 1 (3)由(1) 、 (2)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * )∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) . 4 4 1 1 2 1 3 1 n?1 1 n ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ?? (3n ? 5) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) , ① 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ② 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 2 12n ? 8 1 n?1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .∴ S n ? ? ? ( ) (n ? N * ) . 2 4 3 3 4

x2 y 2 b2 y ? ? ? ? 1 由于 c 2 ? a 2 ? b2 将 x ? ?c 代入椭圆方程 a 2 b 2 a 20.解:(Ⅰ) , 得 2b2 ?1 2 由题意知 a 即 , a ? 2b
又e ?

c 3 ? a 2

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 所以 a ? 2 b ? 1 4 , ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? = ???? ? ???? ? , ???? = ???? ? , 设 P( x0 , y0 ) 其 中 (Ⅱ) 由 题 意 可 知 : ???? ???? | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
2 2 3 2 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4x0 ? 4, ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 x0 3 3 3 所以 m ? x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x0 x y0 y0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? , k2 ? ? ,代入 中得 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
21.

1 ? ln x ? k (Ⅰ) f '( x) ? x ,依题意, f '(1) ? 1 ? k ? 0 ? k ? 1 为所求. e ex
1 ? ln x ? 1 ( x?0) (Ⅱ)此时 f '( x) ? x ex 记 h( x) ? 1 ? ln x ? 1 , h '( x) ? ? 1 ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0 , ??) 单减,又 h(1) ? 0 , x x2 x 所以,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '( x) ? 0 , f ( x) 单增; x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f ( x) 单减. 当
所以,增区间为(0,1) ; 减区间为(1, ??) . (Ⅲ) g ( x) ? ( x 2 ? x) f

'(x) ? 1 ?x x ? (1 ? x ln x ? x) ,先研究 1 ? x ln x ? x ,再研究 1 ?x x . e e

① 记 i( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? 0 , i '( x) ? ? ln x ? 2 ,令 i '( x) ? 0 ,得 x ? e ?2 ,

当 x ? (0 , e?2
?2

) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单增; 当 x ? (e , ??) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单减 . 所以, imax (x) ? i(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,即 1 ? x ln x ? x ? 1 ? e?2 .

j(x) ? 1 ?x x , x ? 0 , j '( x) ? ? xx ? 0 ,所以 j( x) 在 (0 , ??) 单减, e e 所以, j( x) ? j(0) ? 1,即 1 ?x x ? 1 e 1 ? x 综①、②知, g(x) ? x (1 ? x ln x ? x) ? 1 ?x x (1 ? e?2 ) ? 1 ? e?2 . e e
② 记


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