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【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化精练提能 理


第一部分专题五 解析几何 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化 精练提能 理
y2 1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2-k 2k-1 x2
)

?1 ? A.? ,2? ?2 ?
C.(1,2)

B.(1,+∞)

?1 ? D.? ,

1? ?2 ? 解析:选 C.由题意可得,2k-1>2-k>0, ? ?2k-1>2-k, 即? 解得 1<k<2, ?2-k>0, ? 故选 C.
3 2. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3, 0), 离心率等于 , 则 C 的方程是( 2 A. - =1 4 5 C. - =1 2 5 )

x2

y2

B. - =1 4 5

x2 y2 x2

D. - =1 2 5 解析:选 B.右焦点为 F(3,0)说明两层含义:双曲线的焦点在 x 轴上;c=3.又离心率 c 3 x2 y2 2 2 2 2 2 为 = ,故 a=2,b =c -a =3 -2 =5,故 C 的方程为 - =1,故选 B. a 2 4 5 2 3. 抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F, O 为坐标原点, M 为抛物线上一点, 且|MF|=4|OF|, △MFO 的面积为 4 3,则抛物线方程为( ) 2 2 A.y =6x B.y =8x 15 2 2 C.y =16x D.y = x 2 p p 3p 解析:选 B.依题意,设 M(x,y),|OF|= ,所以|MF|=2p,x+ =2p,x= ,y= 3 2 2 2 1 p p,又△MFO 的面积为 4 3,所以 ? ? 3p=4 3,p=4,所以抛物线方程为 y2=8x. 2 2 4.(2015?南昌模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶 点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 ( ) A. C. 2 2 B. 3 2 6 |F1F2|,则椭圆 C 的离心率 e= 6

x2 y2

y2

x2 y2 a b

2 3 D. 3 3 解析:选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a),由于直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0,所以 ab 6 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 = c,又 b =a -c ,所以 3a -7a c +2c =0,解得 a =2c 或 3a =c (舍去),所 2 2 3 a +b 以 e= 2 ,故选 A. 2

1

5 x y 的双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右 2 a b 焦点为 F,O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线相交于 O,A 两点,若 △AOF 的面积为 4,则 a 的值为( ) A.2 2 B.3 C.4 D.5 2 5 b 1 |AF| b 1 ?b? 解析:选 C.因为 e= 1+? ? = ,所以 = , = = ,设|AF|=m,|OA|=2m, 2 a 2 |OA| a 2 ?a? 5.(2015?商丘市双基测试)已知离心率 e= 1 c 5 2 2 由面积关系得 ?m?2m=4,所以 m=2,由勾股定理,得 c= m +(2m) =2 5,又 = , 2 a 2 所以 a=4,故选 C. 6.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 解析:选 D.

2

2

不妨取点 M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|BM| =|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°, 所以 M 点的坐标为(2a, 3a). 2 2 4a 3a 因为 M 点在双曲线上,所以 2 - 2 =1,a=b,

x2 y2 a b

a

b

所以 c= 2a,e= = 2.故选 D. 7.(2014?高考北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x =1 具有相同渐近线,则 4 C 的方程为________;渐近线方程为________. 解析:设双曲线 C 的方程为 -x =λ ,将点(2,2)代入上式,得 λ =-3,所以 C 的 4 方程为 - =1,其渐近线方程为 y=±2x. 3 12 答案: - =1 3 12

c a

y2

2

y2

2

x2

y2

x2

y2

y=±2x

x2 y2 3 8.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径 a b 3 的圆与直线 y=x+2 相切,则椭圆的标准方程为________.
解析: 由以原点为圆心、 椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切, 得 b= 又离心率为
2 2

2

= 2. 2

3 , 3
2

所以 a =3c =3(a -2),得 a= 3,

2

故椭圆的标准方程为 + =1. 3 2 答案: + =1 3 2 → → 2 9.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,△ABC 的顶点都在抛物线上,且满足FA+FB+ 1 1 1 → FC=0,则 + + =________.

x2 y2

x2 y2

kAB kBC kCA

? ? 解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F? ,0?, ?2 ?
p

? ? ? ? ? ? 则?x1- ,y1?+?x2- ,y2?+?x3- ,y3?=(0,0), 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 故 y1+y2+y3=0. 1 x2-x1 因为 = kAB y2-y1 1 2 2 (y2-y1) 2p y2+y1 = = , y2-y1 2p 1 y3+y2 1 y3+y1 同理可知 = , = , kBC 2p kCA 2p 2(y1+y2+y3) 所以原式= =0. 2p 答案:0
p p p x2 y2 2 a b 点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则椭圆的离心率是________. x2 y2 2 解析:依题意,抛物线 y =4px(p>0)的焦点 F(p,0)也是椭圆 2+ 2=1(a>0,b>0)的焦 a b 2 2 2 点,所以 a =b +p .因为点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,横坐标为 p,代入抛物线方程 2 p2 4p2 p2 4p 2 2 2 得 A(p, 2p)或 A(p, -2p), 将其代入椭圆方程中得 2+ 2 =1, 又 a =b +p , 所以 2+ 2 a b a a -p2 2 4p 2 2 2 2 2 2 a p 2 p p 4p p 4e 2 2 =1.而椭圆的离心率 e= , e = 2, 所以 2+ 2 2= 2+ 2 =e + 得 e =3±2 2. 2=1, a a a a -p a a -p2 1-e a2
10. (2015?日照二模)已知椭圆 2+ 2=1(a>0, b>0)与抛物线 y =4px(p>0)有相同的焦 又因为椭圆离心率的取值范围为(0,1),所以 e =3-2 2=( 2-1) ,即 e= 2-1. 答案: 2-1 11.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点, |AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16, |AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得 |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
3
2 2

x2 y2 a b

在△ABF2 中,由余弦定理可得 2 2 2 |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|?|BF2|?cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)?(2a-k), 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0. 而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 2 2 2 因此|BF2| =|F2A| +|AB| ,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 2 c 2 从而 c= a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2 1 2 12.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,其中一个顶点是抛物线 x 2 =-4 3y 的焦点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M,求直线 l 的方程和点 M 的坐标.

x2 y2 解:(1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c 1 由题意得 b= 3, = , a 2 解得 a=2,c=1. x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1.

4 3 (2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切,所以直线 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1(k≠0).

x y ? ? + =1, 由? 4 3 ? ?y=k(x-2)+1,
得(3+4k )x -8k(2k-1)x+16k -16k-8=0.① 因为直线 l 与椭圆 C 相切, 2 2 2 所以 Δ =[-8k(2k-1)] -4(3+4k )(16k -16k-8)=0. 1 整理,得 96(2k+1)=0,解得 k=- . 2 1 1 1 所以直线 l 的方程为 y=- (x-2)+1=- x+2.将 k=- 代入①式, 可以解得 M 点的 2 2 2 ? 3? 横坐标为 1,故切点 M 的坐标为?1, ?. ? 2? 13.(2015?北京西城二模)如图,椭圆 C:x + =1(0<m<1)的左顶点为 A,M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.
2 2 2 2

2

2

y2 m

?9 4 3? (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 m 的值; ?5 5 ? (2)若椭圆 C 上存在点 M,使得 OP⊥OM,求 m 的取值范围. 解:(1)依题意,M 是线段 AP 的中点,
4

?9 4 3? 因为 A(-1,0),P? , ?, ?5 5 ? ?2 2 3? 所以点 M 的坐标为? , ?. ?5 5 ? 由点 M 在椭圆 C 上, 4 12 4 所以 + =1,解得 m= . 25 25m 7
y2 0 (2)设 M(x0,y0),则 x + =1,① m 且-1<x0<1. 因为 M 是线段 AP 的中点,所以 P(2x0+1,2y0). 2 因为 OP⊥OM,所以 x0(2x0+1)+2y0=0.② 2 2x0+x0 由①②消去 y0 整理得 m= 2 , 2x0-2
2 0

1 1 3 所以 m=1+ ≤ - , 6 2 4 2(x0+2)+ -8 x0+2 当且仅当 x0=-2+ 3时,上式等号成立, 3? ? 1 所以 m 的取值范围是?0, - ?. ? 2 4?

x2 y2 a b l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,
4 因为 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|= a. 3

14.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直线

l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组 ?y=x+c,

? 2 2 ?x y 2+ 2=1, ? ?a b
2

化简得(a +b )x +2a cx+a (c -b )=0, 2 -2a c a2(c2-b2) 则 x1+x2= 2 , x x = . 1 2 a +b2 a2+b2 因为直线 AB 的斜率为 1, 2 所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[(x1+x2) -4x1x2]. 2 4 4ab 2 2 故 a= 2 2,得 a =2b , 3 a +b

2

2

2

2

2

2

c a2-b2 2 = . a a 2 (2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x1+x2 -a2c 2 c x0= = 2 =- c,y0=x0+c= . 2 a +b 2 3 3 由|PA|=|PB|,得 kPN=-1, y0+1 即 =-1, x0
所以 E 的离心率 e= =
5

得 c=3,从而 a=3 2,b=3. 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9

x2

y2

6


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