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河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)-word版含答案

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高中数学竞赛试卷(高三年级组) (时间:8 月 30 日上午 8:30-11:30) 一、填空题 l n a) ? f ( l n 1、已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 1 (a ? 0) , 则 f( 1 ) ? ____________. a 2、A,B 两点分别在抛物线 y 2 ? 6 x 和 ⊙C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上,则 AB 的取值范围是 ____________. 3、若 tan? ? 3 tan β ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,则 ? ? ? 的最大值为____________. 2? 4、已知△ ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角,AC=BC=1,过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB,使得 DB=1,在 DA、DC 上分别取点 E、F,则△ BEF 周长的最小值为____________. 5、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ,对任意的 m ? ?? 2,2?, f (mx? 8) ? f (2 x ) ? 0 恒成立,则正 . 实数 ..x 的取值范围为____________. 6、已知向量 a,b,c 满足 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3(k ? N * ) ,且 b ? a ? 2(c ? b) ,若 ? 为 a,c 的夹 角,则 cos? 的值为____________. 7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为 ____________. 8、将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无 论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题 9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 向 量 p ? ?sin A ? sin C, sin B? ,向量 q ? (a ? c, b ? a) ,且满足 p ? q . (Ⅰ)求△ ABC 的内角 C 的值; (Ⅱ)若 c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ ABC 的面积. 2 10.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ?满足: a1 ? 2,an?1 ? an ? 2an . (1)求证:数列 ?lg( an ? 1)?是等比数列,并求 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ? 1 1 ,且数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . ? an an ? 2 x 11.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e ? ax ? a .(e 是自然对数的底数) (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求 a 的取值范围; ? 2015 1008 ) ?e 2. 2016 1 (Ⅱ)求证: ( 12.(本小题满分 14 分)已知:如图,两圆交于 A、B 两点,CD 为他们的一条外公切线,切点 分别为 C、D.过 A 任意做一条直线分别交两圆于 E、F,EC 交 FD 于 P. 求证:PB 平分∠EBF. P D F C A E B 13.(本小题满分 15 分)设正数 x,y 满足 x3 ? y3 ? x ? y ,求使 x 2 ? λ y2 ? 1 恒成立的实数 ? 的 最大值. 14.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C

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