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2012级龙湾中学高一数学周考练习4


2012 级龙湾中学高一数学周练习(四)
集合与函数概念
班级_________________姓名_________________ 一、选择题 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? ( x , y ) | ?
? ? =1 ? x- 2 ? y- 3



P={(x,y)|

y≠x+1},那么 CU(M∪P)等于( A. ? C.(2,3)

). B.{(2,3)} D.{(x,y)| y=x+1} ). D.0 或 1 或 2 ). D.1 或 2 ). D.2x+7

2.若 A={a,b},B ? A,则集合 B 中元素的个数是( A.0 B.1 C.2

3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( A.1 B.0 C.0 或 1

4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3

5. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 所示,则( ). B.b∈(0,1) D.b∈(2,+∞)
? x 2+ bx + c , x ≤ 0 ? c , x> 0
(第 5 题)

A.b∈(-∞,0) C.b∈(1,2) 6.设函数 f(x)= ?

, 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方

程 f(x)=x 的解的个数为( A.1

). B.2 C.3 D.4

7.设集合 A={x | 0≤x≤6},B={y | 0≤y≤2},下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射 的是( ).
1 2

A.f:x→y=

x

B.f:x→y= x
3

1

C.f:x→y=

1 4

x

D.f:x→y=

1 6

x

8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称;
第 1 页

④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ). C.3 ). B.递增函数 D.先递增再递减 ). D.4

9.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增

10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 二、填空题 11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 .

B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平 方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . . 元.

15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围

16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)= 三、解答题 17.已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围. .

第 2 页

18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+ (3)f(x)=
x -1
1 x
2


1- x

(2)f(x)=(x-1) ; (4)f(x)=
x 2-1

1+ x 1- x

; .





1- x 2

第 3 页

21.函数 f(x)对任意 a , b ? R ,都有 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ? 1 ,且当 x >0 时, f ( x ) ? 1 。

(1)求证: f ( x ) 是 R 上的增函数;

(2)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3 m 2 ? 7 ) ? 3 。 。

22.已知 f ( x ) 是定义在 [ ? 1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 a , b ? [ ? 1,1], a ? b ? 0 时,
f ( a ) ? f (b ) a?b



? 0 成立。

(1) 判断 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上的单调性,并证明它;
1 2 1 x ?1

(2) 解不等式: f ( x ?

)? f(

);

(3) 若 f ( x ) ? m 2 ? 2 am ? 1 对所有的 a ? [ ? 1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围。

第 4 页

参考答案
一、选择题 1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是 坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平面上不含点(2,3) 的所有点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合.

CU(M ? P)={(2,3)}.故选 B.
2.D 解析:∵A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是 ? ,{a},{b},{a,b} 中的某一个,∴选 D. 3.C 解析:由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的,如果有 交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1. 5.A 解析: 要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1:设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3 -3ax2 + 2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由 f(x)的图 象可以知道 f(3)>0,所以
(第 5 题)

f(3)=3a(3-1)(3-2) =6a>0,即 a>0,所以 b<0.所以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,a= - b,c=-
3 1
2 3

b. ∴f(x)=b(- x3+x2-
3

1

2 3

x)=-

bx 3

[(x-

3 2 1 )- 2 4 3 2

] .
1 4

由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x- x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x-
3 2 3 2

)2-

]>0,∴b<0.

)2- )2-
3 2

1 4 1 4

]>0,∴b<0. ]<0,∴b<0.
1 4

x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x-

)2-

]>0,∴b<0.

第 5 页

故 b∈(-∞,0). 6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 得? ?
? ? b 2 ? ?2

,∴ ? ?

b ? 4



? 4 ? 2b ? c ? ?2 ?

?c ? 2

∴f(x)= ? x≤0

? x 2+ 4 x + 2 , ( x ? 2,

≤0 ) (x >0) x>0 得 x=2. x=2

由?

?

得 x=-1 或 x=-2;由

? x2+4x+2=x

综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③正确;④不对, 既是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是先递 减再递增.答案选 C. 10.B 解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1.
? x≠3, 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 ? x2-2x≠3, ? ? 2 ? x -2x≠x.

1 2

x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B=

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 12.a= ,b=
3 1
1 9



解析: 由题意知, 方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a, 则△=(a-1)2-4b=0①,
第 6 页

将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a= ,b=
3

1

1 9



13.1 760 元. 解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底面面积为 4 m2., 水池底面的宽为
4 x

m.

池底的造价 y1=120×4=480. 池壁的造价 y2=(2×2x+2×2×
4 x

)×80=(4x+
16 x

16 x

)×80.

水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+ 即 y=480+320(x+
?? =480+320 ? ? ? ?? ?
4 x

)×80,

)
2 ? 2 ? ? +4? ? ? x ? ?

x-





x



2 x

, 即x=2时,y有最小值为 480+320×4=1 760元.

14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析:令 x+1=t,则 x=t-1,因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即 f(x)=x2-
2 4x+3.∴f(x-2)=(x-2) -4(x-2) +3=x2-8x+15.

15.(-∞,

1 2

).
1 2

解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞), ∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),



∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根. ∴?
   ? a≠0,    ? ? = 9- 8 a < 0 ,

解得 a>

9 8



②∵A 中只有一个元素,

第 7 页

∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a= 的实数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a=
9 8 9 8 2 3



,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等

时,A 中只有一个元素.

③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由 ①②的结果可得 a=0,或 a≥
9 8



18.解:根据集合中元素的互异性,有
?a ? 2a ? 2 ?b ? b 或 ?a ? b ? ?b ? 2 a
2

a=0 解得 b=1 或

a=0 或 b=0

a= b=

1 4 1 2

再根据集合中元素的互异性,得

a=0 b=1

a= 或 b=

1 4 1 2

19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则
3 2 f(x1)-f(x2)= x13 - x 2 =(x1-x2)( x12 +x1x2+ x 2 ).

2 又 x12 +x1x2+ x 2 =(x1+

1 2

x2)2+
1 2

3 4

2 x2



由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+ 否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 所以
x12
2 +x1x2+ x 2 >0.

x2 与 x2 不会同时为 0,

因此 f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), f(x)=x3 在 R上是增函数. 20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0}, f(-x)=3(-x)4+
1
2

(- x )

=3x4+ ≥0

1 x
2

=f(x),∴f(x)=3x4+

1 x2

是偶函数.

第 8 页

(2)由

1+ x 1- x

≥0 ?

?(1+ x )( 1- x ) ? ?1 - x ? 0

解得-1≤x<1.

∴ 函数定义域为 x∈[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1) 函数. (3)f(x)=
x -1

1+ x 1- x

为非奇非偶



1- x

定义域为 x=1,

∴ 函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于原点对称, ∴f(x)= (4)f(x)=
x -1



1- x

为非奇非偶函数. 定义域为
x 2- 1 ≥ 0 1- x 2 ≥ 0

x 2-1



1- x 2

? x∈{±1}, +
1- x 2

∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)= 21.解:(1)设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 。
? f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f (b ) ? 1 ,

x 2-1

既是奇函数又是偶函数.

? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? x 2 ? x1 ? 0 ,由 x

>0 时,

f ( x) ? 1 ,

? f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ,? f ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x ) 是 R 上的增函数。

(2)? f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) ? 1 ,
? f (4) ? f (2) ? f (2) ? 1 ? 5 , f (2) ? 3 。

? f (3 m ? 7 ) ? 3 ,? f (3 m ? 7 ) ? f (2) ,
2 2

因为 f ( x ) 是 R 上的增函数,所以 3 m 2 ? 7 ? 2 , 所以 m 2 ? 3 ,所以 ? 3 ? m ?
3,
3} 。

所以不等式解集为 { m | ? 3 ? m ?

22.解:(1)设 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则 ? x 2 ? [ ? 1,1] ,又因为 f ( x ) 为奇函数,
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ?
f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) x1 ? ( ? x 2 ) f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) x1 ? ( ? x 2 ) ( x1 ? x 2 )

由已知得

? 0 , x1 ? x 2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,所以 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上单调递增。

(2)因为 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上单调递增,
第 9 页

x?

1 2

?

1 x ?1 1 2
g (1) ? 0 a ? [ ? 1,1]
? ? 3 2 ? x ? ?1 。

所以 ? 1 ? x ?
?1 ? 1

? 1 ? m ? ?2
m ? 0

x ?1

?1

(3)? f (1) ? 1, f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上单调递增。 所以在 [ ? 1,1] 上, f ( x ) ? 1 。 问题转化为 1 ? m 2 ? 2 am ? 1 ,即 m 2 ? 2 am ? 0 ,对 a ? [ ? 1,1] 成立。 下面来求 m 的取值范围。 设 g ( a ) ? ? 2 am ? m 2 ① 若 m ? 0 ,则 g ( a ) ? 0 ? 0 ,显然对 a ? [ ? 1,1] 成立。 ② 若 m ? 0 ,则 g ( a ) 为 a 的一次函数,若 g ( a ) ? 0 ,对 a ? [ ? 1,1] 恒成立, 必须 g ( a ) m in ? 0 。 所以若 m ? 0 ,则 g ( ? 1) ? 0 ? m ? ? 2 若 m ? 0 ,则 g (1) ? 0 ? m ? 2 综上所述: m 的取值范围为 m ? 0 或 m ? 2 或 m ? ? 2 。

第 10 页


2012级龙湾中学高一数学周考练习4

2012 级龙湾中学高一数学周练习(四)集合与函数概念班级___姓名___ 一、选择题 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? ( x , y ) | ? ?...

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