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北京中国人民大学附属中学2012-2013学年八年级质量检测数学试题(1)


中国人民大学附属中学初二数学 质量检测卷(试卷一)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意,请把你认为正确的选项填入括号中。本大 题共 10 小题,共 40 分.
2 1. 化简二次根式 (?3) 等于

A. 3

B. -3
2

C. ±3

/>D.

9

2. 若实数 x、y 满足 ( x ? 2) ? A. -5 B. 5

y ? 3 ? 0 ,则 xy 的值为
C. -6 D. 6

3. 在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A. 等腰三角形 4. 函数 y ? A. x≠1 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形

x ? 1 的自变量 x 的取值范围为 x ?1

B. x≥-1

C. x>-1 且 x≠1

D. x≥-1 且 x≠1

5. 下列二次根式中,与 3 是同类二次根式的是 A.
1 3

B.

9

C.

18

D.

24

6. 如图是一个中心对称图形,点 A 为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,BC=1,则 BB′的长为

A. 4

B.

3 3

C.

2 3 3
C. 24

D.

4 3 3
D. 40

7. 菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8,则这个菱形的周长是 A. 5 B. 20

8. 下列命题正确的是 A. 平行四边形的对角线相等 C. 菱形的对角线相等且互相平分 B. 矩形的对角线互相平分 D. 等腰梯形的一组对边相等且平行
?

9. 已知点 A 的坐标为 (a,b) , O 为坐标原点,连结 OA ,将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90 得

OA1 ,则点 A1 的坐标为
A. (?a,b) B. (a, b) ? C. (?b,a) D. (b, a ) ? 10. 图 1 中的“箭头”是以 AC 所在直线为对称轴的轴对称图形, ?BAD ? 90? , AB ? 2 .图 2 到图 4 是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程,则图 1 中 BC 的长为
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A. 1

B.

5

C. 2

D. 2 5

二、填空题:请把你认为正确的选项填入表格内.本大题共 6 小题,每空 4 分,共 36 分. 11. 计算: 27a 5 b =____________,

14 =___________, 6 ? 5 =____________. 7


12. 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,若 AD=5,BC=7,则 EF= 13. 一块木板如图所示,已知 AB=4,BC=3,DC=12,AD=13, ∠B=90°,木板的面积为 .

14. 在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=7,∠B、∠C 的平分线分别交 AD 于 E、F,则 EF=



15. 如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 P 为 AB 边上任一点,过 P 分别作 PE⊥AC 于 E,PF⊥BC 于 F,则线段 EF 的最小值是 .

16. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, B1 (0,1) , B2 (0,3) , B3 (0,6) , B4 (0,10) ,?,以 B1 B2 为对角 线作第一个正方形 A1 B1C1 B2 ,以 B2 B3 为对角线作第二个正方形 A2 B2C2 B3 ,以 B3 B4 为对角线作第三个正方
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形 A3 B3C3 B4 ,?,如果所作正方形的对角线 Bn Bn?1 都在 y 轴上,且 Bn Bn?1 的长度依次增加 1 个单位,顶点 .那么 A1 的纵坐标为 An 都在第一象限内(n≥1,且 n 为整数) ... 标为 . . ;用 n 的代数式表示 An 的纵坐 ..

三、解答题:本大题共 7 小题,共 44 分.
?1 17. (5 分)计算: 12 ? (? ) ?

1 3

3 ? 1 ? (? ? 2) 0 .

18. (5 分)计算: (2 3 ? 5)( 3 ?1) . 19. (6 分)已知:如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?B ? 30? , ?C ? 60? , AD ? 2 , BC ? 6 , 点 E 为 AB 中点, EF ? BC 于点 F ,求 EF 的长.

20. (6 分)列分式方程解应用题: 小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园,已知此次行程为 2160 千米,城际直达动车组的平均时速 是特快列车的 1.6 倍.小明购买火车票时发现,乘坐动车组比乘坐特快列车少用 6 小时.求小明乘坐动车 组到上海需要的时间. 21. (7 分) 阅读理解:对于任意正实数 a、 b ,? ( a ? b )2 ≥ 0 ,? a ? 2 ab ? b ≥ 0 .

? a ? b ≥ 2 ab ,只有当 a ? b 时,等号成立.
结论:在 a ? b ≥ 2 ab ( a、 b 均为正实数)中,若 ab 为定值 p ,则 a ? b ≥ 2 p , 只有当 a ? b 时, a ? b 有最小值 2 p . 根据上述内容,回答下列问题: (1)若 m ? 0 ,只有当 m ? 时, m ?

1 有最小值 m



(2)探索应用:已知 A(?3, , B(0, 4) ,点 P 为双曲线 y ? 0) ?

12 ( x ? 0) 上的任意一点,过点 P 作 x

PC ? x 轴于点 C , PD ? y 轴于点 D .求四边形 ABCD 面积的最小值,并说明此时四边形 ABCD 的形
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状.

22. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,△AOB 为等边三角形,点 A 的坐标是( 4 3 ,

0 ) B 在第一象限,AC 是∠OAB 的平分线,并且与 y 轴交于点 E,点 M 为直线 AC 上一个动点,把△AOM ,点
绕点 A 顺时针旋转,使边 AO 与边 AB 重合,得到△ABD. (1)求直线 OB 的解析式; (2)当点 M 与点 E 重合时,求此时点 D 的坐标; (3)设点 M 的纵坐标为 m,求△OMD 的面积 S 关于 m 的函数解析式.

23. (7 分)已知,正方形 ABCD 中,△BEF 为等腰直角三角形,且 BF 为底,取 DF 的中点 G,连接 EG、

CG.
(1)如图 1,若△BEF 的底边 BF 在 BC 上,猜想 EG 和 CG 的数量关系为 ;

(2)如图 2,若△BEF 的直角边 BE 在 BC 上,则(1)中的结论是否还成立?请说明理由; (3)如图 3,若△BEF 的直角边 BE 在∠DBC 内,则(1)中的结论是否还成立?说明理由.
D A
A D

A

D G E

D

A

D G E

A

G E C F
B

G B E F C

G E B F C

C F

B

C F

B

图1

图2

图3

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中国人民大学附属中学初二数学 质量检测卷(试卷一) 试题答案

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.本大题共 10 小题,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 6 小题,共 36 分. 题号 答案 11
3a2 3ab

12
2 7 30

13 24

14 3

15
12 5

16 2
( n ? 1) 2 2

6

三、解答题:本大题共 7 小题,共 44 分. 17. 解: 原式= 2 3 ? 3 ? 3 ? 1 ?1????????????????4 分 = 3 ? 3 .????????????????5 分 18. 解:原式= 6 ? 2 3 ? 5 3 ? 5 ????????????????4 分 = 11 ? 7 3 .????????????????5 分 19. 解:过点 A 作 AG ∥ DC ,交 BC 于点 G .???????????1 分 ∴ ?1 ? ?C ? 60? . ∵ AD ∥ BC , ∴ 四边形 AGCD 为平行四边形.??????????????2 分

∴ CG ? AD ? 2 . ∵ BC ? 6 , ∴ BG ? 4 .??????????????3 分 ∵ ?B ? ?1 ? ?2 ? 180? , ?B ? 30? , ∴ ?2 ? 90? . ∴ 在△ BAG 中, AB ? 4 ?

3 ?2 3. 2

??????????????4 分

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又∵ E 为 AB 中点,∴ BE ? ∵ EF ? BC 于 F ,∴ EF ?

1 AB ? 3 .??????????????5 分 2

1 3 .??????????????6 分 BE ? 2 2

(若学生使用其他方法,只要解法正确,皆给分. ) 20. 解:设小明乘坐动 车组到上海需要 x 小时.?????1 分 依题意,得

2160 2160 ? ? 1.6 . ??????????3 分 x x?6
??????????????4 分

解得 x ? 10 .

经检验: x ? 10 是方程的解,且满足实际意义. ???5 分 答:小明乘坐动车组到上海需要 10 小时. 21. 解: (1) m= (2)设 P( x, 1 (填 ???6 分 ????????2 分

1 不扣分) ,最小值为 2 ; m

12 12 ) ,则 C( x, 0), D(0, ) , x x
12 ? 4, x
?????????????????????3 分

?CA ? x ? 3, DB ?

1 1 12 ? S四边形ABCD ? CA ? DB ? ( x ? 3) ? ( ? 4) , 2 2 x

化简得: S ? 2( x ? ) ? 12 ,
? x ? 0, 9 9 9 ? 0? x ? ? 2 x ? ? 6 , x x x

9 x

??????????????????4 分

只有当 x ?

9 , 即x ? 3 时,等号成立. ???????????????????5 分 x

∴S ≥2×6+12=24. ∴S 四边形 ABCD 有最小值 24. ????????????????????6 分

此时,P(3,4) C(3,0) D(0,4) , , , ∴ AB=BC=CD=DA=5, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 22. 解: (1)B( 2 3 , 6 ) ; ????????????????????7 分 ???????????????????1 分 ??????????????????? ?2 分

lOB : y ? 3x .

(2)如图 1,由题意 DA ? x 轴, ?EAO ? ?BAD ? 30? . 则点 D 的横坐标为 4 3 ; 此时 DA ? AE ? ??????????????3 分

OA 3 2

.???????????4 分 ? 8 ,即点 D ( 4 3 , 8 )

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(3)过 M 作 MN ? x 轴,设 MN ? a , 如图 2,当 m ? 4 时, S ?

1 1 1 (m ? 2m) ? 3m ? ( 3m ? 4 3) ? m ? ? 4 3 ? 2m 2 2 2

? 3m2 ? 2 3m .???????????????5 分
如图 3,当 2 ? m ? 4 时 ,由 ?OAM ? 30 ? ,∴ MA ? 2 a , NA ?

3a .

S?

1 1 1 (4 3 ? 3m) ? m ? (m ? 2m) ? 3m ? ? 4 3 ? 2m 2 2 2

? 3m2 ? 2 3m . ?????????????????6 分
如图 4,当 0 ? m ? 2 时,

S?

1 1 1 (4 3 ? 3m) ? m ? (m ? 2m) ? 3m ? ? 4 3 ? 2m 2 2 2
?????????????????7 分

? ? 3m2 ? 2 3m .

如图 5,当 m ? 0 时,由 ?NAM ? 30 ? ,∴ MA ? 2 a , NA ?

3a .

S?

1 1 1 ? 4 3 ? 2m ? (m ? 2m) ? 3m ? (4 3 ? 3m) ? m . 2 2 2
???????????? ?????8 分

? 3m2 ? 2 3m .
? 3m2 ? 2 3m ? ? 2 ∴ S ? ?? 3m ? 2 3m ? 2 ? 3m ? 2 3m ?

? m ? 2? ,
(0 ? m ? 2), (m ? 0).
(四种情况讨论正确一种给 1 分)

23. (1)GC =EG. ???????????????????????1 分 (2)如图,延长 EG 交 CD 于 M,

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易 证△GEF≌△GMD,得 G 为 EM 的中点. 易得 CG 为直角△ECM 的斜边上的中线. 于是有 GC=GE.?????????????????3 分 (3)如图,延长 EG 到 M,使 EG=GM,连 接 CM、CE.

易证△EFG≌△MDG,则 EF=DM、∠EFG=∠MDG. ∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°, ∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°. ∴∠MDC+∠DBE=45°. ∵∠EBC+∠DBE=45°, 进而易证△CBE≌△CDM, 易得∠ECM=90°, ∴∠EBC=∠MDC. ∴EC=CM、∠ECB=∠MCD. ∴CG 为直角△ECM 斜边 EM 的中线.

∴EG=GC.?????????????????????3 分 其他证法: (1)EG =CG. ?????????????????????1 分 (2)成立. ???????????????????????2 分

证明:过点 F 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 M,连结 MG. ∴EF=CM,易证 EFMC 为矩形 ∴∠EFG=∠GDM. ∴FG=GM=GD.

在直角三角形 FMD 中, ∴DG=GF, ∴∠GMD=∠GDM. ∴△EFG≌△GCM. ∴EG=CG.

∴∠EFG=∠GMD.

???????????????????????4 分
第 8 页(共 9 页)

(3)成立.取 BF 的中点 H,连结 EH,GH,取 BD 的中点 O,连结 OG,OC.

∵CB=CD,∠DCB=90°,∴ CO ? ∵DG=GF,
1 BD. 2 1 ? OG // BF , 且OG ? BF . 2 ? GH // BD, 且GH ?

1 BD . 2

∴CO=GH.∵△BEF 为等腰直角三角形. ∴ EH ?

1 BF . ∴EH=OG. 2

∵四边形 OBHG 为平行四边形, ∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=90°. ∴∠GOC=∠EHG. ∴△GOC≌△EHG. ∴EG=GC. ???????????????????????7 分

(若学生使用其他方法,只要解法正确,皆给分. )

第 9 页(共 9 页)


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