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8.2 两条直线的位置关系


8.2 两条直线的位置关系 一、选择题 1.若 P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点坐 标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2),或(2,-1) D.(2,1),或(-1,2) 解析:设 P(a,5-3a), |a-?5-3a?-1| |4a-6| 则 d= = = 2. 2 2 ∴|2a-3|=1. ∴

a=2,或 a=1. ∴P 点坐标为(2,-1),或(1,2). 答案:C 2.若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围 是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

解析:如图,作出直线 x+y-1=0 的图象,它与 x 轴、y 轴交点分别为(1,0)、(0,1), 直线 y=kx-1 过点(0,-1),因此,直线 y=kx-1 与直线 x+y-1=0 交点在第一象限时, k>1,选择 C. 答案: C 3.入射光线沿直线 x+2y+c=0 射向直线 l:x+y=0,被直线 l 反射后的光线所在的 直线方程为( ) A.2x+y+c=0 B.2x+y-c=0 C.2x-y+c=0 D.2x-y-c=0 c? ?c ? 解析:在入射光线上取点? ?0,-2?,它关于直线 l 的对称点为?2,0?,可排除 A,C; 在入射光线上取点(-c,0),它关于直线 l 的对称点为(0,c),可排除 D.故选 B. 答案:B 4.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为 ( ) 1 1 A. B.- 2 2 C.2 D.-2 1 3 解析:∵l2、l1 关于 y=-x 对称,∴l2 的方程为-x=-2y+3,即 y= x+ ,∴l2 的斜 2 2 1 率为 ,故选 A. 2 答案:A 5.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为( ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 解析:设所求直线方程为 y-4=k(x-3),

所以 kx-y+4-3k=0, |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 由已知得, = , 1+k2 1+k2 2 ∴k=2 或 k=- . 3 ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 答案:D 6.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:设点 C(t,t2),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,由于△ABC 的面积 1 为 2,则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2,即 h= 2,由点到直线的距 2 2 |t+t -2| 离公式得 2= ,即|t2+t-2|=2,即 t2+t-2=2 或者 t2+t-2=-2,这两个方程 2 各自有两个不相等的实数根,故这样的点 C 有 4 个. 答案:A 二、填空题 7.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=__________. 解析:根据题意知,当 m=0 时,两直线不会垂直,故 m≠0.因直线 x-2y+5=0 与直 1 2 1 2 线 2x+my-6=0 的斜率分别为 和- ,由垂直条件得 · (- )=-1,故 m=1. 2 m 2 m 答案:1 8.若直线 l1:2x-5y+20=0, l2:mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆, 则实数 m 的值为__________. 解析:l1、l2 与坐标轴围成的四边形有外接圆,则四边形对角互补.因为两坐标轴垂直, 故 l1⊥l2, 即 2m+10=0,∴m=-5. 答案:-5 9.点 P(0,1)在直线 ax+y-b=0 上的射影是点 Q(1,0),则直线 ax-y+b=0 关于直线 x +y-1=0 对称的直线方程为__________. a×1+0-b=0, ? ? 解析:由已知,有? 0-1 -a× =-1, ? 1-0 ?
?a=-1, ? 解得? ? ?b=-1. 即 ax+y-b=0 为 x-y-1=0, 设 x-y-1=0 关于 x+y-1=0 对称的直线上任一点(x,y),点(x,y)关于 x+y-1=0

y-y ? ?x-x =1, 的对称点(x ,y )必在 x-y-1=0 上,且? x+x y+y ? ? 2 + 2 -1=0,
0 0 0 0 0 0

?x0=1-y, ? 则? 代入 x-y-1=0,得 x-y-1=0. ?y0=1-x, ? 答案:x-y-1=0 三、解答题 10.已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程.

(1)l′与 l 平行且过点(-1,3); (2)l′与 l 垂直且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4; (3)l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线. 3 解析:(1)直线 l:3x+4y-12=0,kl=- , 4 3 又∵l′∥l,∴kl′=kl=- . 4 3 ∴直线 l′:y=- (x+1)+3, 4 即 3x+4y-9=0. 4 (2)∵l′⊥l,∴kl′= . 3 4 设 l′与 x 轴截距为 b,则 l′与 y 轴截距为 b, 3 1 4 由题意可知,S= |b|· | b|=4,∴b=± 6. 2 3 4 4 ∴直线 l′:y= x+ 6或 y= x- 6. 3 3 (3)∵l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线, ∴l′与 l 关于原点对称. 任取点在 l 上(x0,y0),则在 l′上对称点为(x,y). x=-x0,y=-y0,则-3x-4y-12=0. ∴l′为 3x+4y+12=0. 11.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点, (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解析:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, |10+5λ-5| ∴ =3. ?2+λ?2+?1-2λ?2 1 即 2λ2-5λ+2=0,∴λ=2 或 . 2 ∴l 方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.

?2x+y-5=0, ? (2)由? 解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的 ? ?x-2y=0, 距离,则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). ∴dmax=|PA|= 10. 12.一条光线经过 P(2,3)点,射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1). (1)求入射光线的方程; (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度.

解析:如图所示. (1)设点 Q′(x′,y′)为 Q 关于直线 l 的对称点且 QQ′交 l 于 M 点. ∵kl=-1,∴kQQ′=1, ∴QQ′所在直线方程为 y-1=1· (x-1), ? ?x+y+1=0, 即 x-y=0,由? ?x-y=0, ? 1 1? 解得 l 与 QQ′的交点 M 的坐标为? ?-2,-2?. 又∵M 为 QQ′的中点, , ?1+2x′=-1 2 由? 1+y′ 1 ? 2 =-2.
? ?x′=-2, 解得? ? ?y′=-2.

∴Q′(-2,-2). 设入射光线与 l 交于点 N,且 P、N、Q′共线. y+2 x+2 由 P(2,3)、Q′(-2,-2),得入射光线的方程为 = ,即 5x-4y+2=0. 3+2 2+2 (2)∵l 是 QQ′的垂直平分线, 因而|NQ|=|NQ′|, ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| = ?3+2?2+?2+2?2 = 41. 即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41.


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