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《直线的方程点斜式》教学设计

时间:2014-12-31


直线的方程——点斜式
西安市中铁中学 马小辉
一、教材分析 从研究直线方程开始,学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段, “直线与方程”关系的研 究,是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础,所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几 何”教学的效果. 刚刚接触“解析几何”的学生,幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质,而 本节课则以比较浅显的问题

开启了“解析几何”学习,他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点 与有序实数对之间的对应关系,进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律,从而自 然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个 独立条件”的高度概括,是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何” ,乃至全部数学内容 的精髓,引导学生深刻理解、熟练掌握这些,对于提高他们的数学素养大有裨益. 贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质,而本节课 则以简单问题为载体,揭示了解决这个问题的基本方法和步骤,为进一步解决后继的问题打下了坚 实的基础.“解析几何”中处处渗透了各种数学思想,特别是数形结合与等价转化思想,本节课则以 生动的具体事例有效地促进学生树立、 巩固和熟练应用这些数学思想.教学是以发展学生的数学思维 为重要目标,本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能. 综上,本节课是高中数学教学中极为关键的内容,创设和实施优质的教学程序,在一定程度上 影响着今后高中数学教学的成败. 二、学情、学法分析 直线的方程是学生在初中学习了一次函数的概念和图象及直线的斜率后进行研究的. 但由于学 生刚开始学习解析几何、第一次用坐标来求方程;在学习过程中,会出现“数”与“形”相互转化 的困难.另外高中学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 因此本节课通过推导直 线的点斜式方程,加深对用坐标求方程的理解.通过求直线的点斜式方程,理解一个点和方向可以确 定一个直线.通过求直线的斜截式方程,熟悉用待定系数法求 k、b 的过程; 让学生利用图形直观启 迪思维,来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃;让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运 用,培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力. 三、教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“启发诱导、讲练结合”的问题式教学法,以学 生为主体,以点斜式方程为主线,从具体问题出发,放手让学生探究思索,并进行总结。这样既培 养了学生独立思考的能力,又可以使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意, 使能力与知识的形成相伴而行, 使学生在解决问题的同时, 总结出常用做题方法方法.另外我恰当的 利用多媒体课件进行辅助教学,借助具体直观的问题的情境激发学生的学习兴趣. 四.教学目标 知识与技能 (1)知道由一个点和斜率可以确定一条直线,探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程; (2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程. 过程与方法 (1)让学生经历知识的构建过程,培养学生观察、探究能力; (2)使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系,渗透数形结合等数学思想. 情感态度与价值观

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(1)使学生进一步体会化归的思想,逐步培养他们分析问题、解决问题的能力; (2)利用多媒体课件的精彩演示,增强图形美感,使学生享受数学美,增进数学学习的情趣. 五、教学重难点 重点:理解直线的点斜式方程的推导及应用; 难点:对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解. 六、教学方法 ( 1)教学中有效利用多媒体课件、直尺作图,使课堂教学环节的衔接更加流畅,利用形 象、直观的展示方式增强学生对知识的理解。 (2)通过创设问题情境,引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学,同时渗 透数形结合等数学思想. 七、课时安排 1课时 八、教学过程 (一)问题情境 问题 1 直线斜率的计算方法有几种? (1)已知直线的倾斜角ɑ,则 k ? ,限制条件: ; (2) 已知直线上两点 A1 ( x1 , y1 ) 、A2 ( x2 , y2 ) , 则k ? 问题 2 , 限制条件: 。

(1)过已知点 A(?1,3)的直线有多少条?(无数条) (2)斜率为?2 的直线有多少条?(无数条) (3)过已知点 A(?1,3),且斜率为?2 的直线有多少条?(一条) 问题 3 确定一条直线需要几个独立条件?你能举例说明吗? 学生可能的回答: (1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角); (2)已知直线上的两个点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) . (二) 合作探究 探究:若直线 l 经过点 A(0,3),斜率为 2,点 P 在直线 l 上运动,那么点 P 的坐标(x,y)应满 足什么样条件? 当点 P(x , y) 在直线 l 上运动时,点 P 与定点 A(?1, 3) 所确定的直线的斜率等于 ?2 ,故有

y ?3 ? 2, x?0
即 y?3= 2(x?0), 即 2x?y+3=0.

(1) (2) (3)

问题 5 点 A(0,3)的坐标满足上述各方程吗? 答:方程(1)中 x?0,丢掉了点 A; 方程(2)及(3)中 x=0,补上点 A. 问题 6 直线 l 上任意一点的坐标与方程(2)(或(3) )的解有什么关系? 答:当点 P 在直线 l 上运动时,其坐标(x,y)满足 2x?y+3=0.反过来,以方程 2x?y+3=0 的 解为坐标的点都在直线 l 上. (三) 归纳总结 直线的点斜式方程:

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一般地,设直线 l 经过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,斜率为 k,直线 l 上任意一点 P 的坐标为(x,y). 当点 P(x,y)在直线 l 上运动时, PP 1 的斜率恒等于 k,即

y ? y1 ( x ? x1 ,除点 P1 外)(丢掉了点 P1) ?k, x ? x1
即 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) , ( x ? x1 , 包括点 P1 )(补上点 P1)(比较重要的内容) 方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 叫做直线的点斜式方程. (“点”和“斜”是两个独立条件的浓缩概括) 说明:直线 l 上的每个点(包括点 P1 )的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个方程的解为 坐标的点都在直线 l 上; (四) 典例分析 例 1.已知直线经过点 P(?2,3),斜率为 2, (1)求这条直线的方程, (2)判断点(?3,1)是否在直线上, (3)试画出直线方程。 分析: (1)已知一点和直线的斜率,那么直线是唯一确定的,由点斜式可得直线的方程。 (2)判断点是否在直线上只需判断点是否是方程的解; (3)两点确定一直线。 解: (1)由直线的点斜式方程,得所求直线的方程为 y?3=2(x+2),即 2x?y+7=0. (2)将点(?3,1)带入直线方程得: 2 ? ( ?3) ? 1 ? 7 ? 0 ,点(?3,1)是方程的解,所以 点在直线上。 (3)略 练习: (1)经过点(4,?2),斜率为 3; (2)经过点(1,2),倾斜角为 45 . 例 2.(1)画出经过点 P(2,-3) ,且与 y 轴垂直的直线,并写出直线方程. (2)画出经过点 P(2,-3) ,且与 x 轴垂直的直线,并写出直线方程. 分析:引导学生画出直线,并分析倾斜角,考虑斜率的值:若直线垂直于 y 轴,倾斜角为 0 , 斜率为零,可以用点斜式写出直线方程;若直线垂直于 x 轴,倾斜角为 90 ,斜率不存在,则不能用 点斜式方程。 解: (1)由直线的点斜式方程,得所求直线的方程为 y+3=0(x?2),即 y+3=0. (2)由图知,直线垂直于 x 轴,倾斜角为 90 ,斜率不存在,直线上的点的横坐标都是 2, 所以直线方程是 x=2,即 x?2=0。

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总结:(1)当过点 P 1 ( x1 , y1 ) 的直线,

l 斜率不存在, l 斜率为 0, 与 x 轴垂直时, 其方程是 x ? x1 ; 与 y 轴垂直时, 其方程是 y ? y1 .
(2)直线点斜式方程不能表示与 x 轴垂直的直线(原因) 。 练习: (1)经过点(4,?2),垂直于 x 轴; (2)经过点(1,2),垂直于 y 轴. 例 3(课本 P.66 例 3)已知直线 l 的斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0,b) ,求直线 l 的方程. 解:由直线的点斜式方程,得所求直线的方程为 y?b=k(x?0), 即 y=kx+b. 直线的斜截式方程: 方程 y=kx+b 叫做直线的斜截式方程. 适用范围:斜率存在,与 y 轴有交点。 (五) 巩固练习 练习:根据下列条件,分别写出直线的方程: (1)经过点(4,?2),斜率为 3; y+2=3(x?4),即 3x?y?14=0. (2)经过点(3,1),斜率为?2; y?1=?2(x?3),即 2x+y?7=0. (3)斜率为?2,在 y 轴上的截距为?2; y=?2x?2. (4)斜率为 2,与 x 轴的交点的横坐标为?1. y?0=2[x?(?1)],即 2x?y+2=0. (六)课堂小结 通过本节课的学习,你掌握了哪些知识? (1)直线的点斜率式方程 ,适用范围: ; (2)直线的斜截式方程 ,适用范围: ; (3)当过点 P 1 ( x1 , y1 ) 的直线, 与 x 轴垂直时, l 斜率不存在,其方程是 与 y 轴垂直时, l 斜率为 0,其方程是 (七)作业 九.板书设计 ; .

直线的点斜式方程 一.斜率公式: (1) (2) 二.点斜式方程: 例 1: 例 2: 总结:两种特殊的方程 例 3: 总结:斜截式方程 三.总结

十.教学反思

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