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2012年重庆高考理科数学试题含答案word版


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学 一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题 给出的四个备选选项中,只有一个是符合题目要求的 1.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和

S 5 = A.7 2.不等式 B.15 C.20 D.25

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1
1 B. ?? ,1? ? ? ? 2 ? 1 C. ? ? ?. ? ? ? ?1,?? ? ? ? ? 2?

1 A. ? ? ,1? ? ? ? 2 ? 1 D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? ? ? ? 2?

3.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 的位置关系一定是 A.相离 直线过圆心
1 ? ? 4. ? x ? ? 的展开式中常数项为 2 x? ?
3

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且

A.

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D.105

5.设 tan ? , tan ? 是议程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为 (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

6.设 x, y ?R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b ? c ,则 a ? b ? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D)10

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7.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x) 为[0, 1]上的增函数”是“ f ( x) 为[3,4]上的减函数”的 (A)既不充分也不必要的条件 件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件 (B)充分而不必要的条

8. 设函数 f ( x) 在 R 上可导, 其导函数为 f , ( x) , 且函数 y ? (1 ? x) f , ( x) 的 图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

9.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的 棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2)
(1, 3)

(B) (0, 3)

(C) (1, 2)

(D)

10.设平面点集 A ? ?( x, y ) ( y ? x)( y ? ) ? 0 ? , B ? ?( x, y ) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1? ,
? 1 x ?

?

?

则 A ? B 所表示的平面图形的面积为 (A) ?
3 4

(B) ?

3 5

(C) ?

4 7

(D)

? 2

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二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填 写在答题卡相应位置上 ( 11 ) 若( +)( 2 + i 1 i )=a+bi , 其 中 a, b ? R, i 为 虚 数 单 位 , 则
a ?b ?



(12) lim 0??

1 n ? 5n ? n
2

?



(1, f (1)) a

(13)设 f ( x )
?
1 2

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

(14)过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若
AB ?
AF =

25 , AF ? BF , 则 12



(15)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化 课和其他三门艺术课个 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多 间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答).

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三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 设 f ( x) ? a ln x ? 垂直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.
1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 2x 2

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票.约定甲先投中者获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中 的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望
1 3 1 2

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18.(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 ? ( x) ? 4 cos(?x ? ) sin ?x ? cos(2?x ? x) ,其中 ? ? 0.
6

?

(Ⅰ)求函数 y ? ? (x) 的值域 (Ⅱ)若 ? (x ) 在区间 ?? ?
3x ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值。 ? 2 2?

19.(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中 点 (Ⅰ)求点 C 到平面 的距离; (Ⅱ)若 求二面角 的平面角的余弦值。

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20.(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦 点分别为 F1 , F2 ,线段 的中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的 直角三角形。 (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使
PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

(21) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 an 的前 n 项和 S n 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 。 (I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1,求证: Sn ? (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条 件。
n 2

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(理科)答案
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个 备选选项中,只有一个是符合题目要求的

1.【答案】 B 【解析】
a2 ? 1, a4 ? 5 ? S5 ? a1 ? a5 a ? a4 ?5 ? 2 ? 5 ? 15 2 2

2.【答案】 A 【解析】 2 x ? 1 ? 0 ? ?
x ?1 ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 1 ? ? ? x ?1 2x ?1 ? 0 2 ?

3.【答案】 C 【解析】直线 y ? kx ? 1 过圆内内一定点 (0,1)

4.【答案】 B 【 解 析 】 x,
1 35 C84 ? ( )4 ? 2 8

1 2 x

取 得 次 数 为 1:1(4 : 4) , 展 开 式 中 常 数 项 为

5、 【答案】 A 【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2, tan(? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

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6、 【答案】 B
? ? ? ? ? ? ?2 x ? 4 ? 0 ? x?2 a ? c, b / / c ? ? ?? ? a ? b ? (3, ?1) ? 10 【解析】 ? 2 y ? ?4 ? y ? ?2

7、 【答案】 D 【解析】 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在 由 [-1,0]减函数,又 2 为周期,所以【3,4】上的减函数

8.【答案】 D 【解析】 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? 2
x ? 1时, f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 1, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2

得: f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

9、 【答案】 A 【 解 析 】 取 长 2 的 棱 的 中 点 与 长 为 a 的 端 点 B, C ; 则
A B? A C ? 2 2 ? a? B C ? 2

10、 【答案】 D 【解析】由对称性:
1 1 y ? x, y ? , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积与 y ? x, y ? , ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 x x

围成的面积相等

得 : A? B 所 表 示 的 平 面 图 形 的 面 积 为

1 ? y ? x, ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 围成的面积既 ? ? R 2 ? 2 2
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二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填写在答题卡 相应位置上

11、 【答案】4 【解析】 (1 ? i)(2 ? i) ? 1 ? 3i ? a ? bi ? a ? 1, b ? 3 ? a ? b ? 4

12、 【答案】

2 5

【解析】 lim n ??

1 n 2 ? 5n ? n

? lim

n ??

n 2 ? 5n ? n 1? 5 / n ?1 2 ? lim ? n ?? 5n 5 5

13、 【答案】

14 5

3 5 56 cos A ? , cos B ? , b ? 3 ? sin C ? sin( A ? B) ? 5 13 65 【解析】 b c b sin C 14 ? ?c? ? sin B sin C sin B 5

14. 【答案】

5 6
AF ? m, BF ? n, ?AFx ? ? ? m ? n ? 25 12 5 6

【解析】设

m ? p ? m cos ? , n ? p ? n cos ? ( p ? 1) ? m ?

15、 【答案】

3 5

【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有 种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有 A44 A33 种排法,语文、数
1 1 学、 英语三门文化课两门相邻有 C32 A22C2C2 A33 种排法。 故所有的排法种

数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为
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3 5

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三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 1 3 a 1 3 16、 【解析】 (1)因 f ? x ? ? a ln x ? ? x ? 1 ,故 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2x 2 x 2x 2

由于曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f ? ?1? ? 0 , 从而 a ? ? ? 0 ,解得 a ? ?1 (2)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ?
1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 f ?? x? ? ? ? 2 ? ? x 2x 2 2x2

1 2

3 2

1 3 ? x ? 1? x ? 0 ? , 2x 2

? f ?? x? ?

(3x ? 1)( x ? 1) 2 x2 1 3
1 3

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ? 不在定义域内,舍去) , 当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 。 17、 【解析】设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则
1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2
k ? ?1 , 2 , 3 ?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 计 算 公 式 知 ,
P? ? ? C

? 1P ?

?A

?

1

P1

? A? ?
2

B

A

1

?

1

P

2

A

2

B

3

A

B

A

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?
2

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3

2

1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27
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(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P ? A1B1 ? ? ? ? ?
1 2 1 3 3 2
2

2 3
2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? 9

?

? ? ?

?

?

2

2

综上知, ? 有分布列
?
P
2 3

1
2 3

2
2 9

3
1 9

从而, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?

2 9

1 9

13 (次) 9

18、 【解析】 (Ⅰ) f ? x ? ? 4 ? ?

? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1

因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ? ? ?
? ? (Ⅱ)因 y ? sin x 在每个闭区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上为增函数,故 ? ?
? 2 2? ? k? ? k? ? ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ? ? ? 0 ? 在每个闭区间 ? ? , ? ? k ? Z ? 上为增 ? ? 4? ? 4? ? ?

函数。 依题意知 ? ? ?
k ? 0 ,于是
3? ? ? ? k? ? k? ? ? , ? ? , ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 ? 2 2 ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? ?

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? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? 1 1 ? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 。 ? 6 6 ?? ? ? ? 2 4? ?

19、 【解析】 (Ⅰ) AC ? BC , D 为 AB 的中点, CD ? AB , C ? A 1 , 由 得 又 D A 故 CD ? 面A1 ABB1 ,所以点 C 到平面 A1 ABB1 的距离为 CD ? BC 2 ? BD 2 ? 5 (Ⅱ)如图,取 D1 为 A1 B1 的中点,连结 DD1 ,则 DD1∥AA1∥CC1 , 又由(Ⅰ)知 CD ? 面A1 ABB1 ,故 CD ? A1 D CD ? DD1 ,所以 ?A1DD1 为所 求的二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角。 因 A1 D 为 A1C 在面 A1 ABB1 上的射影,又已知 AB1 ? A1C ,由三垂线定理的 逆 定 理 得 AB1 ? A1 D , 从 而 ?A1 AB1 , ?A1DA 都 与 ?B1 A B互 余 , 因 此
?A1 AB1 ? ?A1DA ,所以 Rt? A AD ? Rt B A A ? 1 1 ,因 1

此 ,

A 1A ? A D

1

A 1 B , 即 AA12 ? AD?A1B1 ? 8 , 得 A A 1

AA1 ? 2 2 。

从而 A1 D ? AA12 ? AD 2 ? 2 3 ,所以,在 Rt? A1 DD1 中, cos A1DD1 ?
DD1 AA1 6 ? ? A1 D A1 D 3

20、 【解析】设所求椭圆的标准方程为
F2 ? c, 0 ? 。

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 a 2 b2

因 ? AB1 B2 是直角三角形,又 AB1 ? AB2 ,故 ?B1 AB2 为直角,因此
OA ? OB2 ,得 b ?

c 。 2

2 2 结 合 c2 ? a 2? b2得 4b2 ? a2 ? b2 , 故 a 2 ? 5 b2 , c? 4 b, 所 以 离 心 率

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e?

c 2 ? 5。 a 5

在 Rt? AB1B2 中, OA ? B1B2 ,故
S? AB1B2 ? 1 c B1B2 ?OA ? OB2 ?OA ? ? ? b 2 b 2 2
1 2

由题设条件 S? AB B ? 4 ,得 b2 ? 4 ,从而 a 2 ? 5b2 ? 20 。 因此所求椭圆的标准方程为:
x2 y 2 ? ?1 20 4
B (2)由(1)知 B1 (?2,0), (2,0)

,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可

设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得 ? m 2 ? 5 ? y 2 ? 4my ? 16 ? 0 , 设 P ? x1 , y2 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此
4m 16 , y1 ?y2 ? ? 2 2 m ?5 m ?5 ???? ? ???? ? 又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 y1 ? y2 ?
???? ???? ? ? B2 P?B2Q ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? y1 y2
? ? my1 ? 4 ?? my2 ? 4 ? ? y1 y2
? ? m 2 ? 1? y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16

??

16 ? m 2 ? 1? m2 ? 5

?

16m 2 ? 16 m2 ? 5

??

16m 2 ? 64 m2 ? 5
???? ???? ? ?

由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P?B2Q ? 0 ,即16m2 ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 , 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0和
x ? 2y ? 2 ? 0

21、 【解析】 (1)证明:由 S2 ? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2a1 。
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因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 a1

又由题设条件知 Sn? 2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn? 2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an ?1 ? 0 ,因此 综上,
an ? 2 ? a2 an ?1

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比 an ?1

为 a2 的等比数列。 (2)当 n ? 1 或 2 时,显然 Sn ? (a1 ? an ) ,等号成立。 设 n ? 3 , a2 ? ?1 且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2 n?1 ,所以要 证的不等式化为:
n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 即证:1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ? ?1 ? a2n ? ? n ? 2? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n?1 ? n 2

当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立。 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2 r ? 1 与 a2 n ? r ? 1 , r ,?,,1 1 ? n ? )同为负; ( 32 , 当 a2 ? 1 时,
a2 r ? 1 与 a2 n ? r ? 1 , r ,?,, 1 ? n ? )同为正; ( 321 ,

因此当 a2 ? ?1 且 a2 ? 1 时,总有 ( a2 r ? 1 ) a2 n ? r ? 1 )>0,即 (
a2 r ? a2 n ?r ? 1 ? a2 n , r ,?,, 1 ? n ? ) ( 321 。 ,

上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1求和得, 2(a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?r ) ? (n ? 1) ?1 ? a2 n ?
n ?1 ?1 ? a2n ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时,有 Sn ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时 2

由此得1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?

等号成立。
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