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第四节 空间图形的垂直关系


第四节

空间图形的垂直关系
题号 答案 1 2 3 4 5

课时作业

一、选择题 1.(2008 年安徽卷)已知 m、n 是两条不同直线,α、β、γ 是三个不同平面,下列命题中正确 的是( ) B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n )

A.若 m∥α

,n∥α,则 m∥n C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β

2.(2009 年浙江卷)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β 3.(2009 年广东卷)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; B.若 l∥α,α∥β,则 l?β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是( A.①和② C.③和④ ) B.②和③ D.②和④

4.关于直线 m、n 与平面 α 与 β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n; 其中真命题的序号是( A.①② ) C.①④ D.②③

B.③④

5.已知两条直线 m、n,两个平面 α、β,给出下面四个命题 ①m∥n,m⊥α?n⊥α ②α∥β,m?α,n?β?m∥n ③m∥n,m∥α?n∥α ④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β 其中正确命题的序号是( A.①③ B.②④ ) C.①④ D.②③

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二、填空题 6. 下列命题中, α、 γ 为不同平面, b 为不同直线, 设 β、 a、 下列命题是真命题的有________. ①a⊥α,a⊥β?α∥β.②a⊥α,a∥b?b⊥α. ③α⊥β,a?α,b?β?a⊥b.④a⊥α,a⊥b?b∥α. 7.设三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H,给出以下命题: ①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 是△ABC 的垂心 ②若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 H 是△ABC 的垂心 ③若∠ABC=90° ,H 是 AC 的中点,则 PA=PB=PC ④若 PA=PB=PC,则 H 是△ABC 的外心 其中正确命题的命题是________. 8.(2009 年浙江)如下图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过 点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是_____________.

三、解答题 9.如右图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方 形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

10.如右图,A、B、C、D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2, AC=BC= 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD; (2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD? 证明你的结论.

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参考答案
1.解析:m、n 均为直线,其中 m、n 平行 α,m、n 可以相交也可以异面,故 A 不正 确;m⊥α,n⊥α 则同垂直于一个平面的两条直线平行;故选 D. 答案:D 2.解析:对于 A、B、D 均可能出现 l∥β,而对于 C 是正确的. 答案:C 3.D 4.D 5.解析:用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确,②中 m,n 可以平行 或异面;③中 n 可以在 α 内. 答案:C 6.①② 7.①②③④ 8.解析:此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时,t=1,随 着 F 点到 C 点时,因 CB⊥AB,CB⊥DK,∴CB⊥平面 ADB,即有 CB⊥BD,对于 CD=2, 1 BC=1,∴BD= 3,又 AD=1,AB=2,因此有 AD⊥BD,则有 t= ,因此 t 的取值范围 2 1 是?2,1?. ? ? 1 答案:?2,1? ? ? 9. 解析: (1)证明: 因为四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA=1, PD= 2, 所以 PD2=PA2+AD2,所以 PA⊥AD. 又 PA⊥CD,AD∩CD=D,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)四棱锥 P-ABCD 的底面积为 1, 因为 PA⊥平面 ABCD,所以四棱锥 P-ABCD 的高为 1, 1 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3

10.解析:

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(1)取 AB 的中点 E,连结 DE,CE, 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB. 当平面 ADB⊥平面 ABC 时, 因为平面 ADB∩平面 ABC=AB, 所以 DE⊥平面 ABC,可知 DE⊥CE, 由已知可得 DE= 3,EC=1, 在 Rt△DEC 中,CD= DE2+EC2=2. (2)当△ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB⊥CD. 证明:①当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC=BC,AD=BD,所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时,由(1)知 AB⊥DE.又因 AC=BC,所以 AB⊥CE. 又 DE,CE 为相交直线, 所以 AB⊥平面 CDE,由 CD?平面 CDE,得 AB⊥CD. 综上所述,总有 AB⊥CD.

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