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2.2对数函数及其性质


对数函数及其性质 (一 )

复习对数的概念

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

/>
y ? 2 如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x
x
呢 由对数式与指数式的互化可知:

由前面的学习我们知道:有一种细胞分裂时, 由1个分裂成2个,2个分裂成4个,· · ·1个这 样的细胞分裂x次会得到多少个细胞?

x ? log2 y
上式可以看作以y自变量的函数表达式吗

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

对数函数模型(一)

火箭的最大速度v和燃料质量M、 火箭质量m的函数关系是:

M v ? 2000 ln(1 ? ) m

对数函数模型(二)
生物学家研究发现:洄游鱼类的游速v和鱼 的耗氧量O之间的函数关系: 1 O v ? log 3 2 100

对数函数模型(三)
溶液的酸碱度是通 过PH值来刻画的,PH 值的计算公式为:

PH ? ? lg H

? ?
?

对数函数模型(四)
考古学家一般通过提取附着 在出土文物、古遗址上死亡 的残留物,利用 t ? log P
5730

1 2

估计出土文物或古遗址的年 代.

对数函数: 一般地,我们把函数 y ? log +∞).
a

x (a ? 0且a ? 1)

叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,

注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义, x 注意辨别.如: , y ? 2 log2 x y ? l og5 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ②对数函数对底数的限制:a>0且a≠1

对数函数
定义:函数 y ? loga x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


判断:以下函数是对数函数的是 ( 4) 1. y=log2(3x-2) 3. y=log1/3x2 5. 2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
x

y ? 3log2 ? 5

探索研究:在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

?1?y ? log2 x
作图步骤:

?2?y ? log1 x
2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

作y=log2x图象

列 表

x y=log2x

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

描 点
连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log1 x
2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

y

探索发现:认真观察 函数y=log2x 的图象填写下表

2 1 0 -1 -2

1 1 4 2

1 2 3

4

x

图象特征

函数性质

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

图象向上、向下无限延伸 值 域 :

R

自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是:增函数

探索发现:认真观察 函数 y ? log 1 x
2

y 2 1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4

x

函数性质

图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 :
R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

猜猜: 对数函数 y 2

y ? log3 x和y ? log1 x的图象。
3

y ? log2 x

1
0

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

返回

再来一遍

对数函数的图象与性质:
函数 y = log a x ( a>0 且 a≠1 )

底数
y

a>1
y

0<a<1
1 x o x

图象
定义域 值域 定点 值分布

o

1

(0,+∞)

(0,+∞)

R (1,0)
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0

R (1,0)
当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

在( 0 , + ∞ )上是减函数 单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 趋势 底数越大,图象越靠近x轴 底数越小,图象越靠近x 轴

探索研究:
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; y (1) y ? log x
2

..........

(2)y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

(3) y
(4) y

? log3 x
? log1 x
3

2

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

函数 :

y ? log a , y ? log b ,
x x

y ? log c , y ? log d
x

x

的图象如下,则a,b,c,d的大小关系为 ___________

Y

b>a>d>c

Y=logax Y=logb x

O

1 Y=logdx 规律:在第一象限内,图像按 顺时针方向旋转,底数越大。

y ? logc X

X

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=?log0.5(4x-3)
2>0,所以x≠?,即函数y=log x2的定义域为 (1) 因为 x a 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)??????

(4)因为

4x-3>0

x>3/4
4x-3≤?

log0.5(4x-3)?0 定义域为 (3/4,1]

例2:比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log23.4 , log28.5 ;
(2) log0.51.8 , log0.52.7; (3) log3? , log20.8.

? 4?

loga 5.1,loga 5.9(a ? 0, a ? 1)

练习:比较下列各组中两个值的大小: (1) log 67 , log 7 6 ; (2) (3) log 3π , log
2

0.8 .

log0.1 3,

log0.2 3

例3 求下列函数的值域
(1) y ? log2 ( x ? 4)
2

(2) y ? log 1 (3 ? 2 x ? x )
2 2

(1)解:y ? log2 ( x2 ? 4) 的定义域为R

? x ? 4 ? 4, ?log2 ( x ? 4) ? log2 4 ? 2
2 2

{y|y ? 2} y ? log2 ( x2 ? 4) 的值域是

练习:已知函数 f(x)=log 2 (2x-1) (1)求函数 f(x) 的定义域、值域; 9 (2)若 x ? [1, ],求f(x)的值域; 2 (3)求使 f(x) ? 0的x的取值范围。

二、反函数的概念

x ? log2 y( y ? (0,??))是函数 y ? 2 x ?x ? R ?的反函数
对数函数y ? log2 x( x ? ?0,???)是

y ? 2x

指数函数y ? 2 x ?x ? R ?的反函数

x ? log2 y

y ? log2 x
对数函数y ? loga x(a ? 0, a ? 1)与 指数函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)是互为反函数

设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x) 所解得 x ? ?( y ) 也是一个函数(即对任意一个y ? B ,都

有唯一的 x ? A与之对应),那么就称函数 x ? ?( y ) 是函
x ? f ?1 ( y) 。习惯上,用x表示 数y=f(x)的反函数,记作:

自变量,y表示函数,因此反函数 x ? f

?1

( y) 通常改写成:

y ? f ?1 ( x) 注:y=f(x)的定义域、值域分别是反函数 y ? f ?1 ( x) 的值

域、定义域

例3 求下列函数的反函数 (1)y=0.2-x+1 (2)y=log2(4-x) (x<4)

对数函数与指数函数的图象
x y ? a 由于对数函数 y ? loga x 与指数函数 互为反函数, 所以 y ? loga x 的图象与 y ? a x

的图象关于直线
5 4

y ? x 对称。

4 4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6 6

-2 -2

-2

小结:

1.指数函数与对数函数的关系.
2.反函数的定义和图象的特点.

小结
(1)本节要求掌握对数函数的概念、 图象和性质. (2)在理解对数函数的定义的基础 上,掌握对数函数的图象和性质的 应用是本小节的重点.


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