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倍角公式和半角公式1


中小学个性化教育专家

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号_

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3

辅导科目: 倍角公式和半角公式

学科教师:

授课日期及时段 教学目的

掌握倍角、半角公式的推导;能运用倍角、半角公式化简、求三角函数值等

教学内容

【知识点回顾】
1.二倍角公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

2.半角公式
cos

? 1 ? cos ? =? 2 2 ? 1 ? cos ? =? 2 2 ? 1 ? cos ? =? 2 1 ? cos ?

sin

tan

拓展: tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

【典例分析】

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1

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中小学个性化教育专家

(1) sin 2 20 ? cos2 50 ? sin 20 cos50 例1. 化简: (2)

1 ? cos2 x ; x x cot ? tan 2 2
(1 ? sin x ? cos x)(sin x x ? cos ) 2 2 , (0 ? x ? ? ) 2 ? 2 cos x

(3)

解析: (1)①从幂入手,利用降幂公式(降次是主线) 原式=
1 ? cos 40 1 ? cos100 ? ? 2 2

1 (sin 70 ? sin 30 ) 2 3 ? ... ? 4

②从形入手,采用完全平方的方法(配方是关键)
3 1 ? ? 3 原式= ? sin 20 ? cos50 ? ? cos 2 50 ? ... ? 4 2 ? ? 4
2

③从角入手,化异角为同角(以已知角的相互关系引入一个新的角,特殊角是考虑的重点) 。 原式= sin 2 (50 ? 30 ) ? cos2 50 ? sin ? 50 ? 30 ? cos 50 ? ...

(2)

1 ? cos 2 x 2 cos2 x 2 cos2 x sin x 1 ? ? ? sin 2 x x x 2 cos x 2 2 x 2 x cot ? tan cos ? sin 2 2 2 2 x x sin cos 2 2

(说明:倍角是相对的,注意余弦公式的变形)
x x (1 ? sin x ? cos x)(sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 cos x x x x x x 2 cos (cos ? sin )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 (3) ? x 2 | cos | 2 x ? ? cos x, (? 0 ? x ? ? ,? cos ? 0) 2

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2

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例 2.求值: (1) sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? ; (2) sin

?
14

sin

3? 5? sin 14 14

sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? ? sin 6? cos 48? cos 24? cos12? 2 4 cos6? ? sin 6? cos 48? cos 24? cos12? 2 4 cos6? sin 96? 1 ? 4 ? 2 cos6? 16 ?
引申:求 sin 10? sin 30? sin 50? sin 70? 的值; 2? 6? 10? 2? 6? 10? sin sin sin sin sin sin ? 3? 5? 14 14 14 ? 14 14 14 ? 1 sin sin sin ? ? 3? 5? 6? 4? 2? 8 14 14 14 2 3 cos cos cos 2 3 sin sin sin 14 14 14 14 14 14 sin 2? 本题考查二倍角正弦公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , sin ? ? 的应用; 2 cos ? ? 1 1 7? 例 3.已知 ? ? ? ? ,?? ? ? ? 0, tan ? ? ? , tan ? ? ? ,求 2? ? ? 的值; ( ) 2 3 7 4
1 1 ? ? ? ? ,?? ? ? ? 0, tan? ? ? , tan ? ? ? , 2 3 7 ? 1 ? ? ? ? ? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? , tan( ? ? ? ) ? ? ,? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ?
tan( 2? ? ? ) ? tan[( ? ? ? ) ? ? ] ? ?1,? ? ? 2? ? ? ? 2? ,? 2? ? ? ? 7? 4

?

例 4.求证: sin 3? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? )

左边 ? 4 sin ? [(sin 60? cos? ) 2 ? (cos60? sin ? ) 2 ] 3 1 ? 4 sin ? ( cos2 ? ? sin 2 ? ) 4 4 2 ? sin ? (2 cos ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ) ? sin 2? cos? ? cos 2? sin ?
类似的恒等式还有: (1) cos3? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? ) (2) tan3? ? 4 tan? tan(60? ? ? ) tan(60? ? ? ) 例 5.已知: ? , ? 为锐角,且 3sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1,3sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 , 求证: ? ? 2 ? ?

?
2

证明:由已知 cos2? ? 3sin 2 ? , sin 2? ? 3sin ? cos?

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3

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cos(? ? 2 ? ) ? cos? cos 2 ? ? sin ? sin 2 ? ? 3 sin 2 ? cos? ? 3 sin 2 ? cos? ? 0 3 ? ? ? 2 ? ? (0, ? ) 2 ?? ? 2 ? ?

?

2

3 ? ? ? 例 6.已知 cos ? ? ? ,并且 180°<θ <270°求 sin , cos , tan 5 2 2 2

析:用根式求值时一般处理办法如下 ①如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号 ? ? ②如果给出 a 的具体范围时,则先求出 所在范围,然后再根据 所在范围选用符号 2 2 ③如给出的角时某一象限的角时,则根据下表决定符号 ? ? ? ? ? sin cos tan 2 2 2 2 第一象限 第一,三象 +,- +,- + 限 第二象限 第一,三象 +,- +,- + 限 第三象限 第二,四象 +,- -, + - 限 第四象限 第二,四象 +,- -, + - 限 例 7.已知 a=(cos x,sin x) ,b=(cos ,-sin ) ,x∈[0,
3 2 3 2 x 2 x 2

π ]. 2
3 2

(1)求 a·b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a·b-2λ |a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 解: (1)a·b=cos xcos -sin xsin =cos2x.
2 2 ? (sin x ? sin ) |a+b|= (cos x ? cos ) =2 cos2 x =2cosx(∵x∈[0,

3 2

x 2

3 2

x 2

3 2

x 2

3 2

x 2

π ] ). 2

(2)f(x)=cos2x-4λ cosx=2(cosx-λ )2-1-2λ 2.∵x∈[0, ①当 λ <0,cosx=0 时,f(x)min=-1,矛盾.
3 2

π ] ,∴cosx∈[0,1]. 2
1 2

②当 0≤λ ≤1,cosx=λ 时,f(x)min=-1-2λ 2,由-1-2λ 2=- ,得 λ = . ③当 λ >1,cosx=1 时,f(x)min=1-4λ , 由 1-4λ =- ,得 λ = <1,矛盾.
4

3 2

5 8

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综上,λ = 为所求.

1 2

【巩固练习】
1.计算 cot15°-tan15?的结果是( (A) 3 2 (B) 6 2 ) (C)3 3 (D)2 3

【答案】D

2.计算 cos45?cos15?-sin45?cos75?的结果是( (A) 3 2 (B)
w_w w. k#s5_u.c o *m

)

2 2

(C)

1 2

(D)1

【答案】C 【解析】cos45?cos15?-sin45?c os75? =cos45?cos15?-sin45?sin15? =cos(45?+15?) =cos60? 1 = 2 3 设 0< ? <π,求 sin

?

2

(1 ? cos ? ) 的最大值。

【解】因为 0< ? <π,所以 0 ?

?
2

?

?
2

,所以 sin

? ? >0, cos >0. 2 2
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中小学个性化教育专家 所以 sin

? ? ? ? ? 2 ? (1+cos ? )=2sin ·cos2 = 2 ? 2 sin ≤ ? cos2 ? cos2 2 2 2 2 2 2
3

? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . 2?? 27 9 3 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 2 2 4 3 =cos2 , 即 tan = , ? =2arctan 时,sin (1+cos ? )取得最大值 。 2 2 2 2 2 2 9 5 5 ?? ? ? 3? ? 4. 已知 sin(α-β)= ,sin(α+β)=,且 α-β∈ ? , ? ? ,α+β∈ ? ,2? ? ,求 sin2α,cos2β 的值。 13 13 ?2 ? ? 2 ? 12 ?? ? 2 【解】 因为 α-β∈ ? , ? ? ,所以 cos(α-β)=- 1 ? sin (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ? 12 ? 3? ? 又因为 α+β∈ ? ,2? ? ,所以 cos(α+β)= 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ? 120 所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= , 169
当且仅当 2sin2 cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 5. 已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

A?C =cos(600-C), 2 1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC 又由于 ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C )

A?C 1 1 2 ,试求 cos 的值。 ? ?? 2 cos A cosC cos B

? ? ?2 2 , 1 1 0 0 0 [cos120 ? cos(120 ? 2C )] cos(120 ? 2C ) ? 2 2 A ? C A ? C 2 ? 2 cos ? 3 2 =0。 所以 4 2 cos 2 2 A?C 3 2 A?C 2 解得 cos 或 cos 。 ?? ? 2 8 2 2 A?C A?C 2 又 cos >0,所以 cos 。 ? 2 2 2
=

2 cos600 cos(600 ? C )

2 cos(600 ? C )

【课后作业】
1.已知 sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα= 【答案】
1 3

3 ,则 cos2β 的值为________________. 3

w_w w. k# s5_u.c o*m

【解析】因为 sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]
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中小学个性化教育专家 =sinβ=

3 3
2 1 ? 3 3 ?
.

于是 cos2β=1-2sin22β=1-

2. cos 41 cos 79 ? sin 41 cos11 ?

1 2

w_w w. k#s5 _u.c o*m

3.(本小题满分 12 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列,b=1,记角 A=x, a+c=f (x). (Ⅰ)当 x∈[

?
6



?
3

]时,求 f (x)的取值范围;

(Ⅱ)若 f ( x ?

?

6 ) ? ,求 sin2x 的值. 6 5

解: (I)由已知 A、B、C 成等差数列,得 2B=A+C, ∵ 在△ABC 中, A+B+C=π,于是解得 B ? ∵ 在△ABC 中,

?
3

, A?C ?

2? . 3

a b c ,b=1, ? ? sin A sin B sin C 1 1 2 3 2? [sin A ? sin( ? A)] ∴ a?c ? ? sin A ? sin C ? ? ? 3 3 sin sin 3 3
? 2 3 2? 2? ? [sin A ? sin cos A ? cos sin A] ? 3 sin A ? cos A ? 2 sin(A ? ) , 3 3 3 6

即 f ( x) ? 2 sin(x ? 由

?
6

). 。

?
6

≤x≤

?
3



?
3

≤x+

?
6



?
2

,于是 3 ≤ f ( x) ≤2,

即 f (x)的取值范围为[ 3 ,2] . (Ⅱ)∵ f ( x ?

?
6

6 4 ∴ cos x ? ? 1 ? sin2 x ? ? . 5

) ? 2 sin(x ?

?

?

?

6 3 ) ? ,即 sin x ? . 6 5 5

4 2 3? 2? 4 若 cos x ? ? ,此时由 ? ? ? 知 x> ,这与 A ? C ? 矛盾. 5 2 5 4 3 4 ∴ x 为锐角,故 cos x ? . 5

∴ sin 2 x ? 2 sin x cos x ?

24 . 25

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