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【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.1 4.1.1 圆的标准方程


第四章 圆与方程
4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程

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1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程. 2.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、 半径的具体条件准确地写出圆的标准方程. 3.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径, 解决一些简单的实际

问题,并会推导圆的标准方程.
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基 础 梳 理
1.圆的标准方程:圆心为 C(a,b)、半径为 r 的圆的标
2+(y-b)2=r2 ( x - a ) 准方程为____________________.

练习 1:(1)圆心在原点,半径是 3 的圆的标准方程为: ____________. (2)圆心在 x 轴上,半径为 1,且过点(-1,1)的圆的标准 方程为:________.

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答案:(1)x2+y2=9 (2)(x+1)2+y2=1 www.gzjxw.net

基 础 梳 理
2.点与圆的位置关系. 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位 置有如下表所示的对应关系: 位置关系 d 与 r 的关系 点在圆外 d>r 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r
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练习 2:圆(x-1)2+(y+2)2=32 的圆心为________,半径 为________.

答案:(1,-2)

3

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思 考 应 用

1 下列几种特殊位置的圆的方程是什么? 条件 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 方程形式 ________________ ________________ ________________ ________________ ________________
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思 考 应 用
圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切
答案: x2+y2=r2(r≠0) (x-a)2+y2=r2(r≠0)

________________ ________________ ________________ ________________
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(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)

x2+(y-b)2=r2(r≠0) x2+(y-b)2=b2(b≠0) (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)

(x-a)2+y2=a2(a≠0)

(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)

(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)

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自 测 自 评
1.圆心是 O(-3,4),半径为 5 的圆的方程为( A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25
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)

解析:直接代入圆的标准方程可得. 答案:D

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自 测 自 评
2.点 P(m,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 B.在圆内 D.不确定
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)

解析:m2+52=25+m2≥25>24,点在圆外. 答案:A

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自 测 自 评

3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程 是( ) A.(x-3)2+(y+4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=9
解析:因圆与 x 轴相切,故圆的半径 r=4. 答案:B
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自 测 自 评
3 4. 圆(x-1) +y =1 的圆心到直线 y= x 的距离是( 3
2 2

)
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1 A. 2

3 B. 2

C.1

D. 3

1 解析: 圆心 C(1,0), 再利用点到直线的距离公式得 d= . 2 答案:A

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题型一

求圆的标准方程

例1 求满足下列条件的各圆的方程:
(1)圆心在 y 轴上,半径是 1,且过点(1,2); (2)圆心在点 C(3,4),半径是 5; (3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3).
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解析:根据题设条件,可利用圆的标准方程解决. (1)x2+(y-2)2=1; (2)(x-3)2+(y-4)2=5;
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(3)解法一:∵圆的半径 r=|CP|= ?5-8?2+?1+3?2=5,圆心在点(8,-3). ∴圆的方程是(x-8)2+(y+3)2=25. 解法二:∵圆心为 C(8,-3),故设圆的方程为(x -8)2+(y+3)2=r2.
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又∵点 P(5,1)在圆上, ∴(5-8)2+(1+3)2=r2, ∴r2=25, ∴所求圆的方程是(x-8)2+(y+3)2=25. 点评:确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和 圆的半径,因此圆心和半径被称为圆的两要素.
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跟 踪 训 练
1.写出下列方程表示的圆的圆心和半径. (1)x2+y2=2; (2)(x-3)2+y2=a2(a≠0); (3)(x+2)2+(y+1)2=b2(b≠0).
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解析:搞清圆的标准方程 (x- a)2+ (y- b)2= r2(r>0)中, 圆心为(a,b),半径为 r,本题易于解决. (1)圆心(0,0),半径为 2. (2)圆心(3,0),半径为|a|. (3)圆心(-2,-1),半径为|b|.

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题型二

点与圆的位置关系

例2 已知两点 P(-5,6)和Q(5,-4),求以P,Q为
直径端点的圆的标准方程,并判断点 A(2,2) , B(1,8) , C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外.
解析:由已知条件及圆的性质可知,圆心 M 在直径 PQ 的 中点处, ∴圆心 M 的坐标为(0,1), 1 1 半径 r= |PQ|= × ?-5-5?2+?6+4?2=5 2. 2 2 ∴圆的标准方程为 x2+(y-1)2=50.
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∵|AM|= ?2-0?2+?2-1?2= 5<r, ∴点 A 在圆内. ∵|BM|= ?1-0?2+?8-1?2= 50=r, ∴点 B 在圆上. ∵|CM|= ?6-0?2+?5-1?2= 52>r, ∴点 C 在圆外. ∴圆的标准方程为 x2+(y-1)2=50. 点 A 在圆内,点 B 在圆上,点 C 在圆外. www.gzjxw.net
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点评:判断点与圆的位置关系,可以通过判断该点与 圆心的距离和圆的半径的大小关系, 也可将该点坐标代入 圆的方程判断,方法如下: 点 A(x0,y0)到圆心 C(a,b)的距离为 |AC|= ?x0-a?2+?y0-b?2. ①当点 A(x0,y0)在圆上时,|AC|=r, 即(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
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②当点 A(x0,y0)在圆内时,|AC|<r, 即(x0-a)2+(y0-b)2<r2; ③当点 A(x0,y0)在圆外时,|AC|>r, 即(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
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跟 踪 训 练

2.判断点 M(6,9),N(3,3),O(5,3)与圆(x-5)2+(y-6)2=10 的位置关系.
解析:∵圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10, 分别将 M(6,9),N(3,3),O(5,3)代入得 (6-5)2+(9-6)2=10, ∴M 在圆上; (3-5)2+(3-6)2=13>10, ∴N 在圆外; (5-5)2+(3-6)2=9<10, ∴O 在圆内.
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题型三

圆的标准方程的应用

例3 如图所示,一座圆形拱桥,当水面在如图所示位 置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后, 水面宽多少米?
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解析:以圆拱顶为坐标原点,以过拱顶点的垂线为 y 轴, 建立如图所示的直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端 点为 A,B,则由已知得 A(6,-2). 设圆的半径为 r,则 C(0,-r), 即圆的方程为 x2+(y+r)2=r2.① 将点 A 的坐标(6,-2)代入方程①,解得 r=10, ∴圆的方程 x2+(y+10)2=100.②
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当水面下降 1 m 后,可设点 A′的坐标为 (x0,-3)(x0>0), 代入方程②,求得 x0= 51. 即水面下降 1 m 后, 水面宽为 2x0=2 51≈14.28 m. 点评:此类应用问题首先是恰当选择直角坐标系, 坐标系的不同选择对解决问题有很大影响.
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跟 踪 训 练

3.求以点 C(2,-1)为圆心,截直线 x+y+1=0 所得 的弦长为 2 2的圆的方程.
解析:设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2, |2-1+1| 则圆心到直线 x+y+1=0 的距离为 d= = 2. 2 又由垂径定理和勾股定理得:
?2 2?2 ? =( 2)2+2=4. r =d +? ? 2 ?
2 2

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∴所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

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1 .利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径,比

较点到圆心的距离与半径的大小能得出点与圆的位置关
系,求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径, 借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时,可大大简化 计算的过程与难度. 2 .点与圆的位置关系有三种情形:点在圆内、点 在圆上、点在圆外,其判断方法是看点到圆心的距离d与 圆半径之间的关系.当d<r时,点在圆内;当d=r时,点
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在圆上;当d>r时,点在圆外.

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