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14 立体几何


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课题: 教学目的要求:

第十四章

立体几何

1.了解立几的定义、分类等基本概念; 2.掌握立几的常见运算,能熟练进行综合运算; 3.能利用所学知识,求解综合问题。

教学重点

、难点: 授课方法:

掌握立几的概念 任务驱动法 小组合作学习法 《数学(理科)》 、三角板

教学参考及教具(含多媒体教学设备) : 授课执行情况及分析:

板书设计或授课提纲 第十四章 立体几何
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容 、方 法

一、立体几何网络图: ⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

(1)线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 ⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。 (2)线线垂直的判断: ⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直。 ⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条 斜线的射影垂直。 ⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一 条。 (3)线面平行的判断: ⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行。 ⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

知识点讲解

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容 、方 法

(4)线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平 面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另— 个平面。 (5)面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 (6)面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 二、其他定理: (1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; 直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情 况) ; 平面与平面的位置关系: 相交 ; ; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组 直线所成的锐角(或直角)相等; (4)射影定理(斜线长、射影长定理) :从平面外一点向这个平面所引的垂线段 和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段 也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影也 较长;垂线段比任何一条斜线段都短。 (5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射 影所成的角。 集体回答 学生独立完 成

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容 、方 法

(6)异面直线的判定:①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线, 和平面内不过该点的直线 是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。 (9)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个 平面。 三、唯一性定理: (1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 四、空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直 角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内 相交直线所成的角。异面直线所成角的范围: 板演

0 o ? ? ? 90o ;
注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中 位线。有的还可以通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体 再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 ; ②线 面垂直:线面所成的角为 90 ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 ? ? ? 90 ;即也就是斜
o o
o o

集体回答

线与它在平面内的射影所成的角。

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容 、方 法

(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理 法;③垂面法; 注意:还可以用射影法:cos ? ?

S' ;其中 ? 为二面角 ? ? l ? ? 的大小, S S
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为 ? 内的一个封闭几何图形的面积;S ' 为 ? 内的一个封闭几何图形 在 ? 内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 五、距离的求法: (1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与 线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表 示距离的线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在 的平面上) ; ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质) ; ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离: 关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关 键是找出或构造出这个平面;③转化为面面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互 转化; 教师讲解

作业:第十四章同步练习


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