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D6


第二节 微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式

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一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数

>
s?(t ) ? v(t )
内经过的路程为

物体在时间间隔

?T

T2
1

v(t ) d t ? s (T2 ) ? s (T1 )

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .

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二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若 则变上限函数 y ? f ( x) y x ? ( x) ? ? f (t ) d t
a

?( x)

x? b x 证: ? x , x ? h ? [a , b] , 则有 x?h x ? ( x ? h) ? ? ( x ) 1 x ? h ? ?? f (t ) d t ? ? f (t ) d t ? a h h a 1 x?h ? ? f (t ) d t ? f (? ) ( x ? ? ? x ? h) h x

o a

? ??( x) ? lim

? ( x ? h) ? ? ( x ) ? lim f (? ) ? f ( x) h ?0 h ?0 h
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说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为

通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:

d ? ( x) f (t ) d t ? f [? ( x)]? ?( x) ? dx a ? ( x) d ? ( x) d ? a ? f (t ) d t ? f (t ) d t ? ? f (t ) d t ? ? ? a dx ? ( x) dx ? ? ? ( x) ?

? f [? ( x)]? ?( x) ? f [? ( x)]? ?( x)
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例1. 求 解: 原式 ? ? lim e
x ?0 ?cos2 x

0 0

? (? sin x) ? 1 2e 2x

例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使

解: 原式 =

? b ? 0.

c ≠0 , 故 a ? 1. 又由



1. c ? ,得 2
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例3.

证明
只要证

在 证:

内为单调递增函数 .

F ?( x ) ? 0
x 0

x f ( x) ? f (t ) d t? f ( x) ? t f (t ) d t
0

x

?

f ( x) ? ( x ? t ) f (t ) d t

x

? ?0 f (t ) d t ?
2

x

2

? ?0 f (t ) d t ?

0 x

?

f ( x) ? ( x ? ? ) f (? ) x

? ?0 f (t ) d t ?
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x

2

?0

(0 ? ? ? x )
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.

函数 , 则

?a f ( x) dx ? F (b) ? F (a)
F ( x ) ? ? f ( x ) dx ? C
a x

b

( 牛顿 - 莱布尼兹公式)

证: 根据定理 1,
x



因此 得

? a f ( x ) dx ? F ( x ) ? F ( a )
记作

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例4. 计算

3 dx ? arctan x 解: ? ? arctan 3 ? arctan( ? 1 ) 2 ?1 1 ? x ?1 ? ? 7 ? ? (? ) ? ? 3 4 12 例5. 计算正弦曲线
3

的面积 . 解: A ? ? sin x dx
0

?

y

y ? sin x

? ? cos x

?

0

? ?[?1? 1] ? 2 o
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? x
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度
36?1000 m m ? 10 ( ( ) s s 3600

刹车, 问从开始刹

?

)

刹车后汽车减速行驶 , 其速度为

当汽车停住时,
2 2




2 5 ? 2t
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故在这段时间内汽车所走的距离为

s ? ? v(t ) d t ? ? (10 ? 5t ) d t ? ? 10 t
0 0

2 ? 0 ? 10 (m)
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内容小结
1. 微积分基本公式

设 f ( x) ? C [a, b] , 且 F ?( x) ? f ( x) , 则有

?a f ( x) d x ? f (? )(b ? a) ? F ?(? )(b ? a) ? F (b) ? F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式

b

2. 变限积分求导公式

公式

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备用题
1. 设
1 2



解: 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设

?0

f ( x) d x ? a ,

?0

f ( x) d x ? b , 则

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