2012-2013学年度上学期高二数学(理)期末复习试卷

高二数学试卷（理科）
考试时间：2012 年元月 26 日晚 19:30-21:30 试卷满分：150 分 姓名 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1.某师范大学的 2 名男生和 4 名女生被分配到两所中学实习，每所中学分配 1 名男生和 2 名女生，则 不同的分配方法有 （ ） A. 6 种 B. 8 种 C. 12 种 D. 24 种 2.

某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟，有 1000 名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的 结果是 680， 则平均每天做作业的时间在 0～60 分钟内的学生的频率是 （ ） A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 3.已知 ? x ?

10．已知曲线 C :

xx 4

?

yy 16

? 1 ，下列叙述中错误的是（

）

A. 曲线 C 关于直线 y ? ? x 对称

B. 垂直于 x 轴的直线与曲线 C 只有一个交点

C. 直线 y ? 2 x ? m?m ? R? 与曲线 C 最多有两个交点 D. 若 P ?x1 , y1 ?, P2 ?x2 , y2 ? 为曲线 C 上任意两点，则有 1 二、填空题（共 5 小题，25 分） 11.执行右图所示的程序框图，输入 l ? 2, m ? 3, n ? 5 ，则输出的 y 的值是 12.将一枚均匀的硬币投掷 6 次， 则正面出现的次数比反面出现的次数多 的概率为 . .

y1 ? y 2 ?0 x1 ? x2

? ?

a? ? 的展开式中常数项为 1120 ，其中实数 a 常数，则展开式中 x?
（
8 8
8

8

各项系数的和是
8

）

A. 2 B. 3 C. 1 或 3 D. 1 或 2 4.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售
0 y 量 （件）与月平均气温 x C 之间的关系数据算出线性回归方程

? ?

y ? ?2x ? 58. 气象部门预测下个月的平均气温约为 6 0 C ，据此估计，该商
场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数为 ( ) A. 46 B. 40 C. 50 D. 38 5.从一个正方体的 8 个定点中任取 3 个，则以这 3 个点为顶点构成直角三角 形的概率为（ ） A.

13.有 A、B 两只口袋均放有 2 个红球和 2 个白球，先从 A 袋中任取 2 个 球放到 B 袋中，在从 B 袋中任取一个球放到 A 袋中，经过这样的操作 之后，A 袋中恰有一个红球的概率为 . 14.从 1,2,3,4 中取三个不同的数字作为直线 ax ? by ? c ? 0 中 a, b, c 的 值，使直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相离，这样的直线最多有 条.

2 3

B.

4 7

C.

5 7

D.

6 7

15.方程

6.六名学生从左至右站成一排照相留念， 其中学生甲和学生乙必须相邻.在此前提下， 学生甲在最左侧 且学生丙站在最右侧的概率为 （ ） A.

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C ，则下列命题正确的是 4 ? t t ?1
②若曲线 C 为椭圆，则 1 ? t ? 4 ；

.

①曲线 C 不可能为圆；

1 30

B.

1 10

C.

1 40

D.

1 20
）

③若曲线 C 为双曲线，则 t ? 1 或 t ? 4 ；④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 1 ? t ? 三、解答题（共 6 小题，75 分）

5 . 2

7.设随机变量 X 服从正态分布 N ?0,1? ,记 ? ?x0 ? ? P? X ? x0 ?, a ? 0 ，则结论不正确的是（ A. ? ?0 ? ? 1 B. ? ?x0 ? ? 1 ? ? ?? x0 ? C. P? X ? a? ? 1 ? ? ?a?

2

D. P? X ? a? ? 2? ?a? ? 1
2

? 1 ? ? 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项 16、 （12 分）在二项式 ? x ? ? ? 2?4 x ? ?
和二项式系数最大的项.

n

8.已知函数 f ?x ? ? log2 4 ? 16 ? x , 在 ?? 4,1? 上随机取一个数 a 使 f
2

?

?

?x? ? af ?x? ? 1 ? 0
（

有解的 ）

概率为

2 5 D. 3 6 2 1? x 2 9．设 p：x －x－20>0,q： <0,则 p 是 q 的（ ） x ?2
A. B. C. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1 3

1 6

17、 （12 分）某地统计局就当地居民的月收入调查了 10000 人，并根据数据画出了样本的频率分布直 （1）求居民月收入在 ?30003500 的频率； ? , 方图，如图（包括分组左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 ?10001500 ） ? ,

x2 y2 20、 （13 分）已知椭圆： 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1、F2 ,斜率为 k 的直线 l 过左 a b
焦点 F1 且与椭圆的交点为 A、B，与 y 轴交点为 C，若 B 为线段 CF1 的中点，若 k ?

（2）根据频率分布直方图，算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关 系，必须按月收入再从这 10000 人中按分层抽样的方 法 抽 出 100 人 作 进 一 步 分 析 ， 则 月 收 入 在

14 ，求椭圆离心率 e 的取值范围。 2

?2500,3000? 的这一段应抽取多少人？

18、 （12 分）经选拔，某同学获得了参加 A、B、C 三所大学的自主招生考试的资格，已知某同学选 择参加 A 大学测试而不选择 B 和 C 大学测试的概率是 0.16 ，选择参加 A 和 B 大学测试而不选择 C 大学测试的概率为 0.24 ，三所大学都不选的概率为 0.04 .假设该同学选择参加哪所大学测试互不影 响，用 ? 表示该同学选择的大学个数与未选大学个数之差. （1）求 ? ? ?1 的概率； （2）记关于 x 的方程 x ? ?x ? 1 有负根而无正根为事件 W，求事件 W 发生的概率.

21、 （13 分）过原点作两条互相垂直的直线 OA、OB 交曲线 y= x 2 于 A、B 两点 （1）直线 AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，否则说明理由； （2）点 O 在直线 AB 上的射影为 P, 求动点 P 的轨迹方程. 19、 （13 分）一台仪器启动一次都随机出现一个五位二进制数 A ? a1a2 a3 a4 a5 ，其中 A 的各位数字 中 ， a1 ? 1, ak ?k ? 2,3,4,5? 中 出 现 0 的 概 率 为

1 2 , 出 现 1 的 概 率 为 . 例 如 A ? 1 0 0 0 1其 中 , 3 3

a1 ? a5 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 0 ，记 X ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .
（1）求 P? X ? 3? ; (2)求 X 的分布列及 E? X ? .

高二数学试卷答案（理科） 一、 题号 答案 二、填空题 11. 68 三、解答题 16.解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是 1， 12. 选择题 1 C 2 D 3 C 4 A 5 D 6 C

元月 26 日

0.2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.26 ………………………………..6 分
(2)关于 x 的方程 x ? ?x ? 1 无正根，则 ? ? 1 ，所以 ? ? 1,3 ，从而

7 C

8 B

9 A

10 A

P?W ? ? 0.8 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ……….12 分

11 32

13.

4 9

14.

8

15. ③④

8 ?1? ? 1? 19.解： （1） P? X ? 3? ? C ? ? ?1 ? ? ? …………………………………….5 分 27 ? 3? ? 3?
2 4

2

2

(2)
n 1 n 1 ， n（n-1） ，∴2· =1+ n（n-1） ， 2 2 8 8

X P
0 4

1

2
4

3
3

4
2

5
3

解得 n=8 或 n=1（不合题意，舍去） ，………………………………………………………4 分
? 1 ? k ∴Tk+1=C 8 x 2 ? 4 ? ? ? ?2 x ?
8?k

k
-k 4-

?1? C ? ? ? 3?

?1? ? 2? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
1 4

?1? ? 2? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
2 4

2

? 1 ?? 2 ? C ? ?? ? ? 3 ?? 3 ?
3 4

?2? C ? ? ?3?
4 4

4

k =C 8 2 x 4 ，当 4- k∈Z 时，Tk+1 为有理项，

3

k

3 4

令? ? X ? 1 ，则? ~ B? 4, ?, 即 E ?? ? ?

∵0≤k≤8 且 k∈Z,∴k=0，4，8 符合要求………………………………………………8 分 故有理项有 3 项，分别是 T1=x ，T5=
4

? ?

2? 3?

8 8 11 ,故 E ? X ? ? E ?? ? ? 1 ? ? 1 ? ……….13 分 3 3 3

35 1 -2 x，T9= x …………………………………10 分 256 8 35 x........12 分 8

20.解：设 F1 ?? c,0? ，则直线 l 的方程为 y ? k ?x ? c ? ，令 x ? 0 的 y ? kc ，? 点 C 坐标为 ?0, kc? ， 从而点 B? ?

∵n=8，∴展开式中共 9 项，中间一项即第 5 项的二项式系数最大.T5=

? ? 17.解： （1）月收入在 ?30003500 的频率为 0.0003? ?3500? 3000 ? 0.15………….3 分 , ? ? （2）? 0.0002? ?1500? 1000 ? 0.1,0.0004? ?2000? 1500 ? 0.2, ? 0.0005? ?2500? 2000 ? 0.25, 且 0.1 ? 0.2 ? 0.25 ? 0.55 ? 0.5
? 样本数据的中位数为 2000 ?
0.5 ? ?0.1 ? 0.2 ? ? 500 ? 2400 （元）…………………..8 分 0.25

c2 k 2c 2 c2 k 2c 2 ? c kc ? ? 1，即? 2 ? , ? ，? 点 B 在椭圆上，? 2 ? ?1 4a 4b 2 4a 4 a2 ? c2 ? 2 2?

?

?

即e ?
2

k 2e2 4 ? e2 1 ? e2 ? 4 ，? k 2 ? …………………………………….8 分 1 ? e2 e2
即 2e ? 17e ? 8 ? 0 ，解得
4 2

?

??

?

?4 ? e 2 ??1 ? e 2 ? ? 7 14 又k ? ,?? 2 2 e2
?

1 ? e 2 ? 8, 又 0 ? e 2 ? 1, 2

? ? （3）居民月收入在 ?25003000 的频率为 0.0005? ?3000? 2500 ? 0.25 ,
?10000 人中月收入在 ?25003000? 的人数为 0.25 ? 10000 ? 2500 人，在从 10000 人中用分层抽样 ,

1 2 ? e 2 ? 1,? ? e ? 1. …………………………………………………..13 分 2 2

21. 解： （1）设 P( x, y), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), lAB : y ? kx ? b,(b ? 0) 由?

? 的方法抽出 100 人，则月收入在 ?25003000 这段应抽取 100 ? ,

2500 ? 25 人. 10000

…..12 分

? y ? kx ? b, ?y ? x ,
2

消去 y 得： x ? kx ? b ? 0 ， x1 x2 ? ?b .
2

18.解： （1）设该同学参加 A,B,C,三所大学的自主招生考试的概率分别为 P , P2 , P3 1

? P1 ?1 ? P2 ??1 ? P3 ? ? 0.16 ? P1 ? 0.8 ? ? 依题意的 ? P1 P2 ?1 ? P3 ? ? 0.24 解得 ? P2 ? 0.6 …………………………………3 分 ??1 ? P ??1 ? P ??1 ? P ? ? 0.04 ? P ? 0 .5 1 2 3 ? 3 ?

∵OA ⊥OB，∴ OA ? OB ? 0, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ， 所以 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?b ? (?b) ? 0 ,b≠0，
2 2

??? ??? ? ?

∴ b＝1，∴ 直线 AB 过定点 M(0, 1),………………………………………7 分 （2）OP⊥AB，∴点 P 的轨迹是以 OM 为直径的圆（不含原点 O） ， ∴点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? ) ?
2 2

? ? ?1 表示三所大学选择一所，两所没选择，则 P?? ? ?1? ? P P2 P3 ? P P2 P3 ? P P2 P3 1 1 1

1 2

1 ( y ? 0) …………………………..14 分 4