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江苏省淮海中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省淮海中学高二(下)期中数学试卷(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,计 70 分) 2 1.命题“?x∈(0,2) ,x +2x+2≤0”的否定是 2.“a>1”是“ <1”成立的 条件.



3.复数 z=

,则 =



4

. 若抛物线 y =2px (p>0) 的焦点与双曲线

2

的右焦点重复, 则 p=



5. 观察下列不等式: 1> , 1+ + >1, 1+ + +…+ > , 1+ + +…+ > ,…,由此猜测第 n 个不等式为 (n∈N ) . 6.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有
*

>2, 1+ + +…+

种.

7.已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=1,AB=2,N 为 AB 上一点, AB=4AN, 点 M、 S 分别为 PB、 BC 的中点, 则 SN 与平面 CMN 所成角的大小为 . 8.曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为 .

9.若 A,B,C,D,E,F 六个不同元素排成一列,要求 A 不排在两端,且 B、C 相邻,则 不同的排法共有 种(用数字作答) 10.设 α,β 为互不重合的平面,m,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n?α,则 m⊥n;②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β;④若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β, 其中所有正确命题的序号是 . 11.姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标,则共有 作答) . 种中标情况(用数字

12.若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1,x2,…xn,总满足: [f(x1) +f(x2)+…+f(xn)]≤f( ) ,称函数 f(x)为 D 上的凸函数.现已知 f(x) .

=sinx 在(0,π)上是凸函数,则在△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值是

13.已知三点 A(0,a) ,B(b,0) ,C(c,0) ,b+c≠0,a≠0,矩形 EFGH 的顶点 E、H 分 别在△ ABC 的边 AB、AC 上,F、G 都在边 BC 上,不管矩形 EFGH 如何变化,它的对角 线 EG、HF 的交点 P 恒在一条定直线 l 上,那么直线 l 的方程是 . 14.已知函数 f(x)=sin x+2ax(a∈R) ,若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 与曲线 y=f(x) 均不相切,则 a 的取值范围是 .
2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (14 分) (2015 春?江苏校级期中)已知复数 z1=m(m﹣1)+(m﹣1)i,z2=(m+1)+ 2 (m ﹣1)i, (m∈R) ,在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2. (1)若 z1 是纯虚数,求 m 的值; (2)若 z2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围. 16. (14 分) (2015 春?江苏校级期中)是否存在常数 a,b 使得 2+4+6+…+(2n)=an +bn * 对一切 n∈N 恒成立?若存在,求出 a,b 的值,并用数学归纳法证明;若不存在,说明理由. 17. (15 分) (2013 秋?海陵区校级期末)在平面直角坐标系中,设△ ABC 的顶点分别为 A (0,2) ,B(﹣1,0) ,C(2,0) ,圆 M 是△ ABC 的外接圆,直线 l 的方程是(2+m)x+ (2m﹣1)y﹣3m﹣1=0(m∈R) (1)求圆 M 的方程; (2)证明:直线 l 与圆 M 相交; (3)若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程. 18. (15 分) (2013?江苏) 如图, 在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.
2

19. (16 分) (2014 春?姜堰市期中)现有 0,1,2,3,4,5 六个数字. (1)用所给数字能够组成多少个四位数? (2)用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3) 用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比 3142 大的数? (最后结果均用数字作答) 20. (16 分) (2014?广州模拟)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) ) 处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
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2014-2015 学年江苏省淮海中学高二(下)期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,计 70 分) 1.命题“?x∈(0,2) ,x +2x+2≤0”的否定是 ?x∈(0,2) ,x +2x+2>0 . 考点: 命题的否定. 专题: 阅读型. 2 分析: 根据命题“?x∈(0,2) ,x +2x+2≤0”是特称命题,其否定为全称命题,即?x∈(0,2) , 2 x +2x+2>0.从而得到答案. 2 解答: 解:∵命题“?x∈(0,2) ,x +2x+2≤0”是特称命题 2 ∴否定命题为:?x∈(0,2) ,x +2x+2>0 2 故答案为:?x∈(0,2) ,x +2x+2>0. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的转化.属基础题.
2 2

2.“a>1”是“ <1”成立的 充分不必要 条件.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:若 a>1,则 <1,即充分性成立, 若 a=﹣1,满足 <1,但 a>1 不成立,即必要性不成立,

则“a>1”是“ <1”成立的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

3.复数 z=

,则 =

1+2i .

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用两个复数代数形式的除法,求出复数 z 的代数形式,即可得到 . 解答: 解:∵复数 z= = = =1﹣2i,∴ =1+2i,

故答案为:1+2i. 点评: 本题考查复数的基本概念,两个复数代数形式的除法,两个复数相除,分子和分母 同时乘以分母的共轭复数.

4.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线

2

的右焦点重复,则 p= 8 .

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 先确定双曲线的右焦点坐标,再根据抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 的右焦点重复,即可求 p 的值.

解答: 解:双曲线

中 a =12,b =4,∴c =a +b =16,∴c=4

2

2

2

2

2

∴双曲线

的右焦点为(4,0)

∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点与双曲线 ∴

2

的右焦点重复,

∴p=8 故答案为:8 点评: 本题考查双曲线与抛物线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

5. 观察下列不等式: 1> , 1+ + >1, 1+ + +…+ > , 1+ + +…+ > ,…,由此猜测第 n 个不等式为 1+ + +…+ > (n∈N ) .
*

>2, 1+ + +…+

考点: 归纳推理. 专题: 规律型;探究型. 分析: 根据所给的五个式子,看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和,观察最后一项 的特点,3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1,和右边数字的特点,得到第 n 格不等式的形式. 2 3 4 解答: 解:∵3=2 ﹣1,7=2 ﹣1,15=2 ﹣1, ∴可猜测:1+ + +…+ > (n∈N ) .
* 2 3 4

故答案为:1+ + +…+



点评: 本题考查归纳推理,是由某类事物的部分对象所具有的某些特征,推出该类事物的 全部对象都具有这些特征的推理, 它的特点是有个别到一般的推理, 本题是一个不完全归纳. 6.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有 12 种. 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 根据题意,使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面的情况数目,再分析求出 其中其中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面的情况数目,进而可得答案. 3 解答: 解:使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面,共 C6 种不同的取法, 而其中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面,选法有 8 种, 则选法共有 C6 ﹣8=12 种, 故答案为:12. 点评: 本题考查组合的运用,但涉及立体几何的知识,要求学生有较强的空间想象能力, 属于基础题. 7.已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=1,AB=2,N 为 AB 上一点, AB=4AN,点 M、S 分别为 PB、BC 的中点,则 SN 与平面 CMN 所成角的大小为 45° . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与平面所成的角. 计算题;空间位置关系与距离. 建立空间直角坐标系,利用向量法求直线和平面所成的角. 解:以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系
3

如图.则 C(0,1,0) ,M(1,0, ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0) ,

=(﹣ ,﹣ ,0) 设 =(x,y,z)为平面 CMN 的法向量, ∵ =(1,﹣1, ) , =( ,﹣1,0) ,



∴可得平面 CMN 的一个法向量 =(2,1,﹣2) , 设直线 SN 与平面 CMN 所成角为 θ, ∵sinθ=|cos< , >|= ,

∴SN 与平面 CMN 所成角为 45°. 故答案为:45°.

点评: 本题主要考查直线所成角的大小求法,建立空间直角坐标系,利用向量坐标法是解 决此类问题比较简洁的方法. 8.曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为 x+y﹣2=0 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜 式方程写出切线方程即可. 解答: 解:y= 的导数

y'=



y'|x=1=﹣1, 而切点的坐标为(1,1) , ∴曲线 y= 在在 x=1 处的切线方程为 x+y﹣2=0.

故答案为:x+y﹣2=0 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础 题. 9.若 A,B,C,D,E,F 六个不同元素排成一列,要求 A 不排在两端,且 B、C 相邻,则 不同的排法共有 144 种(用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 把 B,C 看做一个整体,有 2 种方法;6 个元素变成了 5 个,先在中间的 3 个位中 1 4 选一个排上 A,有 A3 =3 种方法,其余的 4 个元素任意排,有 A4 种不同方法.根据分步计 数原理求出所有不同的排法种数. 解答: 解:由于 B,C 相邻,把 B,C 看做一个整体,有 2 种方法.这样,6 个元素变成了 5 个. 1 先排 A,由于 A 不排在两端,则 A 在中间的 3 个位子中,有 A3 =3 种方法. 4 其余的 4 个元素任意排,有 A4 种不同方法, 4 故不同的排法有 2×3×A4 =144 种, 故答案为:144. 点评: 本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,注意把特殊元素与位置优先排 列,属于中档题. 10.设 α,β 为互不重合的平面,m,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n?α,则 m⊥n;②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β;④若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β, 其中所有正确命题的序号是 ①③ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面垂直的定义,可判断①;根据面面平行的判定定理,可判断②;根据面 面垂直的性质定理,可判断③;根据空间线面垂直及线面平行的几何特征,可判断④. 解答: 解:①根据线面垂直的定义:若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,故正确; ②根据面面平行的判定定理:若 m?α,n?α,m∩n=A,m∥β,n∥β,则 α∥β,但 m∥n 时,不一定有 α∥β,故错误; ③根据面面垂直的性质定理:若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β,故正确; ④若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β 或 n?β,故错误; 故正确的命题的序号是:①③, 故答案为:①③ 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档. 11. 姜堰市政有五个不同的工程被三个公司中标, 则共有 150 种中标情况 (用数字作答) . 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合.

分析: 五项不同的工程,由三个工程队全部承包下来,则每队至少承包一项工程,此类问 题的求解,第一步要将五项工程分为三组,第二步再计算承包的方法,由于五项工程分为三 组的分法可能是 3,1,1 或 2,2,1 故要分为两类计数. 3 解答: 解:若五项工程分为三组,每组的工程数分别为 3,1,1,则不同的分法有 C5 =10 3 种,故不同的承包方案有 10A3 =60 种, 若五项工程分为三组,每组的工程数分别为 2,2,1,则不同的分法有 C5 C3 =15 种,故 不同的承包方案 15A3 =90 种, 故总的不同承包方案为 60+90=150 种. 故答案为:150. 点评: 本题考查排列组合及简单计数问题,解题的关键是理解“五项不同的工程,由三个工 程队全部承包下来”,将问题分为两类计数,在第二类 2,2,1 分组中由于计数重复了一倍, 故应除以 2,此是本题中的易错点,疑点,解题时要注意避免重复,这是计数问题中常犯的 错误.
3 2 2

12.若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1,x2,…xn,总满足: [f(x1) +f(x2)+…+f(xn)]≤f( ) ,称函数 f(x)为 D 上的凸函数.现已知 f(x) .

=sinx 在(0,π)上是凸函数,则在△ ABC 中,sinA+sinB+sinC 的最大值是

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 f(x)=sinx 在(0,π)上是凸函数以及凸函数的定义可得 ≤f( )=f( ) ,即 sinA+sinB+sinC≤3sin ,由此求得

sinA+sinB+sinC 的最大值. 解答: 解: :∵f(x)=sinx 在区间(0,π)上是凸函数, 且 A、B、C∈(0,π) , ∴ 即 sinA+sinB+sinC≤3sin = ≤f( , . )=f( ) ,

所以 sinA+sinB+sinC 的最大值为 故答案为: .

点评: 本题主要考查三角函数的最值问题.考查了考生运用所给条件分析问题的能力和创 造性解决问题的能力,属于中档题. 13.已知三点 A(0,a) ,B(b,0) ,C(c,0) ,b+c≠0,a≠0,矩形 EFGH 的顶点 E、H 分 别在△ ABC 的边 AB、AC 上,F、G 都在边 BC 上,不管矩形 EFGH 如何变化,它的对角

线 EG、HF 的交点 P 恒在一条定直线 l 上,那么直线 l 的方程是 .

考点: 直线的一般式方程. 专题: 综合题. 分析: 因为不管矩形 EFGH 如何变化,它的对角线 EG、HF 的交点 P 恒在一条定直线 l 上, 故取两种特殊情况分别求出相应的 P 点坐标即可求出直线 l 的方程,方法是:E 和 H 分别为 |AB|和|AC|的中点或三等份点,分别求出 E、F、G、H 四点的坐标,然后利用相似得到相应 的 P 点、P′点坐标,根据 P 和 P′的坐标写出直线方程即为定直线 l 的方程. 解答: 解:①当 E、H 分别为|AB|和|AC|的中点时, 得到 E( , ) ,F( ,0) ,H( , ) ,G( ,0) 则|PQ|= ,|FQ|= |EH|= |BC|= (c﹣b) , 而|FO|=﹣ ,所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|= (c﹣b)+ = ②当 E、H 分别为|AB|和|AC|的三等份点时, 得到 E( , ) ,F( ,0) ,H( , ) ,G( ,0) ,所以 P( , ) ;

则|PQ|= ,|FQ|= |EH|= |BC|= (c﹣b) ,而|FO|=﹣ , 所以|OQ|=|FQ|﹣|OF|= (c﹣b)+ = ,所以 P′( , ) .

则直线 PP′的方程为:y﹣ =

(x﹣

) ,化简得 y= ﹣

x

故答案为:y= ﹣

x

点评: 此题考查学生灵活运用三角形相似得比例解决数学问题,会根据两点坐标写出直线 的一般式方程,是一道中档题. 14.已知函数 f(x)=sin x+2ax(a∈R) ,若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 与曲线 y=f(x) 均不相切,则 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) .
2

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先将条件“对任意实数 m 直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线”转化成 f'(x) =﹣1 无解,然后求出 2sinxcosx+2a=﹣1 有解时 a 的范围,最后求出补集即可求出所求. 解答: 解:∵对任意实数 m 直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线 ∴曲线 y=f(x)的切线的斜率不可能为﹣1 即 f'(x)=2sinxcosx+2a=﹣1 无解 ∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2 ∴﹣1≤a≤0 时 2sinxcosx+2a=﹣1 有解 ∴对任意实数 m 直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围是(﹣∞, ﹣1)∪(0,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) . 点评: 本题解题的关键是对“对任意实数 m 直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线” 的理解, 同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及转化的数学思想, 属于基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15. (14 分) (2015 春?江苏校级期中)已知复数 z1=m(m﹣1)+(m﹣1)i,z2=(m+1)+ 2 (m ﹣1)i, (m∈R) ,在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2. (1)若 z1 是纯虚数,求 m 的值; (2)若 z2 在复平面内对应的点位于第四象限,求 m 的取值范围. 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)如果复数 a+bi(a,b 是实数)那么 a=0 不 b≠0.由此解答; (2)根据点的位置确定,复数的实部和虚部的符号,得到不等式组求之. 解答: (1)因为复数 z1=m(m﹣1)+(m﹣1)i(m∈R)是纯虚数, 所以 m(m﹣1)=0,且 m﹣1≠0,解得 m=0; …(7 分) (2)因为复数 (m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限,

所以

,解之得﹣1<m<1; …(14 分)

点评: 本题考查了复数的基本概念;如果复数 a+bi(a,b 是实数)那么 a=0 不 b≠0. 16. (14 分) (2015 春?江苏校级期中)是否存在常数 a,b 使得 2+4+6+…+(2n)=an +bn * 对一切 n∈N 恒成立?若存在,求出 a,b 的值,并用数学归纳法证明;若不存在,说明理由. 考点: 数学归纳法. 专题: 综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 先假设存在符合题意的常数 a,b,再令 n=1,n=2 构造两个方程求出 a,b,再用用 数学归纳法证明成立,证明时先证: (1)当 n=1 时成立. (2)再假设 n=k(k≥1)时,成立, 递推到 n=k+1 时,成立即可.
2

解答: 解:取 n=1 和 2,得
2

解得

,…(4 分)

即 2+4+6+…+(2n)=n +n. 以下用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证.…(6 分) * 2 (2)假设当 n=k,k∈N 时等式成立即 2+4+6+…+(2k)=k +k …(8 分) 2 那么,当 n=k+1 时有 2+4+6+…+(2k)+(2k+2)=k +k+(2k+2)…(10 分) 2 2 =(k +2k+1)+(k+1)=(k+1) +(k+1)…(12 分) 就是说,当 n=k+1 时等式成立…(13 分) 根据(1) (2)知,存在 ,使得任意 n∈N 等式都成立…(15 分)
*

点评: 本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法,对存在性问题先假设存在,再证明是 否符合条件,数学归纳法的关键是递推环节,要符合假设的模型才能成立. 17. (15 分) (2013 秋?海陵区校级期末)在平面直角坐标系中,设△ ABC 的顶点分别为 A (0,2) ,B(﹣1,0) ,C(2,0) ,圆 M 是△ ABC 的外接圆,直线 l 的方程是(2+m)x+ (2m﹣1)y﹣3m﹣1=0(m∈R) (1)求圆 M 的方程; (2)证明:直线 l 与圆 M 相交; (3)若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程. 考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出边 AC、BC 的垂直平分线方程,根据圆心 M 在这 2 条边的垂直平分线上, 可得 M( , ) ,再求出半径 MC 的值,即可得到圆的标准方程. (2)根据直线 l 经过定点 N,而点 N 在圆的内部,即可得到直线和圆相交. (3)由条件利用弦长公式求得圆心 M( , )到直线 l 的距离为 d= .再根据据点到直线 的距离公式求得 m 的值,可得直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵△ABC 的顶点分别为 A(0,2) ,B(﹣1,0) ,C(2,0) ,故线段 BC 的垂直平分线方程为 x= , 线段 AC 的垂直平分线为 y=x,再由圆心 M 在这 2 条边的垂直平分线上,可得 M( , ) ,

故圆的半径为|MC|=

=

,故圆的方程为

+

= .

(2)根据直线 l 的方程是(2+m)x+(2m﹣1)y﹣3m﹣1=0(m∈R) ,即 m(x+2y﹣3)+2x ﹣y﹣1=0,



可得

,故直线经过定点 N(1,1) .

由于 MN=

=

<r=

,故点 N 在圆的内部,故圆和直线相交.

(3)∵直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,故圆心 M( , )到直线 l 的距离为

d=

= .

再根据点到直线的距离公式可得

= ,求得 m=﹣2,或 m= ,

故直线 l 的方程为 y=1,或 x=1. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,直线过定点问题,直线和圆的位置关系,属于中档 题. 18. (15 分) (2013?江苏) 如图, 在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量

法能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值. (2)分别求出平面 ABA1 的法向量和平面 ADC1 的法向量,利用向量法能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值, 再由三角函数知识能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的 正弦值. 解答: 解: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

则由题意知 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) , A1(0,0,4) ,D(1,1,0) ,C1(0,2,4) ,





=(1,﹣1,﹣4) ,

∴cos<

>=

=

=



∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 (2) 设平面 ADC1 的法向量为 ∵



是平面 ABA1 的一个法向量, , ,



,取 z=1,得 y=﹣2,x=2,

∴平面 ADC1 的法向量为 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 θ, ∴cosθ=|cos< ∴sinθ= >|=| = . |= ,



∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为



点评: 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法,考查平面与平面所成角的正弦值的 求法,解题时要注意向量法的合理运用. 19. (16 分) (2014 春?姜堰市期中)现有 0,1,2,3,4,5 六个数字. (1)用所给数字能够组成多少个四位数? (2)用所给数字可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3) 用所给数字可以组成多少个没有重复数字且比 3142 大的数? (最后结果均用数字作答)

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: (1)利用分步计数原理,第一步先排首位(因为零不能再首位) ,再排其它三个位 值,注意数字可以重复, (2)利用分步计数原理,第一步先排首位(因为零不能再首位) ,再排其它四个位值,注意 数字不可以重复, (3)利用分类计数原理,比 3142 大的数包含四位数、五位数和六位数,然后再分类求出即 可. 解答: 解: (1)能够组成四位数的个数为:5×6×6×6=1080 (2)能组成没有重复数字的五位数的个数为: =600;

(3)比 3142 大的数包含四位数、五位数和六位数,其中: 六位数有: 五位数有: =600; ; ;

四位数有千位是 4 或 5 的,千位是 3 的,而千位是 4 或 5 的有 千位是 3 的分为百位是 2、4、5 的与百位是 1 的, 百位是 2、4、5 的有 ,

百位是 1 的分为十位是 4 和 5 两种情况,十位是 5 的有 3 种,十位是 4 的有 1 种, 所以共有 600+600+120+36+3+1=1360. 答:能组成四位数 1080 个;没有重复数字的五位数 600 个;比 3142 大的数 1360 个. 点评: 本题主要考查了分类计数原理,关键如何分类,遵循不重不漏的原则,属于中档题. 20. (16 分) (2014?广州模拟)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) ) 处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究曲线上某 点切线方程. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 分析: (1)由题意,利用导函数的几何含义及切点的实质建立 a,b 的方程,然后求解即 可; (2)由题意,对于定义域内任意自变量都使得|f(x1)﹣f(x2)|≤c,可以转化为求函数在 定义域下的最值即可得解; (3)由题意,若过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,等价与函数在切 点处导函数值等于切线的斜率这一方程有 3 解. 2 解答: 解: (1)f'(x)=3ax +2bx﹣3. (2 分)
3 2

根据题意,得
3



解得

所以 f(x)=x ﹣3x. 2 (2)令 f'(x)=0,即 3x ﹣3=0.得 x=±1. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f′(x)>0,函数 f(x)在此区间单调递增; 当 x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)在此区间单调递减 因为 f(﹣1)=2,f(1)=﹣2, 所以当 x∈[﹣2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=﹣2. 则对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x) min|=4,所以 c≥4. 所以 c 的最小值为 4. (3)因为点 M(2,m) (m≠2)不在曲线 y=f(x)上,所以可设切点为(x0,y0) . 3 则 y0=x0 ﹣3x0. 2 2 因为 f'(x0)=3x0 ﹣3,所以切线的斜率为 3x0 ﹣3. 则 3x0 ﹣3=
3 2 2



即 2x0 ﹣6x0 +6+m=0. 因为过点 M(2,m) (m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线, 所以方程 2x0 ﹣6x0 +6+m=0 有三个不同的实数解. 3 2 所以函数 g(x)=2x ﹣6x +6+m 有三个不同的零点. 2 则 g'(x)=6x ﹣12x.令 g'(x)=0,则 x=0 或 x=2. 当 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)>0,函数 g(x)在此区间单调递增;当 x∈(0,2)时,g′ (x)<0,函数 g(x)在此区间单调递减; 所以,函数 g(x)在 x=0 处取极大值,在 x=2 处取极小值,有方程与函数的关系知要满足 题意必须满足: ,即 ,解得﹣6<m<2.
3 2

点评: (1)此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义,还考查了数学中重要的方 程的思想; (2)此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值; (3)此题重点考查了数学中导数的几何含义,还考查了函数解的个数与相应方程的解的个 数的关系.


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