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2.5 函数与方程小结与复习-高一必修1苏教版


第三十二课时函数与方程小结与复 习
【学习导航】

方法重复进行下去, 直到区间的两个端点的近 似值相同(且都符合精确度要求) ,即可得一 个近似值.

听课随笔

【精典范例】

学习要求
1.了解函数的零点与方程根的关系; 2.根据具体的函数图象,能够用二分 法求相应方程的近似

解; 3.体会函数与方程的内在联系,初步 建立用函数方程思想解决问题的 思维方式.

例 1:已知二次函数 y ? f ( x ) 的图象经过点
( 0 , ? 8 ), (1, ? 5 ), (3, 7 ) 三点,

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) 的零点; (3)比较 f ( 2 ) f ( 4 ) , f (1) f (3) ,
f ( ? 5) f (1) , f (3) f ( ? 6 ) 与 0 的大小关系.

自学评价
1.一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程(以后还 将学习一元二次不等式)的关系一直是高中 数学函数这部分内容中的重点,也是高考必 考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应 关系:一元二次函数的图象与 x 轴的交点的 横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一 元二次方程的解也是对应的一元二次函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标. 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 图象交 点的横坐标就是方程 f ( x ) ? g ( x ) 的解;反 之,要求方程 f ( x ) ? g ( x ) 的解,也只要求

分析:可设函数解析式为 y ? a x ? b x ? c ,
2

将已知点的坐标代入方程解方程组求 a 、 b 、 c. 【解】 (1)设函数解析式为 y ? a x ? b x ? c ,
2

?a ? 1 ?c ? ?8 ? ? 由 ? a ? b ? c ? ? 5 解得 ? b ? 2 , ?c ? ?8 ? 9 a ? 3b ? c ? 7 ? ?

∴ f (x) ? x ? 2 x ? 8 .
2

(2)令 f ( x ) ? 0 得 x ? 2 或 ? 4 , 函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 图象交点的横坐 标. 3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方 程 的 根 所 在 的 区 间 (m , n) , 则 必 有
f (m ) ? f (n) ? 0 , 再 取 区 间 的 中 点

∴零点是 x1 ? 2 , x 2 ? ? 4 . (3) f ( 2 ) f ( 4 ) ? 0 ,
f ( ? 1) f (3) ? ? 9 ? 7 ? ? 6 3 ? 0 , f ( ? 5) f (1) ? ? 3 5 ? 0 , f (3) f ( ? 6 ) ? 1 1 2 ? 0 .

p ?

m ?n 2

, 再判断 f ( p ) ? f ( m ) 的正负号,

若 f ( p ) ? f (m ) ? 0 , 则根在区间 ( m , p ) 中; 若 f ( p ) ? f ( m ) ? 0 ,则根在 ( p , n ) 中;若
f ( p ) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按照以上

点 评 : 当 二次 函数 y ? f (x) 的 两 个 零点
x 1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 都在(或都不在)区间 ( m , n )

中时, f ( m ) f ( n ) ? 0 ;有且只有一个零点在

区间 ( m , n ) 中时, f ( m ) f ( n ) ? 0 . 例 2: 利用计算器, 求方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 的
2

解法二: 将原方程写成 x ?

x ?7
2

听课随笔 ①

6

近似解(精确到 0 .1 ) . 分析一:可先找出方程的根所在的一个区 间,再用二分法求解. 解法一:设 f ( x ) ? x ? 6 x ? 7 ,通过观察
2

取 x1 ? 2 代入等式右边得
x2 ? 11 6 ? 1 .8 3 3 3 3 3 ,再将 x 2 代入方程①右

边,得 x 3 ? 1 .7 2 6 8 5 ,?? 如此循环计算数十次后, 可得计算结果稳定在 1 .5 8 5 8 3 ,∴该方程的近似解为 1 .5 8 5 8 3 ,精 确到 0 .1 后为 1 .6 .用同样的方法可以求出方 程的另一个近似解为 4 .4 . 点评: “迭代法”也是一种常用的求近似解的 方法. 例 3: 已知函数 f ( x ) ? kx ? ( k ? 3) x ? 1 的图
2

函数的草图得:
f (1) ? 2 ? 0 , f ( 2 ) ? ? 1 ? 0 ,

∴方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 有一根在 (1, 2 ) 内, 设
2

为 x1 , ∵ f (1 .5 ) ? 0 .2 5 ? 0 ,∴ 1 .5 ? x1 ? 2 , 又∵ f (
1 .5 ? 2 2 ) ? f (1 .7 5 ) ? ? 0 .4 3 7 5 ? 0 ,

象与 x 轴在原点的右侧有交点, 试确定实数 k 的取值范围. 分析: 【解】 当 k ? 0 时, f ( x ) ? ? 3 x ? 1 与 x 轴 (1) 的交点为 ( , 0 ) ,符合题意;
3 1

∴ 1 .5 ? x1 ? 1 .7 5 ,如此继续下去,得
f (1) ? 0, f ( 2 ) ? 0 ? x1 ? (1, 2 ) , f (1 .5) ? 0, f ( 2 ) ? 0 ? x1 ? (1 .5, 2 ) , f (1 .5) ? 0, f (1 .7 5) ? 0 ? x1 ? (1 .5,1 .7 5) f (1 .5) ? 0, f (1 .6 2 5) ? 0 ? x1 ? (1 .5,1 .6 2 5)
f (1 .5 6 2 5) ? 0, f (1 .6 2 5) ? 0

(2) k ? 0 时, f (0 ) ? 1 ,
k ? 0 时, f ( x ) 的图象是开口向下的抛物线,

它与 x 轴的两交点分别在原点的两侧;
k ? 0 时, f ( x ) 的图象是开口向上的抛物线,
? ? ? (k ? 3) ? 4 k ? 0 ? 必须 ? k ? 3 ,解得 0 ? k ? 1 ? 0 ?? 2k ?
2

? x1 ? (1 .5 6 2 5,1 .6 2 5)

∵ 1 .5 6 2 5,1 .6 2 5 精确到 0 .1 的近似值都为 综上可得 k 的取值范围为 ( ? ? ,1] .
1 .6 ,所以方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 的一个近似
2

追踪训练一
1.函数 f ( x ) ? lo g 2 ( x ? 4 x ? 5) 的图象与 x 轴交点横坐标为 ( D )
2

值都为 1 .6 ,用同样的方法,可求得方程的 另一个近似值为 4 .4 . 点评:解题过程中要始终抓住重点:区间两 端点的函数值必须异号. 分析二:还可以用方程近似解的另一种方法 ——“迭代法”来求解.

) A. 1 B. 0 C. 2 或 0
x a

D. 2
x ? 0 的解

2.已知 0 ? a ? 1 则方程 a ? log 的个数是( A ) A. 1 B. 2 C. 3

D. 不确定

3.直线 y ? kx ?

3 2

与曲线 y ? 2 y ? x ? 3
2

听课随笔

? 0 只有一个公共点,则 k 的值为( A
1 1 A. 0, ? , 2 4



B. 0, ? D. 0,
2

1 4 1 4

C. ?

1 1 , 2 4
2

1 2

,?

4.函数 y ? x ? 6 x ? 5 与 x 轴交点坐标是
(1, 0 ) 、 (5, 0 ) ,方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 的根为

1 或5


2

5.已知方程 x ? kx ? 2 ? 0 在区间 ( 0 , 3 ) 中 有且只有一解,则实数 k 的取值范围为
k ? 11 3

.
x

6. 已知函数 f ( x ) ? a ? 2 过点 (1, 0 ) , 则方 程 f ( x ) ? x 的解为 ? 1 . 7 . 7.求方程 2 x ? 8 x ? 5 ? 0 的近似解(精确 到 0 .1 ) . 答案: 3 .2 和 0 .8
2

学生质疑

8. 判断方程 x ? ( 2 a ? 2 ) x ? 2 a ? 5 ? 0(其
2

中 a ? 2 )在区间 (1, 3) 内是否有解. 答案:有解.

教师释疑


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