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福建省厦门双十中学2015-2016年上学期中考高三理科数学


双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 M={y|y=x +1,x?R},集合 N={y|y=ln(x+1)+1,x?R},则 M∩N 等于( ) A.{(0,1)} B.(0,1) C.[-1,+∞) )条件 C. 必

要 D. 必要非充分 ) D.[1,+∞)

2.命题“若 ? p 则 q”是真命题,则 p 是 ? q 的( A.充分 B. 充分非必要

3. 已知 a, b 的夹角是 120 ,且 a ? (?2, ?4), b ? 5 ,则 a 在 b 上的投影等于(
0

? ?

?

?

?

?

A. -

5 2

B. - 5
2 2

C.2 5

D.

5 2

4.已知 p:存在 x∈R,mx +1≤0,q:任意 x∈R,x +mx+1>0,若 p 且 q 为真命题,则实数 m 的取值范 围是( ) A.m﹤2 B.-2﹤m<2 C.0﹤m﹤2
2 2 2

D.-2<m<0 )

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为( A.

5? 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6. 已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动(含端点). OA ? OB ? 0 , OC ? xOA ? 2 yOB( x, y ? R) ,则 x ? y 的取值范围是( ) 2 1 1 2 2 1 2 2 1 A. [B. [ , C. [- , ] D. [, ] ] , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 7. 若函数 f ( x) ? 3sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 为奇函数,将函数 f(x)图像上所有点横坐标变为 ? 原来的一半,纵坐标不变;再向右平移 个单位得到函数 g(x), 则 g(x)的解析式可以是( ) 8 ? ? 1 ? 1 ? A. g( x) ? 2sin(2 x ? ) B. g( x) ? 2sin(2 x ? ) C. g( x) ? 2sin( x ? ) D. g( x) ? 2sin( x ? ) 4 8 2 4 2 16

? 6

B.

π 3

C.

π 2π 或 3 3

D.

?



8. 已知如图 (1) 的图象对应的函数为 y = f(x) ,给出① y = f(|x|) ; ②y=|f(x)|-a;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|). ⑤ y ? f ( x ) -a ,则如图 (2) 的图象对应的函数 可能 是五个式子中的 .. ( A.④ ) B. ② ④ C. ①② D. ②③④⑤

9. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 为 y ? f ?( x) , 当 x ? 0 时 , f ?( x) ?

f ( x) ? 0 ,若 x

a?

1 1 1 1 ) f ( ) , b ? ? 2 f (? 2) , c ? (ln ) f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( 2 2 2 2 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. c ? a ? b

3 3 , 0) 对称,且 f(x)=-f(x+ )则下列结论: (1)f(x)的最小正周期是 3, 4 2 3 9 ( , 0) (2) f(x)是偶函数, (3)f(x) 关于 x= 对称, (4)f(x)关于 对称,正确的有( ) 4 2 (10. 若函数 f(x)(x∈R)关于
A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
-1-

11.如图,已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上,半径为 1 m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度 匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y= sin
2

x ,则 y 与时间 t(0≤t≤1,单位:s)的函数 2

y=f(t)的图象大致为(

)

? 2x ? a ? x ? 1? ? 12. 设函数 f ? x ? ? ? 要使 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是( ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
A.

)

1 ? a ? 1或a ? 2 2

B.

1 ? a ? 1 2

C. a ? 2

D.

1 ? a ? 2 2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . π? 1 ? 13.若 tan?θ + ?= ,则 sin 2θ =________. 4? 2 ? 14. 设等差数列{ a n }前 n 项和为 Sn, a 3 ? a 8 +a13 =C, a 4 ? a14 ? 2C ,其中 C<0,则 Sn 在 n 等于_______时取到 最大值. 15.已知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 在 [0, a ] 的值域是 [?1,3] ,实数 a 的取值范围记为集合 A, g( x) ? cos x ?
2

a sin x , 2

记 g( x) 的最大值为 g(a) .若 g(a) ? b 对任意实数 a∈A 恒成立,则实数 b 的取值范围是________.

116.若函数 f(x)=(

1 2 2 x )( x ? ax ? b) 的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(x)的最大值为________. 4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17(以下两题选出一题作答,两题都答只给一题的分数) (本题 10 分)
? ? ?x=4cos θ , ? x ? a ? 2t (t 为参数),圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=4sin θ ? ? ? y ? 2 3t

(选 1). 已知直线 l 的参数方程为 ?

(1)当 a=0 时,求直线 l 和圆 C 交点的极坐标(ρ ,θ ) (其中ρ ﹥0,0<θ <2π ) ; (2)若直线 l 与圆 C 交于 P、Q 两点,P、Q 间的劣弧长是

8? ,求直线 l 的极坐标方程. 3

1 2 17(选 2). (1)若不等式|2x-1|+|x+2|≥m + m+2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围; 2 2 1 1 1 (2)设 a,b,c 大于 0,且 1≤ + + ≤ (|2x-1|+|x+2|)对任意实数 x 恒成立, a 2b 3c 5 求证:a+2b+3c≥9.

-2-

18(本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 对称轴间的距离为

?
2

) 的图象经过点(0, ),且相邻两条

1 2

? . 2
A 1 )- cos A= ,且 bc ? 1, b ? c ? 3 ,求 a 的值. 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式及其单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f (

19(本题 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, , a1 =1 . (n ? N +)

an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式; n 2 (2) 设数列 ?bn ? 满足 bn ? n(an ? 2n ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
(1) 设 c n ?

? ? ???? ? ???? AB1 + AB2 . 3 4 ??? ? ??? ? ???? ???? ? (1)若 B1、P、B2 三点共线,求| AP |的最小值,并用 AB1 、 AB2 表示 AP ; ???? ???? ? ??? ? (2)设 Q 是 AB1B2 的内心,若| QP |≤2,求 B1P ? B2 P 的取值范围.
20(本题 12 分) 已知 AB1 ⊥ AB2 ,| AB1 |=3,| AB2 |=4, AP =

????

???? ?

????

???? ?

??? ?

-3-

21(本题 12 分)某山体外围有两条相互垂直的直线型公路,为开发山体资源,修建一条连接两条公路沿山区边 界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 L.如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分别为 5 千米和 80 千米,点 N 到 l1 的距离为 100 千米,以 l 1, l2 所在的 直线分别为 x、y 轴建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y= (1)设公路 L 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 L 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 L 的长度最短?求出最短长度. (2)在公路长度最短的同时要求美观,需在公路 L 与山体之间修建 绿化带(如图阴影部分) ,求绿化带的面积.

a 模型(其中 a 为常数). x

22(本题 12 分)设函数

f ( x) ? emx -mx2 .

(1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 L1 的方程; (2)当 m>0 时,要使 f ( x) ? 1 对一切实数 x≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)求证:

?e
i ?1

n

? i ( i ?1)

?

1 1 1 ? ? e 3 2n ? 1

-4-

双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考答卷 (说明:大题的答案必须写在虚线内,否则无效;必须用黑色签字笔书写) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

班 级

姓 名

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13、_______________________14、_______________________

考 场

15、_______________________16、_______________________ 17.(请写清要选作的题号) (以下两题选出一题作答,两题都答只给一题的分数) (本题 10 分)

考 场 座 位 号

准 考 证 号

密 封 线 内 勿 答 题

.

.
-5-

18. (本题 12 分)

19. (本题 12 分)

-6-

20. (本题 12 分)

21. (本题 12 分)

-7-

22. (本题 12 分)

-8-

双十中学 2015-2016 学年高三上(数学理)半期考参考答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1 D 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 D 11 B 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13. ?

3 ; 5

14. 7;

15.(-? , ] ;

5 4

16. 4

17(选 1) 解: (1)圆的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 16 ,??.1 分,当 a=0 时,直线 l: y ? - 3x ,??2 分 代入 x 2 ? y 2 ? 16 得 x=±2, P (2, ?2 3) ,Q (?2, 2 3) ?????????????????????.3 分 则直线 l 和圆 C 交点的极坐标分别是 (4, ) , (4, ) ??????????????????? ?.5 分 (2)由于 P、Q 间的劣弧长是

2? 3

5? 3

8? 2? ,则圆心角 ,??????????????????????.6 分 3 3

圆心 C 到直线的距离 d 是 2,直线的直角坐标方程是: 3x+y- 3a ? 0 ,?????????????.7 分

d?

3a 2

? 2 ,a ? ?

4 ,直线直角坐标方程是: 3x+y+4 ? 0 或 3x+y-4 ? 0 ,???????.8 分 3

直线 l 的极坐标方程: 3?cos? +?sin? +4 ? 0 或 3?cos? +?sin? -4 ? 0 ????????????.10 分 即 2 ? cos(? ?

?

)+4 ? 0 或 2 ? cos(? ? )-4 ? 0 (写成 2 ? cos(? ? ) ? 4 ? 0 或 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 给满分) 6 6 6 3
-1-3x∈[5,+∞),x≤-2, ????????????.3 分

?

?

?

? 1 ?5 ? ? 3-x∈? ,5?,-2<x≤ , 2 2 ? ? 17(选 2). 解: |2x-1|+|x+2|=? 5 1 ? ?3x+1∈???2,+∞???,x>2,

1? 5 1 5 ? 2 从而|2x-1|+|x+2|≥ ,??????.4 分,解不等式 m + m+2≤ 得 m∈?-1, ?.?????.5 分 2? 2 2 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)证明 由(1)知 + + ≤1,又 1≤ + + ,则 + + =1,且 a,b,c 大于 0,?????6 分 a 2b 3c a 2b 3c a 2 b 3c

?1 1 1 ? ?2b a ? ?3c a ? ?3c 2b? a+2b+3c=(a+2b+3c)? + + ?=3+? + ?+? + ?+? + ?????????.8 分 ?a 2b 3c? ? a 2b? ? a 3c? ?2b 3c?
≥3+2 2ab +2 2ab 3c · +2 a 3c

a

3c 2b · =9. ????????. ????????????9 分 2b 3c

1 当且仅当 a=2b=3c= 时,等号成立.因此 a+2b+3c≥9????????????????10 分 3 18 解: (Ⅰ)由 f ( x ) 的图象过点(0,

? 1 1 ? ) ,得 sin ? ? 又 0 ? ? ? ,?? ? ????????1 分 2 2 2 6
-9-

由相邻两条对称轴间的距离为

? ,知 f ( x ) 的周期 T= ? ??????????????.2 分 2



2?

?

? ? ,?? ? 2 ?????????3 分? f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ??????????4 分

令 2 k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,??????????????????..?.5 分

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z ? f ( x) 的递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z ??????.6 分 3 6

?

(Ⅱ)由 f (

? 1 3 1 1 A 1 sin A ? cos A ? ??????7 分 )- cos A= ,可得 sin( A ? ) ? cos A ? 得 6 2 2 2 2 2 2

化简得, sin( A ?

?
6

)?

1 ? ? 5? ?????8 分? 0 ? A ? ? ,?? ? A ? ? ???????9 分 2 6 6 6

?A?

?
6

?

?
6

,即 A ?

?
3

?????????.10 分 又 bc=1,b+c=3,据余弦定理可得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc ? 6 ??????.11 分 ?a ? 6 ??????..12 分
19.解: (1) 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N ? ,当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1,两式相减:

2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? an?1 ? an ? 2n?1 ? 2n (n ? 2) ,
即 an?1 ? 3an ? 2n (n ? 2) ,又 a2 =5 也满足????????????????.2 分

an ?1 3 an 1 3 1 ? ? (n ? N ? ) ,则 c n ?1 ? cn ? (n ? 1) ???????????????.3 分 n ?1 n 2 22 2 2 2 3 3 3 3 cn ?1 ? 1 ? (cn ? 1) ,又 c1 ? 1 ? ,所以 {cn ? 1} 是首项为 ,公比为 的等比数列,??????4 分 2 2 2 2 3 n 3 n ∴ cn ? 1 ? ( ) , cn ? ( ) ? 1 ,???????.5 分 ∴ an ? 3n ? 2n (n ? 1) .???????.6 分 2 2
所以 (3) bn ? n3n ,.???.7 分 则 Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n ,

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ?? n ? 3n?1 ,.???????????????.9 分
两式相减得: -2Tn ? 3+32 ? 33 ? 34 ? ?3n ? n ? 3n?1 ,.???????????????.10 分

3 2n ? 1 n ?1 ? ? 3 (n ? N ? ) .????????????????????.12 分 4 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ? 20.解: (1)B1、P、B2 三点共线,则 + =1,??? 1 分, 又 AB1 ⊥ AB2 ,| AB1 |=3,| AB2 |=4, 3 4 2 2 ??? ? 2 ? ???? 2 ? ???? ? 25 9 所以| AP | = AB1 + AB2 2=λ 2+μ 2= ? 2 - ? +9 ,?????????????.3 分 16 2 9 16 ??? ? 36 12 当 ?= 时,| AP |min= ,??????????????????.5 分 25 5 ??? ? 16 ???? ? 48 9 ???? 此时 ? = ,所以 AP = AB1 + AB2 ??????????????????.6 分 25 25 25 Tn ?
- 10 -

法二:因为 B1、P、B2 三点共线,所以当 AP⊥B1B2 时,| AP |最小,?????????????.2 分 又△A B1B2 面积是 6,所以| AP |min=

??? ?

??? ?

12 .????.4 分, 5

? ??? ? 16 ???? 9 ???? AP = AB1 + AB2 ?????.6 分 25 25

(2)以 A 为原点,AB1、AB2 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,则 Q(1,1),?????.7 分
2 2 P (?,?) | QP | = (? -1 ) +(? -1 ) ? 4 , 令 ? -1=r cos ? , ? -1 ? r sin ? ,0 ? r ? 2 ,??. ???? 8 分
2

??? ?

???? ???? ? B1P ? (? ? 3, ? ) , B2 P ? (?, ? ? 4) ???? ???? ? B1P ? B2 P = ? 2 +? 2 ? 3? -4? = r 2 ? r cos? ? 2r sin ? ? 5 ,?????. ????9 分
= r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ,其中 tan ? ?

1 2

又 r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ? r 2 + 5r ? 5 ? 2 5-1 ,?????. ??????10 分

r 2 ? 5r sin (? +?) ? 5 ? r 2 - 5r ? 5=(r 所以 B1P ? B2 P ? [ ?

5 2 25 25 )- ? - ?????. ???11 分 2 4 4

???? ???? ?

25 , -1 ? 2 5] ?????. ?????????. ????12 分 4 3 2
2 2

法二: B1P ? B2 P = ? 2 +? 2 ? 3? -4? = (? ? ) +(? ? 2) ?

???? ???? ?

25 ?????.8 分 4 3 2

2 2 2) 的距离平方, ( , 2) 到(1,1)距离 d= 转化为圆 (? -1 ) +(? -1 ) =4 内的点到点 ( ,

3 2

5 ,?????.9 分 2

3 3 5 2 21 +2 5 ,又 ( , 2) 在圆内部,则 ((? ? ) 2 +(? ? 2) 2) +2) = min ? 0 ?????. ???11 分 4 2 2 2 ???? ???? ? 25 , -1 ? 2 5] ?????. ?????????. ????12 分 则 B1P ? B2 P ? [ ? 4
(d+r) =(
2

21.解: (1)①由题意 M(5,80)则 a=400,y=

400 ,N(100,4) ,定义域[5,100] ?????. 3 分 x

P(t,

400 400 400 800 ) y ? ? ? 2 则公路 l 的方程: y ? ? 2 x ? ,?????????.. 4 分 x t t t

f (t ) ? (
②A(0,

800 2 ) ? (2t )2 (t∈[5,100]) ?????????.. ?????? 6 分 t

800 800 2 640000 ) ,B(2t,0) , f (t ) ? ( ) ? (2t )2 = ? 4t 2 ? 3200 ,?????.. ?? 7 分 t t t2

当且仅当 t=20∈[5,100]时等号成立,所以当 t 为 20 时,公路 l 的长度最短长度是 3200 千米;?? 8 分 (2)山体与 x=5,x=100 之间的面积为

?

100

5

400 dx ? 400 ln 20 ,???????????? 9 分 x
, ?????????????????? 10 分

山体与 L1、L2 围成的面积是

400 ? 400 ln 20

- 11 -

L 与 y ,x 轴交点分别是 A(0,40) ,B(40,0) , ????? 11 分 公路与 L1、L2 围成的面积是 800, 所以绿化带的面积是 400 ? 400 ln 20 -800= 400 ln 20-400 (平方公里).????.. ?????? 12 分 答:当 t 为 20 时,公路 L 的长度最短,最短长度是 3200 千米;在公路长度最短时,需在公路 L 与山体之间修 建绿化带的面积是 400 ln 20-400 平方公里. 22.解(Ⅰ) f ' ( x) ? memx ? 2mx . f ' (0) ? m =2,f(0)=1, 则切线 L1 方程:y=2x+1; ????.. ??????????? 2 分 (2) f ??( x) ? m2emx ? 2m=m (memx ? 2) ,令 f ??( x) ? 0 ,由 m>0, x0 ? ①当 m ? 2 时,因为 x≥0,则 e
mx

1 2 ln m m

? 1 ,所以 memx ? 2 ? m ? 2 ? 0 , f ??( x) ? 0 ,

所以 f ' ( x) 在 [0, ??) 单调递增, f ' ( x) ? f ' (0) =m>0,所以 f ( x ) 在 [0, ??) 单调递增, f ( x) ? f (0) =1, 所以当 m ? 2 时满足条件;.. ??????????? 4 分 ②当

2 2 ? m ? 2 时,1≥ ln ? 0 , x0 ? (0, ??) , e m
' '

' 所以 f ( x) 在 (x 0 , ??) 单调递增,所以 f ( x) ? f ( (0, x 0 ) 单调递减,在

1 2 2 ln ) = 2 ? 2 ln ? 0 , m m m

所以 f ( x ) 在 [0, ??) 单调递增, f ( x) ? f (0) =1,所以当 ③当 0 ? m ?
'

2 ? m ? 2 时满足条件;?????????? 6 分 e

2 2 时, ln ? 1 , x0 ? (0, ??) , e m
'

所以 f ( x) 在 (0, x 0 ) 单调递减, f ( x) =0 在 (0, x 0 ) 至多只有一个零点 x1 单调递增, 又因为 f (
'

1 2 2 ln ) = 2 ? 2 ln ? 0 , f ' (0) =1>0, 所以 f ' ( x) =0 在 (0, x 0 ) 有且只有一个零点 x1 m m m

则当 x ? (0, x1 ) 单调递减,所以存在 x 使得 f ( x) < f(0)=1,不满足条件. (0, x1 ) 时, f ' ( x) <0, 所以 f ( x) 在 终上所述:当 m ?

2 时, f ( x) ? 1 对一切 x≥0 的实数恒成立.????????8 分 e
x 2

(3)令 m=1,由(2)得 e >x ? 1,则 则e
? i ( i ?1)

1 1 1 ? 2 ? 2 ,令 x ? i(i ? 1)(i ? 2,3,?n) ???????9 分 x e x ?1 x

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ???????10 分 2 2 2 (i ? i) ? 1 (i ? i) (2i ? 1) (2i-1) (2i ? 1) 1 ? i ( i ?1) ? 当 i ? 1 时, e , e 1 1 1 1 1 1 ? i ( i ?1) ? - ,当 i=3 时, e ? i ( i ?1) ? ? ,当 i=n 时, e ? i (i ?1) ? ? 当 i=2 时, e 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 n 1 1 1 ? i ( i ?1) ? ? ? 所以 ? e ????????????12 分 e 3 2n ? 1 i ?1 ?
2

- 12 -


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