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初一数学动点问题例题集

时间:2013-05-21


初一数学动点问题集锦
1、如图,已知 △ ABC 中, AB ? AC ? 10 厘米, BC ? 8 厘米,点 D 为
AB 的中点.

(1) 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运 动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等, 经过 1 秒后,△BPD 与 △CQP 是否全等,请说明理 由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相 等, 当点 Q 的运动速度为多少时, 能够使 △BPD 与
△CQP 全等?
B D Q C A

P

(2)若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动 速度从点 B 同时出发,都逆时针沿 △ ABC 三边运动,求经过多长时间 点 P 与点 Q 第一次在 △ ABC 的哪条边上相遇?

解: (1)①∵ t ? 1 秒, ∴ BP ? CQ ? 3 ?1 ? 3 厘米, ∵ AB ? 10 厘米,点 D 为 AB 的中点, ∴ BD ? 5 厘米. 又∵厘米, ∴ PC ? 8 ? 3 ? 5 厘米 PC ? BC ? BP,BC ? 8 , ∴ PC ? BD .
1

又∵ AB ? AC , ∴ ?B ? ?C , ∴ △BPD ≌△CQP . (4 分) ②∵ vP ? vQ , ∴ BP ? CQ , 又∵ △BPD ≌△CQP , ?B ? ?C ,则 BP ? PC ? 4,CQ ? BD ? 5 , ∴点 P ,点 Q 运动的时间
vQ ?
t? BP 4 ? 3 3 秒,



CQ 5 15 ? ? 4 4 t 3 厘米/秒.

(7 分)

(2)设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇,
15 x ? 3 x ? 2 ?10 由题意,得 4 ,
x? 80 3 秒.

解得

80 ? 3 ? 80 ∴点 P 共运动了 3 厘米.

∵ 80 ? 2 ? 28 ? 24 , ∴点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇,
80 ∴经过 3 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇. (12 分) y?? 3 x?6 4 与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q 同时

2、直线

从 O 点出发,同时到达 A 点,运动停止.点 Q 沿线段 OA 运动, 速度为 每秒 1 个单位长度,点 P 沿路线 O → B → A 运动. (1)直接写出 A、B 两点的坐标;
2

(2)设点 Q 的运动时间为 t 秒, △OPQ 的面积为 S ,求出 S 与 t 之 间的函数关系式; (3)当
S? 48 5 时,求出点 P 的坐标,
y B

并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行 四边形的第四个顶点 M 的坐标.

P x

O

Q

A

解(1)A(8,0)B(0,6) 1 分 (2)? OA ? 8,OB ? 6
? AB ? 10
8 ?8 Q 由 O 到 A 的时间是 1 ?点 (秒)

6 ? 10 ?2 ? 点 P 的速度是 8 (单位/秒) 1 分

当 P 在线段 OB 上运动(或 0 ≤ t ≤ 3 )时, OQ ? t,OP ? 2t
S ? t2

1分

当 P 在 线 段 BA 上 运 动 ( 或 3 ? t ≤ 8 ) 时 ,
O Q, t ? 6 P? 0 ? A 1 ?2 ?1 6 ? ,t 2t

PD AP 48 ? 6t ? PD ? 5 , 如图,作 PD ? OA 于点 D ,由 BO AB ,得 ?S ? 1 3 24 OQ ? PD ? ? t 2 ? t 2 5 5 1分

1分

(自变量取值范围写对给 1 分,否则不给分. )
? 8 24 ? P? , ? (3) ? 5 5 ?

1分
3

? ?8 24 ? ? 12 24 ? ? 12 24 ? I1 ? , ?,M 2 ? ? , ?,M 3 ? , ? ? 5 ? ? 5 5 ? ? 5 5 ? ?5

3分

3 如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y=-2x-8 分别与 x 轴, y 轴相交于 A,B 两点,点 P(0,k)是 y 轴的负半轴上的一个动点, 以 P 为圆心,3 为半径作⊙P. (1)连结 PA,若 PA=PB,试判断⊙P 与 x 轴的位置关系,并说 明理由; (2) k 为何值时, 当 以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点 的三角形是正三角形?

4

解: (1)⊙P 与 x 轴相切. ∵直线 y=-2x-8 与 x 轴交于 A(4,0) , 与 y 轴交于 B(0,-8) , ∴OA=4,OB=8. 由题意,OP=-k, ∴PB=PA=8+k. 在 Rt△AOP 中,k2+42=(8+k)2, ∴k=-3,∴OP 等于⊙P 的半径, ∴⊙P 与 x 轴相切. (2)设⊙P 与直线 l 交于 C,D 两点,连 结 PC,PD 当圆心 P 在线段 OB 上时,作 PE⊥ CD 于 E. ∵△PCD PD=3,
3 3 ∴PE= 2

1 为正三角形,∴DE= 2

3 CD= 2



.

∵∠AOB=∠PEB=90° ∠ABO=∠PBE, , ∴△AOB∽△PEB,
3 3 AO PE 4 ? ,即 = 2 AB PB 4 5 PB
3 15 , 2

∴ ∴



PB ?

5

∴ ∴ ∴

PO ? BO ? PB ? 8 ?

3 15 2



P (0,

3 15 ? 8) 2 ,

k?

3 15 ?8 2 . 3 15 P(0,- 2

当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得
3 15 ∴k=- 2

-8),

-8, -8 或
3 15 k=- 2

∴当

3 15 k= 2

-8 时,以⊙P 与直线 l 的两个交点

和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形.

4(09 哈尔滨) 如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原 点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标为(-3,4) , 点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴 于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动,设△PMB 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(要 求写出自变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO
6

互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值.

解:

7

5 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° AC = 3, = , AB 5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长

B

E 8 Q D A P C

图 16

的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回; 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动. 伴 随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E. P、 同时出发, 点 Q 当点 Q 到达点 B 时停止运动, 点 P 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0) . (1)当 t = 2 时,AP = ,点 Q 到 AC 的距离是 ;

(2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式; (不必写出 t 的取值范围) (3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成 为直角梯形?若能,求 t 的值.若不能,请说明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值.

8 解: (1)1, 5 ;

(2)作 QF⊥AC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t,∴ AP ? 3 ? t . 由△AQF∽△ABC, BC ?
QF t 4 ? QF ? t 5 . 得 4 5 .∴ 1 4 S ? (3 ? t ) ? t 2 5 , ∴ 2 6 S ? ? t2 ? t 5 5 . 即

52 ? 32 ? 4 ,

B

E Q D A C

(3)能. ①当 DE∥QB 时,如图 4.
9

图4

P

∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形 QBED 是直角梯形. 此时∠AQP=90° . 由△APQ ∽△ABC,得
t 3?t ? 即3 5 . AQ AP ? AC AB ,
B

解得

t?

9 8



Q D E

②如图 5,当 PQ∥BC 时,DE⊥BC,四边形 QBED 是直角梯形. C A P
图5

此时∠APQ =90° . 由△AQP ∽△ABC,得
t 3?t ? 即5 3 .

B

AQ AP ? AB AC ,

Q

G

解得

t?

15 8 .

D A P

C(E) B )

5 45 t? t? (4) 2 或 14 .

图6
Q

①点 P 由 C 向 A 运动,DE 经过点 C. 连接 QC,作 QG⊥BC 于点 G,如图 6.
PC ? t ,
QC 2 ? QG 2 ? CG 2
D A P

G

C(E)

3 4 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 5 5 .

图7

)



PC 2 ? QC 2

3 4 5 t 2 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 t? 5 5 ,得 ,解得 2 .

②点 P 由 A 向 C 运动,DE 经过点 C,如图 7.
3 4 45 (6 ? t )2 ? [ (5 ? t )]2 ? [4 ? (5 ? t )]2 t? 5 5 14 】 ,

10

6 如图,在 Rt△ ABC 中,?ACB ? 90°,?B ? 60° ,
BC ? 2 . O 是 AC 的中点, 点 过点 O 的直线 l 从与 AC
A

l E C O B

?
D

重合的位置开始,绕点 O 作逆时针旋转,交 AB 边 于点 D .过点 C 作 CE ∥ AB 交直线 l 于点 E ,设直线
l 的旋转角为 ? .
A (备用图) C O B

(1) ①当 ? ? 等腰梯形,此时 AD 的长为 ②当 ? ? 为 ;

度时, 四边形 EDBC 是 ;

度时, 四边形 EDBC 是直角梯形, 此时 AD 的长

(2)当 ? ? 90° 时,判断四边形 EDBC 是否为菱形,并说明理由.

解 1.5;



1





30



1





60



……………………4 分 (2)当∠α =900 时,四边形 EDBC 是菱形. ∵∠α =∠ACB=900,∴BC//ED. ∵ CE//AB, ∴ 四 边 形 EDBC 是 平 行 四 边

形.

……………………6 分 在 Rt△ABC 中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2 3 . ∴

1 AC AO= 2 = 3 .
11

………………

……8 分 在 Rt△AOD 中,∠A=300,∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形 EDBC 是平行四边形, ∴ 形 四 边 形 EDBC 是 菱

……………………10 分

7




?B, 3


C ,? 5 A




D ?4 ,∠



ABCD


A


D

A ∥D,

.动 C ? D2

4 ? 5 B A

B

点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长 度的速度向终点 C 运动;动点 N 同时从 C 点出 发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终 点 D 运动.设运动的时间为 t 秒. (1)求 BC 的长. (2)当 MN ∥ AB 时,求 t 的值. (3)试探究: t 为何值时, △MNC 为等腰三角形. 解: (1)如图①,过 A 、 D 分别作 AK ? BC 于 K , DH ? BC 于 H , 则四边形 ADHK 是矩形 ∴ KH ? AD ? 3. 1 分
2 AK ? AB? 45? ? 4 2. ? 4 sin 2 在 Rt△ ABK 中,
N B M C

12

BK ? AB? 45? ? 4 2 ? cos

2 ?4 2 2分

2 2 在 Rt△CDH 中,由勾股定理得, HC ? 5 ? 4 ? 3

∴ BC ? BK ? KH ? HC ? 4 ? 3 ? 3 ? 10 3 分
A D A D N B C

K (图①)

H

B

G (图②)

M

C

(2)如图②,过 D 作 DG ∥ AB 交 BC 于 G 点,则四边形 ADGB 是平 行四边形 ∵ MN ∥ AB ∴ MN ∥ DG ∴ BG ? AD ? 3 ∴ GC ? 10 ? 3 ? 7 4 分 由题意知,当 M 、 N 运动到 t 秒时, CN ? t,CM ? 10 ? 2t. ∵ DG ∥ MN ∴∠NMC ? ∠DGC 又 ∠C ? ∠C ∴ △MNC ∽△GDC
13

CN CM ? ∴ CD CG 5 分 t 10 ? 2t ? 7 即5

解得,

t?

50 17 6 分

(3)分三种情况讨论: ①当 NC ? MC 时,如图③,即 t ? 10 ? 2t ∴
t? 10 3

7分
A D N B (图④) C A D N

B (图③)

M

C

M H E

②当 MN ? NC 时,如图④,过 N 作 NE ? MC 于 E 解法一: 由等腰三角形三线合一性质得 在 Rt△CEN 中,
cos c ? EC 5 ? t ? NC t CH 3 ? CD 5 EC ? 1 1 MC ? ?10 ? 2t ? ? 5 ? t 2 2

又在 Rt△DHC 中,
5?t 3 ? 5 ∴ t

cos c ?

解得

t?

25 8

8分

解法二:
14

∵∠C ? ∠C,?DHC ? ?NEC ? 90? ∴ △NEC ∽△DHC
NC EC ? ∴ DC HC
t 5?t ? 即5 3



t?

25 8 8分 FC ? 1 1 NC ? t 2 2

③当 MN ? MC 时,如图⑤,过 M 作 MF ? CN 于 F 点. 解法一: (方法同②中解法一)
1 t FC 3 cos C ? ? 2 ? MC 10 ? 2t 5
60 t? 解得 17
A

D N F

B (图⑤)

HM

C

解法二: ∵∠C ? ∠C,?MFC ? ?DHC ? 90? ∴ △MFC ∽△DHC
FC MC ? ∴ HC DC

1 t 2 ? 10 ? 2t 5 即 3
t? 60 17 t? 10 25 60 t? t? 8 或 17 时, △MNC 为等腰三角形 9 3 、



综上所述,当 分

15

8 如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , E 是 AB 的中点,过点
E 作 EF ∥ BC 交 CD 于点 F . AB ? 4,BC ? 6 ,∠B ? 60? .

(1)求点 E 到 BC 的距离; (2) P 为线段 EF 上的一个动点, P 作 PM ? EF 交 BC 于点 M , 点 过 过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N ,连结 PN ,设 EP ? x .
N ①当点 N 在线段 AD 上时 (如图 2) △P , M

的形状是否发生改变?

若不变,求出 △PMN 的周长;若改变,请说明理由; ②当点 N 在线段 DC 上时(如图 3) ,是否存在点 P ,使 △PMN 为 等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值;若不存在,请 说明理由.

A E

D F E

A P

N

D F E

A P

D N F

B 图1 A E

C

B M D F B 图2

C B

M 图3 D F

C

(第 25 题) A E

B 图 4(备用)

C

C 图 5(备用)

16

解(1)如图 1,过点 E 作 EG ? BC 于点 G.1 分 ∵ E 为 AB 的中点, ∴
BE ? 1 AB ? 2. 2
B E A D F

在 Rt△EBG 中,∠B ? 60?, ∠BEG ? 30?. 2 分 ∴ ∴
BG ? 1 BE ? 1,EG ? 22 ? 12 ? 3. 2

G 图1

C

即点 E 到 BC 的距离为 3. 3 分 (2)①当点 N 在线段 AD 上运动时, △PMN 的形状不发生改变. ∵ PM ? EF,EG ? EF, PM ∥ EG. ∴ ∵ EF ∥ BC, EP ? GM , PM ? EG ? 3. ∴ 同理 MN ? AB ? 4. 4 分 如图 2,过点 P 作 PH ? MN 于 H ,∵ MN ∥ AB, ∴∠NMC ? ∠B ? 60?,∠PMH ? 30?. ∴
PH ? 1 3 PM ? . 2 2
B E A P H GM 图2 C N D F

3 MH ? PM ?cos 30? ? . 2 ∴ NH ? MN ? MH ? 4 ? 3 5 ? . 2 2



2 ?5? ? 3? PN ? NH ? PH ? ? ? ? ? ? ? 7. ?2? ? 2 ? ? ? Rt △PNH 中, 在 2 2

2

∴ △PMN 的周长= PM ? PN ? MN ? 3 ? 7 ? 4.6 分
△ ②当点 N 在线段 DC 上运动时, PMN 的形状发生改变, △MNC 但

恒为等边三角形.
17

当 PM ? PN 时,如图 3,作 PR ? MN 于 R ,则 MR ? NR.
3 MR ? . 2 类似①,

∴ MN ? 2MR ? 3.7 分 ∵ △MNC 是等边三角形,∴ MC ? MN ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? BC ? BG ? MC ? 6 ? 1 ? 3 ? 2. 分 8
A E P R B G M 图3 C B G 图4 M D N F E A P D F N C B E A D F(P) N C

G 图5

M

当 MP ? MN 时,如图 4,这时 MC ? MN ? MP ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? 6 ?1 ? 3 ? 5 ? 3. 当 NP ? NM 时,如图 5,∠NPM ? ∠PMN ? 30?. 则∠PMN ? 120?, ∠MNC ? 60?, 又 ∴∠PNM ? ∠MNC ? 180?. 因此点 P 与 F 重合, △PMC 为直角三角形. ∴ MC ? PM ?tan 30? ? 1. 此时, x ? EP ? GM ? 6 ? 1 ? 1 ? 4. 综上所述,当 x ? 2 或 4 或 ? 分 9 如图①,正方形 ABCD 中,点 A、B 的坐标分别为(0,10) , (8,4) , 点 C 在第一象限.动点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发
18

5? 3

? 时, △PMN 为等腰三角形.

10

沿 A→B→C→D 匀速运动, 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动,当 P 点到达 D 点 时,两点同时停止运动, 设运动的时间为 t 秒. (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于 运动时间 t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点 Q 开始运动时的 坐标及点 P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点 的坐标; (4)如果点 P、Q 保持原速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速 运动时,OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若 不能,请说明理由.

19

解: (1) Q (1,0)

1分

点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度. 2 分 (2) 过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F , BE ⊥ x 轴于点 E ,则 BF =8,
OF ? BE ? 4 .

∴ AF ? 10 ? 4 ? 6 . 在 Rt△AFB 中, AB ?
82 ? 62 ? 10

y D

3分

C

A 过点 C 作 CG ⊥ x 轴于点 G ,与 FB 的延长线交于点 H P . M

∵ ?ABC ? 90?,

AB ? BC

∴△ABF≌△BCH. .

F O N Q

B E

H Gx

∴ BH ? AF ? 6,

CH ? BF ? 8

∴ OG ? FH ? 8 ? 6 ? 14, CG ? 8 ? 4 ? 12 . ∴所求 C 点的坐标为(14,12) . (3) 过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,PN⊥ x 轴于点 N, 则△APM∽△ABF. ∴
AP AM MP ? ? AB AF BF .
? t AM MP ? ? 10 6 8 . 3 4 PN ? OM ? 10 ? t , ON ? PM ? t 5 5 . ∴

4分

3 4 AM ? t,PM ? t 5 5 . ∴

设△OPQ 的面积为 S (平方单位)
1 3 47 3 S ? ? (10 ? t )(1 ? t ) ? 5 ? t ? t 2 2 5 10 10 (0≤ t ≤10) ∴

5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分.
t?? 47 10 3 2 ? (? ) 10 ? 47 6

3 a?? 10 ∵

<0

∴当

时, △OPQ 的面积最大.

6分
20

此时 P

94 53 的坐标为( 15 , 10 ) t? 5 295 t? 3或 13 时,

.7分 OP 与 PQ 相等. 9 分

(4) 当

10 数学课上,张老师出示了问题:如图 1,四边形 ABCD 是正 方形,点 E 是边 BC 的中点. ?AEF ? 90 ,且 EF 交正方形外角 ?DCG
?

的平行线 CF 于点 F,求证:AE=EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取 AB 的中点 M, 连接 ME,则 AM=EC,易证 △ AME ≌△ECF ,所以 AE ? EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图 2,如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为 “点 E 是边 BC 上(除 B,C 外)的任意一点” ,其它条件不变,那 么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确, 写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图 3,点 E 是 BC 的延长线上(除 C 点外) 的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华 的观点正确吗?如果正确, 写出证明过程; 如果不正确, 请说明理由.
F A D F B E 图1 C G B E 图2 C A D F G B 图3 C E G A D

21

22

解: (1)正确.

(1 分)

D A 证明:在 AB 上取一点 M ,使 AM ? EC ,连接 ME . (2 分)

? BM ? BE .??BME ? 45° ,??AME ? 135° .

M B E C

F G

? CF 是外角平分线, ??DCF ? 45° , ??ECF ? 135°. ??AME ? ?ECF . ? ?AEB ? ?BAE ? 90° , ?AEB ? ?CEF ? 90° ,

? ?BAE ? ?CEF .
?△ AME ≌△BCF (ASA) .
? AE ? EF

(5 分)

. (6 分) (7 分)

(2)正确.

证明:在 BA 的延长线上取一点 N . 使 AN ? CE ,连接 NE . (8 分)
? BN ? BE . ??N ? ?PCE ? 45°.
B C E G N A D F

? 四边形 ABCD 是正方形,
? AD ∥ BE . ??DAE ? ?BEA .

??NAE ? ?CEF . ?△ ANE ≌△ECF (ASA) (10 分) .
? AE ? EF

. (11 分)
23

11

已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 OAB , 其 中

?AOB ? 90°,OA ? 2,OB ? 4 . 如图, 将该纸片放置在平面直角坐标系中,

折叠该纸片,折痕与边 OB 交于点 C ,与边 AB 交于点 D .
y (Ⅰ)若折叠后使点 B 与点 A 重合,求点 C 的坐标; B

O

A

x

(Ⅱ)若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B? ,设 OB? ? x , OC ? y ,
y 试写出 y 关于 x 的函数解析式,并确定 y 的取值范围; B

O

A

x

(Ⅲ)若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B? ,且使 B?D ∥ OB ,求此 时点 C 的坐标.
y B

解(Ⅰ)如图①,折叠后点 B 与点 A 重合, O A 则 △ ACD ≌△BCD .
24

x

设点 C 的坐标为 ? 0,m?? m ? 0? . 则 BC ? OB ? OC ? 4 ? m . 于是 AC ? BC ? 4 ? m .
2 2 2 在 Rt△ AOC 中,由勾股定理,得 AC ? OC ? OA ,

4 ? m? 即?

2

? m 2 ? 22

,解得

m?

3 2.

? 3? ? 0, ? C 的坐标为 ? 2 ? . 4 分 ?点

(Ⅱ)如图②,折叠后点 B 落在 OA 边上的点为 B? , 则 △B?CD ≌△BCD . 由题设 OB? ? x,OC ? y , 则 B?C ? BC ? OB ? OC ? 4 ? y ,
2 2 2 在 Rt△B?OC 中,由勾股定理,得 B?C ? OC ? OB? .

?? 4 ? y ? ? y2 ? x2
2

, 6分

1 y ? ? x2 ? 2 8 即

由点 B? 在边 OA 上,有 0 ≤ x ≤ 2 ,
1 y ? ? x2 ? 2 0 ≤ x ≤ 2 ? ? 为所求. 8 ? 解析式

? ? 当 0 ≤ x ≤ 2 时, y 随 x 的增大而减小,
3 ≤ y≤2 ? y 的取值范围为 2 .

7分

(Ⅲ)如图③,折叠后点 B 落在 OA 边上的点为 B ?? ,且 B??D ∥OB . 则 ?OCB?? ? ?CB??D .
?? 又? ?CBD ? ?CB??D, OCB?? ? ?CBD ,有 CB?? ∥ BA .
25

? Rt△COB?? ∽ Rt△BOA .
OB?? OC ? 有 OA OB ,得 OC ? 2OB?? .

9分

在 Rt△B??OC 中,
?? 设 OB ? x0 ? x ? 0? ,则 OC ? 2x0 .
1 2 x0 ? ? x 20 ? 2 8 由(Ⅱ)的结论,得 ,

? ? 解得 x0 ? ?8 ? 4 5. x0 ? 0, x0 ? ?8 ? 4 5 .
? 点 C 的坐标为
8 ? 0, 5 ? 16 ? . 10 分
A M F D

12 问题解决 如图(1) ,将正方形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在

E

CD 边上一点 E (不与点 C ,D 重合) ,压平后得到折痕
CE 1 AM ? MN .当 CD 2 时,求 BN 的值.
方法指导: 为了求得 B N 图(1) C

AM 的值,可先求 BN 、 AM 的长,不妨设: AB =2 BN

类比归纳
CE 1 AM ? , 在图(1)中,若 CD 3 则 BN 的值等于 CE 1 ? , ;若 CD 4 则

AM BN 的值等于

CE 1 AM ? ;若 CD n ( n 为整数) ,则 BN 的值等
26



. (用含 n 的式子表示) 联系拓广 如图(2) ,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B 落在 CD 边上一点 E

AB 1 CE 1 ? ? m ? 1?, ? , (不与点 C,D 重合) ,压平后得到折痕 MN, BC m F CD n 则 设 AM BN 的值等于
A M D E

. (用含 m,n 的式子表示)

B

N 图(2)

C

解:方法一:如图(1-1) ,连接 BM ,EM ,BE .
A M F D

E

B

N 图 (1-1)

C

27

由题设,得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对 称. ∴ MN 垂直平分 BE .∴ BM ? EM ,BN ? EN.1 分 ∵ 四 边 形
ABCD













?A ? ?D ? ?C ? 90° ,AB ? BC ? CD ? DA ? 2.
CE 1 ? , CE ? DE ? 1. ? NC ∵ CD 2 设 BN ? x, NE ? x, ? 2 ? x. 则
2 2 2 在 Rt△CNE 中, NE ? CN ? CE .



x 2 ? ? 2 ? x ? ? 12.
2

解得

x?

5 5 BN ? . 4 ,即 4 3分

在 Rt△ ABM 和在 Rt△DEM 中,
AM 2 ? AB 2 ? BM 2 , DM 2 ? DE 2 ? EM 2 ,

? AM 2 ? AB2 ? DM 2 ? DE 2. 5 分
y 2 ? 22 ? ? 2 ? y ? ? 12. 设 AM ? y, DM ? 2 ? y, 则 ∴
2

1 1 y ? , AM ? . 4 即 4 6分 解得 AM 1 ? . ∴ BN 5 7 分

5 BN ? . 4 方法二:同方法一, 3分

如图(1-2) ,过点 N 做 NG ∥ CD, AD 于点 G ,连接 BE. 交
A M F G
28

D

E

B

N

C

∵ AD ∥ BC, ∴四边形 GDCN 是平行四边形. ∴ NG ? CD ? BC.
5 AG ? BN ? . 4 同理,四边形 ABNG 也是平行四边形.∴

?? ∵ MN ? BE, EBC ? ?BNM ? 90°. ? NG ? BC, MNG ? ?BNM ? 90°, EBC ? ?MNG. ?? ??

在 △BCE 与 △ NGM 中
??EBC ? ?MNG, ? ? BC ? NG, ??C ? ?NGM ? 90° . △BCE ≌△NGM ,EC ? MG. ? ∴ 5分
5 1 AM ? AG ? MG,AM = ? 1 ? . 4 4 6分 ∵
AM 1 ? . ∴ BN 5 7 分

类比归纳
2 4 9 5 (或 10 ) 17 ; ;

? n ? 1?

2

n2 ? 1

10 分

联系拓广
29

n 2 m 2 ? 2n ? 1 n2 m2 ? 1 12 分

30


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