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高考数学必背知识点归纳与总结及例题解析

时间:2016-03-26


高考所有知识点

高中数学专题一

集合

一、集合有关概念 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性 互异性 无序性 (1)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q R

实数集

>
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 ? B 或 B? ?A A? 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子 集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真 子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

? 高考试题
? ? ? ? 3.不等式 (1 ? x)(1? | x |) ? 0 的解集是 ( ) A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} 5.设集合 M ? {x | x ? B. {x | x ? 0 且 x ? ?1} D. {x | x ? 1 且 x ? ?1}

A. M ? N 6.设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误 的是 .. A.( CI A)∪B=I B.( CI A)∪( CI B)=I

k 1 k 1 ? , k ? Z } , N ? {x | x ? ? , k ? Z } ,则 ( ) 2 4 4 2 B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?
( )

C.A∩( CI B)= ?

D.( CI A) ? ( CI B)= CI B

(2)设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则下面论断正 确的是 ( ) (B) S1 ? (CI S2 ? CI S3) (D) S1 ? (CI S2 ? CI S3)

(A) CI S1 ? (S 2 ? S3) ?? (C) CI S1 ? CI S2 ? CI S3 ? ?

?、设集合 M ? x x ? x ? 0 , N ? x x ? 2 ,则 (
2

?

?

?

?

)

A. M ? N ? ? C. M ? N ? M 5.设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, A.1 1.函数 y ? B. ?1

B. M ? N ? M D. M ? N ? R

b , b} ,则 b ? a ? a
C.2 )

(

) D. ?2

x( x ?1) ? x 的定义域为(

A. x | x ≥ 0

?

?

B. x | x ≥ 1

?

? ?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

(1)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 中所含元素的 个数为 ( (A)3 ) (B)6 (C) 8 (D)10

2.已知全信 U=(1,2,3, 4,5) ,集合 A= x ? Z x ? 3 ? 2 ,则集合 CuA 等于
1,2,3,4? (A) ?

?

?

(

)

(B) ?2,3,4?

1,5? (C) ?

(D) ?5?

2.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,集合

A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则


集合 ?U ( A ? B) 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3

D.4

2 1.设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M,函数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N,则 M ? N 为

( (A)[0,1) (B) (0,1) (C)[0,1] (D) (-1,0] 、 (D) (D) {x∣ 1 ? x ? 2 } ( ) 1.集合 A= {x∣ ?1 ? x ? 2 },B= x x ? 1 ,则 A ? (?R B) = (A) x x ? 1 1. 集合

)

?

?

?

?

(B)

? x x ? 1?


(C) {x∣ 1 ? x ? 2 } ,则

(A)

( B)

(C)

(D)

1、设全集为 R,函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M,则 C R M 为 ( A、 ? 1,1

)

?

?

B、 ?? 1,1?

C、 ?? ?,?1] ? [1,??)

D、 ?? ?,?1) ? (1,??)

答案 DBCBC –D 答案 BBADC-

高中数学专题二
一.基本知识 【1】复数的基本概念





(1)形如 a + bi 的数叫做复数(其中 a,b ? R ) ;复数的单位为 i,它的平方 2 等于-1,即 i ? ?1 .其中 a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当 b = 0 时复数 a + bi 为实数 虚数:当 b ? 0 时的复数 a + bi 为虚数; 纯虚数:当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, ? R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

(3)共轭复数: z ? a ? bi 的共轭记作 z ? a ? bi ; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; z ? a ? bi ,对应点 坐标为 p ? a, b? ; (象限的复习) (5)复数的模:对于复数 z ? a ? bi ,把 z ? a 2 ? b 2 叫做复数 z 的模; 【2】复数的基本运算 设 z 1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2 i (1) 加法: z 1 ? z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (2) 减法: z 1 ?z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ?b1 ? b2 ? i ; (3) 乘法: z 1?z2 ? ? a1a2 ? b1b2 ? ? ? a2b1 ? a1b2 ? i 特别 z ? z ? a 2 ? b2 。

(4)幂运算: i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? ?i i 4 ? 1 i 5 ? i i 6 ? ?1 ??? ???

【3】复数的化简 c ? di z? ( a , b 是均不为 0 的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 a ? bi 化为实数: z ?
c ? di c ? di a ? bi ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ? ? ? a ? bi a ? bi a ? bi a 2 ? b2

对于 z ?

c d c ? di ? a ? b ? 0 ? ,当 ? 时 z 为实数;当 z 为纯虚数是 z 可设为 a b a ? bi c ? di z? ? xi进一步建立方程求解 a ? bi

二. 例题分析
【变式 2】 (2010 年全国卷新课标)已知复数 z ?
A.

3 ?i ,则 z ? z = (1 ? 3i)2
D.2

1 4

B.

1 2

C.1

【例 4】已知 z1 ? 2 ? i , z2 ? ?3 ? 2i (1) 求 z1 ? z2 的值; (2) 求 z1 ? z2 的值; (3) 求 z1 ? z2 . 【变式 1】已知复数 z 满足 ? z ? 2? i ? 1 ? i ,求 z 的模. 【变式 2】若复数 ?1 ? ai ? 是纯虚数,求复数 1 ? ai 的模.
2

【例 5】 (2012 年全国卷 新课标)下面是关于复数 z ? 的真命题为( )

2 的四个命题:其中 ?1 ? i

p1 : z ? 2 p2 : z 2 ? 2i p3 : z 的共轭复数为 1 ? i p4 : z 的虚部为 ?1
( A) p2 , p3 ( B ) p1, p2 (C ) p? , p? ( D ) p? , p?

a ? 3i , ? a ? R ? (i 为虚数单位) 1 ? 2i (1) 若 z 为实数,求 a 的值

【例 6】若复数 z ?

(2) 当 z 为纯虚,求 a 的值. 【变式 1】设 a 是实数,且
a 1? i ? 是实数,求 a 的值.. 1? i 2

y ? 3i ? x, y ? R ? 是实数,则实数 xy 的值是 1 ? xi 【例 7】复数 z ? cos3 ? i sin 3 对应的点位于第 象限 1? i 4 ) 等于 ( 【变式 1】 i 是虚数单位, ( ) 1-i

【变式 2】若 z ?

.

A.i 【变式 2】已知 (A)-1+3i

B.-i

C.1

D.-1

Z =2+i,则复数 z=() 1+i

(B)1-3i

(C)3+i

(D)3-i

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ,则乘积 ab 的值是 2?i (A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15 7?i 【例 8】 (2012 年天津)复数 z ? = ( ) 3?i (A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ?2 ? i (D) ?2 ? i

【变式 3】i 是虚数单位,若

【变式 4】 (2007 年天津)已知 i 是虚数单位, A1 ? i B ?1 ? i C1 ? i

2i3 ? 1? i





D. ? 1 ? i
1 ? 3i = 1? i

【变式 5】.(2011 年天津)已知 i 是虚数单位,复数 A 2 ? i B 2 ? i C ?1 ? 2i D ?1 ? 2i 【变式 6】 (2011 年天津) 已知 i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i (D)-1-i





?1 ? 3i ?( 1 ? 2i



高中数学专题三

函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)

第一章、函数的有关概念
1.函数的概念: y=f(x),x∈A.自变量 x;定义域 A;函数值 y,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无 关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) 2.值域 : 先考虑其定义域 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 5.映射 A、B 集合,对应法则 f, A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应,就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ?B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称 为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称 为 y=f(x)的单调减区间. (2) 图象的特点 增函数上升,减函数下降. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ (C)复合函数的单调性 其规律: “同增异减” 注意:不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 ○ f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x) 是奇函数. 注意:定义域关于原点对称 ,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称, (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3) 利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1)要求两个变量之间的函数关系时,一是对应法则,二是定义 域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 (配方法) ○ 2 利用图象 ○ 3 利用函数单调性 ○

题目练习:
1.求下列函数的定义域: ?y?
x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

? y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?
?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ? y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R ) (3) y ? x ? 1 ? 2x

? y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ? y ? x2 ? 2 x ? 3 ? y ? ? x2 ? 2x ? 3 ? y ? x2 ? 6 x ? 1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论.

11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x
2

高中数学专题三

函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)
第二章 基本初等函数
一、指数函数
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n

m n



?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a ? a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ;
(2) (a ) ? a
r s r rs

(a ? 0, r , s ? R) ;
(3) (ab) ? a a
r s

(a ? 0, r , s ? R) .
(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念: y ? a (a ? 0, 且a ? 1) ,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.
x

2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 两个重要对数: a 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . ○

log N

(二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M ? N ) ? loga M + loga N ; ○

M ? loga M - loga N ; N 3 loga M n ? n loga M ( n ? R ) . ○
2 log a ○ 注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念: y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) ,函数的定义 域是(0,+∞) . 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、幂函数定义: y ? x ? (a ? R) ,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数 (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

2.计算: ① log3 2 ?
log27 64
2

;② 2 4? log 3 =
2

; 253

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
a

1? x

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函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、

奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1 、 函 数 零 点 的 概 念 : 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 ○ y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图 象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2 (2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 2 (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
2

高考试题 8.(2007)若函数 f(x)的反函数为 f ( x) ,则函数 f(x-1)与 f ?1 ( x ? 1) 的图象可能是 ( D )
?1

11(2007).f(x)是定义在(0,±∞)上的非负可导函数,且满足 xf(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、 b,若 a<b,则必有 ( C ) A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
1 ? ? 2x ? 1 ? 13(2007). lim? 2 ?? x ? 1? x ?1 ? x ? x ? 2

1/3
?1

.

7(2008) .已知函数 f ( x) ? 2

x ?3

,f

, ( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16 ( m,n ? R + )

则 f ?1 (m) ? f ?1 (n) 的值为(A A. ? 2 B.1 C.4

) D.10

? y ≥ 1, ? 10(2008) .已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实 ? x ? y ≤ m. ?
数 m 等于( C ) A.7 B.5 C.4 D.3

11 (2008) .定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ( x,y ? R ) ,

f1 )( 2? ,则 f (?3) 等于( B )
A.2 B.3 C.6 D.9 ( B )

3.(2009)函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为

1 2 x ? 2( x ? 0) 2 1 2 ?1 ( C ) f ( x) ? x ? 4( x ? 0) 2 1 f ?1 ( x) ? x 2 ? 4( x ? 2) 2
?1 (A) f ( x) ?

?1 (B) f ( x) ?

1 2 x ? 2( x ? 2) 2
(D)

5.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 (A)

10 3

1 的值为 cos ? ? sin 2? 5 2 (B) (C ) 3 3
2



A (D) ?2



3(2011) .设函数 f ( x) ( x ?R)满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图像是 ( )

【解】选 B



f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,可 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图像的最小正周期是

知 B,D 符合;由

4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B.

6. (2011)函数 f ( x) ?

x ? cos x 在 [0, ??) 内

( )

(A)没有零点 (C)有且仅有两个零点
【解】选 B (方法一)数形结合法,令

(B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点

f ( x) ? x ? cos x ? 0 ,则 x ? cos x ,设函数 y ? x 和

y ? cos x ,它们在 [0, ??) 的图像如图所示,显然两函数的图像的交点有且只有一个 ,所以函数

f ( x) ? x ? cos x 在 [0, ??) 内有且仅有一个零点;

(方法二)在 x ? [

?
2

, ??) 上, x ? 1 , cos x ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? cos x ? 0 ;



x ? (0, ] 2

?



f ?( x) ?

1 2 x

? sin x ? 0

,所以函数

f ( x) ? x ? cos x 是 增 函 数 , 又 因 为

f (0) ? ?1 , f ( ) ? 2

?

?

? ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? cos x 在 x ? [0, ] 上有且只有一个零点. 2 2


2 12(2011) .设 n ? N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数 根的充要条件是 n ? ..

12.设 n ? N ? ,一元二次方程 x

2

? 4 x ? n ? 0 有整数 根的充要条件是 n ? ..



【分析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算. 【解】 x

?

4 ? 16 ? 4n ? 2 ? 4 ? n ,因为 x 是整数,即 2 ? 4 ? n 为整数,所以 4 ? n 为整 2
4 ,又因为 n ? N? ,取 n ? 1,2,3,4 ,验证可知 n ? 3, 4 符合题意;反之 n ? 3, 4 时,可推
2

数,且 n ?

出一元二次方程 x 【答案】3 或 4

? 4 x ? n ? 0 有整数 根. ..

高中数学专题三

函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)
第四章、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k ? tan ? 。
? 当 ? ? 90 时, k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ) 过两条直线 l1 : 为

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ;

l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2) (9) 点到直线距离公式: 一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

题目练习
例 2.设曲线 y ? A.2

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? (D ) x ?1 B. 1 C. ? 1 D. ?2
2 2

1 3 4 例 3.曲线 y= x ? x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A ) 3 3 1 2 1 2 (A) (B) (C) (D) 9 9 3 3 2 例 4.已知直线 l1 为曲线 y ? x ? x ? 2 在点 (1,0)处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线, 且 l1 ? l 2 . (Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积.

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函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)
第五章
13、三角函数的诱导公式:

三角函数

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .

? 4? sin ?? ?? ? ? sin? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

14 、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩
短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不
变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所 有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相: ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

最大值为 ymax ,则 ? ?

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x





定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性

在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ;

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中

? ?? ? 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对 对 称 称 ? 性 x ? k? ? ? k ? ? ? 2 轴 心 对 称 中 心

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ? tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

? tan ?? ? ? ? ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ? sin 2? ? 2sin ? cos ? . ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

? tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

27.正弦定理、余弦定理 正弦定理:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,三角形外接圆的半径为 R。 则有

△ABC,余弦定理可表示为:

同理,也可描述为:

高考试题 4(2007).已知 sinα =
5 ,则 sin4α -cos4α 的值为 ( 5

A )

(A)-

1 5

(B)-

3 5

(C)

1 5

(D)

3 5

16、 (2012) (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x ,? ) , b ? ( 3 sinx, cos2 x) , x ? R ,设函数 f ( x ) ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [0,

1 2

? ] 上的最小值和最大值. 2

17.(2007) (本小题满分 12 分)
?? ? 设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图象经过点 ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.
解: (Ⅰ)

f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,

由已知

π? π ?π? ? f ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? π? ? f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z ? . 4? 8 ? ?

17. (2008) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)? f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? ? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x) 是偶函数.
17. (2009) (本小题满分 12 分)

2 ? 2? , ?2) . 交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 解(1)由最低点为 M (

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

)的图象与 x 轴的

? T ? 2? 2? ? ?2 得 = ,即 T ? ? , ? ? 2 2 2 T ? 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ? ? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? 2 x ? ?[ , ] (2)? x ? [ , ],      12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2] 2
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 17. (2010) (本小题满分 12 分) 如图,A,B 是海面上位于东西方向相聚 5(3 ? 3 海 里的两个观测点,现位于 A 点 ) 北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点

2? , ?2) 得 A=2. 3

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船达到 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB ? 5(3 ? 3) 海里,

?DBA ? 90? ? 60? ? 30?, ?DAB ? 90? ? 45? ? 45?,
∴ ?ADB ? 180? ? (45? ? 30?) ? 105? 在 ?DAB 中,由正弦定理得 ∴ DB ?

DB AB ? , sin ?DAB sin ?ADB

AB? sin ?DAB 5(3 ? 3)? sin 45? 5(3 ? 3)? sin 45? ? ? sin ?ADB sin105? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60?

=

5 3( 3 ? 1) ? 10 3 (海里) 3 ?1 2

答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

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函数

(定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、 奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、 幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数)
第六章 导 数
第 01 讲:导数的概念、几何意义及其运算

常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 :

C ' ? 0(C为常数) ;

( x n ) ' ? nxn?1 , n ? N ? ;

x ' x (sin x) ' ? cos x ; (cosx) ' ? ? sin x; (e ) ? e ; 1 1 ' ' (ln x) ? ; (loga x) ? loga e x x ' 法则 1: [u( x) ? v( x)] ? u ' ( x) ? v ' ( x) 法则 2: [u( x)v( x)]' ? u ' ( x)v( x) ? u( x)v ' ( x)
' ' 法则 3: [ u( x) ]' ? u ( x)v( x) ? u( x)v ( x) (v( x) ? 0) v( x) v 2 ( x) (一)基础知识回顾: 1.导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的瞬时变化率

(a x ) ' ? a x ln a ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 称为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 f / ( x0 ) 或 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?o ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) y / x ? x0 ,即 f / ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) , lim
都对应着一个确定的导数 f / ( x) ,从而构成了一个新的函数 f / ( x) 。称这个函数 f / ( x) 为 函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,也可记作 y / ,即 f / ( x) = y / = f ( x ? ?x) ? f ( x) lim ?x ?0 ?x 导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数

y ? f ( x) 在 x0 处的导数 y /

x ? x0

,就是导函数 f ( x) 在 x0 处的函数值,即 y

/

/

x ? x0



f / ( x0 ) 。
2. 由导数的定义求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 ?f ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ?f ?f f ( x ? ?x) ? f ( x) (2).求平均变化率 ; (3).取极限,得导数 y / = lim 。 ? ? x ? 0 ?x ?x ?x 3.导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切 线的斜率。 因此,如果 f ?( x0 ) 存在,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方 程为______________________。 4.常用的求导公式、法则(除上面大纲所列出的以外,还有) : ? n / n?1 1? (1)公式 ( x ) ? nx 的特例:① (x)? ? ______; ② ? ? ? ? _______, ③ ?x?

( x )? ? _________.
(2)法则:① [c ? f ( x)] ? ________; ②若 y ? f (u), u ? ? ( x) ,则
/

y? =_______________.
x

(二)例题分析: 例 1. 已知 y=

1 ,用导数的定义求 y′. x x ?1 例 2.设曲线 y ? 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( D ) x ?1

A.2 例 3.曲线 y=

B. 1

2

C. ? 1

2

D. ?2

1 3 4 x ? x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(A ) 3 3 1 2 1 2 (A) (B) (C) (D) 9 9 3 3 2 例 4.已知直线 l1 为曲线 y ? x ? x ? 2 在点 (1,0)处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线, 且 l1 ? l 2 . (Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积.

第 02 讲: 导数在研究函数中的应用
(一)基础知识回顾: 1. 设函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a,b) 内有导数, 如果在这个区间内____, 则 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果在这个区间内____,则 y ? f ( x) 是这个区间内单调递减. 2. 求函数的单调区间的方法: (1)求导数 y? ? f ?( x ) ; (2)解方程 f ?( x ) ? 0 ; (3)使不等式 f ?( x ) ? 0 成立的区间就是递增区间,使 f ?( x ) ? 0 成立的区间就是递减 区间。 3. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法: (1)求导数 y? ? f ?( x ) ; (2)求方程________的根(临界点) ; (3)如果在根 x0 附近的左侧 f ?( x ) ____0,右侧 f ?( x ) ____0,那么 f (x 0 ) 是 y ? f ( x) 的极 大值;如果在根 x0 附近的左侧 f ?( x ) ____0,右侧 f ?( x ) ____0,那么 f (x 0 ) 是 y ? f ( x) 的极小值 4.在区间 ?a, b? 上求函数 y ? f ( x) 的最大值与最小值 的步骤: (1)求函数 y ? f ( x) 在( a, b) 内的导数 ; (2)求函数 y ? f ( x) 在( a, b) 内的极值 ; (3)将函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的各极值与端点处的函数值 f (a), f (b) 作比较, 其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值 (二)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 2bx 在点 x=1 处有极小值-1. 试确定 a、b 的值.并求出 f(x)的单调区间. 例 2.设函数 f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. 〔 0,3 〕 , 都有 f (x)<c2 成立,求 c 的取值范 (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? 围. 1.设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则(
x



A. a ? ?1

B. a ? ?1

C. a ? ?

1 e

D. a ? ?
,

1 e


2.如果函数 y ? f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f ( x) 的图像可能是(

3. 。函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( (A)(



? 3? 3? 5? , ) (B)( ? ,2 ? ) (C)( , ) (D)(2 ? ,3 ? ) 2 2 2 2

第 03 讲: 导数的实际应用
(一)基础知识回顾: 1. 结 论 : 若 函 数 f(x) 在 区 间 A 上 有 唯 一 一 个 极 值 点 x , 且 f ( x ) 是 这 个 函 数
0 0

的 极 大 ( 小 ) 值 , 那 么 这 个 极 值 必 定 就 是 函 数 f(x) 在 区 间 A 上 的 最 大 ( 小 ) 值 。 2.定积分的几何意义:

?

b

a

f ( x)dx 表示由直线__________,_________,__________和曲

线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。 3.微积分基本定理(牛顿---莱布尼兹公式) :如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么 (二)高考题目:
20.(2007)(本小题满分 12 分)

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。常常把 F (b) ? F (a) 记作 F ( x ) | a 。

b

c2 , 其中 a 为实数. 设函数 f(x)= 2 x ? ax ? a
(Ⅰ)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 解: (Ⅰ)

f ( x) 的定义域为 R ,? x2 ? ax ? a ? 0 恒成立,?? ? a 2 ? 4a ? 0 ,

? 0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f ( x) 的定义域为 R .
(Ⅱ)

f ?( x) ?

x( x ? a ? 2)e x ( x 2 ? ax ? a)2

,令

f ?( x) ≤ 0 ,得 x( x ? a ? 2) ≤ 0 .



f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又? 0 ? a ? 4 ,

? 0 ? a ? 2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ;
当a

? 2 时, f ?( x) ≥ 0 ;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? a ? x ? 0 ,

即当 0 ?

a ? 2 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, 2 ? a) ;

当2 ?

a ? 4 时, f ( x) 的单调减区间为 (2 ? a, 0) .

21. (2008) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ?

x ? ?c .
(Ⅰ)求函数

kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x2 ? c

f ( x) 的另一个极值点;
f ( x) 的极大值 M
和极小值 m ,并求 M

(Ⅱ)求函数

? m ≥ 1 时 k 的取值范围.
,由题意知

解: (Ⅰ)

f ?( x) ?

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2

f ?(?c) ? 0 ,

即得 c 由

2

k ? 2c ? ck ? 0 , (*)? c ? 0 ,? k ? 0 .

f ?( x) ? 0 得 ?kx2 ? 2 x ? ck ? 0 ,

由韦达定理知另一个极值点为 x (Ⅱ)由(*)式得 k

? 1 (或 x ? c ?

2 ) . k

2 2 ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 . ?
(i)当 k

? 0 时, f ( x) 在 (??, ? c) 和 (1, ? ?) 内是减函数,在 (?c, 1) 内是增函数.
k ?1 k ? ? 0, c ?1 2

? M ? f (1) ?

m ? f (?c) ?

?kc ? 1 ?k 2 ? ?0, c2 ? c 2(k ? 2)

由M

?m ?

k k2 ? ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

(ii)当 k

? ?2 时, f ( x) 在 (??, ? c) 和 (1, ? ?) 内是增函数,在 (?c, 1) 内是减函数.

?k 2 k ? M ? f (?c) ? ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2 2(k ? 2) M ?m ? ?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 ? ? 1? ≥1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2
2, ? ?) .

综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? [

20. (2009) (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若

f ( x) 的最小值为1,求a的取值范围。

解(Ⅰ)

a 2 ax 2 ? a ? 2 f '( x) ? ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2



f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? 12 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1.

(Ⅱ)

f '( x) ?
? 0,

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x)2
∴ ax ? 1 ? 0.

∵ x ? 0, a ①当 a

? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??).

②当 0 ? 由

a ? 2 时,

f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a



f ( x)的单调减区间为(0,

(Ⅲ)当 a

? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1;

当0 ?

a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x) 在 x ?

2?a a

处取得最小值

f(

2?a ) ? f (0) ? 1, a

综上可知,若

f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).

21.(2010)已知函数 (Ⅰ)若曲线 y

f ( x) ? x ,g(x)= a ln x , a ? R

? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程; f ( x) ? g ( x) ,当 h( x) 存在最小值时,求其最小值 ? (a) 的解析式;

(Ⅱ)设函数 h( x) ?

(Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? ( a ) 和任意的 a ? 0, b ? 0 时,证明:

? ?(

a ? b ? ?(a ) ? ? ?(b) 2ab )? ? ? ?( ). 2 2 a?b

21. (2011) (本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ?

1 , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . x

(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( (3)是否存在 x0

1 ) 的大小关系; x 1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取值范围;若 x

? 0 ,使得 | g ( x) ? g ( x0 ) |?

不存在,请说明理由. 【分析】 (1)先求出原函数 ,并求出 f ( x) ,再求得 g ( x) ,然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)

最小值; (2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负; (3)存在性问题通常采用假设存在,然后进行求解;注意利用前两问的结论.

1 , ∴ f( , 又∵ f (1) ? 0 , 所以 ln1 ? c ? 0 , 即c ? 0, x) ? n l x c ? ( c 为常数) x 1 ∴ f ( x) ? ln x ; g ( x) ? ln x ? , x x ?1 x ?1 ? 0 ,解得 x ? 1 , ∴ g ?( x ) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,即 2 x2 x
【解】 (1) ∵

f ?( x) ?

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,故区间在 (0,1) 是函数 g ( x) 的减区间; 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) 所以 x

? 0 , g ( x) 是增函数,故区间在 (1, ??) 是函数 g ( x) 的增区间;

? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,

所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 . (2) g (

1 1 1 ) ? ? ln x ? x ,设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2ln x ? x ? , x x x

则 h?( x) ? ?

( x ? 1)2 x2



当x

1 ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , x

当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h?(1) ? 0 , 因此函数 h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,

1 x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ g ( x ) ? g ( ) ; x 1 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ g ( x ) ? g ( ) . x
当0 ? (3)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 证法一 假设存在 x0

? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |?
2 x

1 对任意 x ? 0 成立, x


即对任意 x

? 0 有 ln x ? g ( x0 ) ? ln x ?

但对上述的 x0 ,取 x1 因此不存在 x0 证法二

? eg ( x0 ) 时,有 ln x1 ? g ( x0 ) ,这与①左边的不等式矛盾,

1 对任意 x ? 0 成立. x 1 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |? 对任意 x ? 0 成立, x

? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |?

由(1)知, g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , 又 g ( x)

? ln x ?

1 ? ln x ,而 x ? 1 时, ln x 的值域为 (0, ??) , x

∴当 x …1 时, g ( x) 的值域为 [1, ??) , 从而可以取一个值 x1

? 1 ,使 g ( x1) …g ( x0 ) ? 1 ,即 g ( x1) ? g ( x0 ) … 1,
1 ,这与假设矛盾. x1
1 对任意 x ? 0 成立. x

∴|

g ( x1 ) ? g ( x0 ) |…1 ?

∴不存在 x0

? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |?

21.(2012)(本小题满分 14 分) 设函数 .

(Ⅰ)设 (Ⅱ)设

, ,若对任意

,证明: ,有

在区间

内存在唯一的零点; ,求 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 的增减性。





内的零点,判断数列

高中数学专题四
《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

P 图 形 A1 F1

y

B2 B2 O F2 B1 A2 x P A1

y F2 O F1 B1 A2 x





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2 a

F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

离心率

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a





2b 2 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段) a

2 2 3. 常用结论: (1) 椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 , 过 F1 的直线交椭圆于 A, B a b

两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴 a b

的直线交椭圆于 P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是 二、双曲线:

| PQ |?

(1) 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF 1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF 1 |? 2a ( 2a ?| F 1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

P 图 形 F1 A1

y x O A2 F2

P

y F2 B2 O B1 F1 x





A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

对称轴

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2 a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

焦 焦

点 距

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 2 2 2 2

a

b

a

b

x y ? ?0。 a b

②与双曲线

2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2
2 2 (4)常用结论: (1)双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双 a2 b2

曲线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
2 2 (2)设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对 a2 b2

称 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 P, Q 两 点 , 则 P, Q 的 坐 标 分 别 是

| PQ |?
三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。

(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0

焦点在 x 轴上, 开口向右 标准方 程

焦点在 x 轴上, 开口向左

焦点在 y 轴上, 开口向上

焦点在 y 轴上, 开口向下

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

l
图 形 O

y P x F

P F

y

l
x P

y F O x

l
P

O

y O F

x

l
顶 点 对称轴
p F ( ,0 ) 2

O(0,0)

x轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2

焦 点

离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距
| PF |?| x0 | ? p 2
x?? p 2
x? p 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

p

四、 弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

? | A|

其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次 方程的判别式和 x 2 的系数 五、弦的中点坐标的求法 法(一) : (1)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的 一 元 二 次 方 程 Ax2 ? Bx ? C ? 0, 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 韦 达 定 理 求 出

x1 ? x 2 ? ?

x ? x2 B ; (3) 设中点 M ( x0 , y0 ) , 由中点坐标公式得 x 0 ? 1 ; 再把 x ? x0 代 A 2

入直线方程求出 y ? y0 。 法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,中点 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上, 线段的中点坐标公式,过 A、B 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形, 求出 x0 , y0 。 六、求离心率的常用方法:法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)

高考专题训练九
班级_______ 姓名_______

椭圆、双曲线、抛物线
时间: 45 分钟 分值: 75 分 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是抛物线上 的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为( 3 A.4 5 C.4 解析:利用抛物线定义 B.1 7 D.4 )

A 到准线距离|AA′|,B 到准线距离|BB′|, 且|AA′|+|BB′|=3, 3 1 5 AB 中点 M 到 y 轴距离 d=2-4=4. 答案:C 2. (2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上, 另一个顶点 是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2 解析:如图所示. B.n=1 D.n≥3 )

答案:C 3.(2011· 全国Ⅱ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x -4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 C.-5 3 B.5 4 D.-5 )

2 ? ?y =4x 解析:由? 得:y2-2y-8=0, y1=4,y2=-2. ? ?y=2x-4

则 A(4,4),B(1,-2),F(1,0) |AF|= ?4-1?2+42=5,

|BF|= ?1-1?2+?-2-0?2=2 |AB|= ?4-1?2+?4+2?2=3 5 |AF|2+|BF|2-|AB|2 25+4-45 cos∠AFB= = 2|AF|· |BF| 2?5?2 4 =-5. 答案:D x2 y2 4.(2011· 浙江)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2 y2 - 4 =1 有公共的焦点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相 交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2=2 解析:依题意:a2-b2=5, x2 y2 令椭圆 2 + 2=1, b +5 b B.a2=13 D.b2=2 )

1 如图可知 MN=3AB, x2 1 N ∴x2 =9, B

?y=2x 由? x2 y2 ?b2+5+b2=1,
b ∴x2 N= ?b2+5? , 5b2+20
2

? ?y=2x a2 2 由? 2 2 2 ∴xB= 5 , ?x +y =a ?

b2?b2+5? 5b2+20 1 x2 N ∴x2 = a2 =9, B 5 ∴又 a2=b2+5, 1 ∴9b2=b2+4,∴b2=2. 答案:C 5.(2011· 福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线上 存在点 P 满足|PF1|: |F1F2|: |PF2|=4: 3: 2, 则曲线的离心率等于( 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 2 B.3或 2 2 3 D.3或2 )

解析:∵|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2, 4 2 ∴|PF1|=3|F1F2|,|PF2|=3|F1F2| 4 2 则若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|+3|F1F2|=2|F1F2|>|F1F2|, 1 知 P 点在椭圆上,2a=4c,∴a=2c,∴e=2.

4 2 2 若|PF1|-|PF2|=3|F1F2|-3|F1F2|=3|F1F2|<|F1F2|, 4 c 3 3 知 P 点在双曲线上,2a=3c,∴a=2,∴e=2. 答案:A x2 y2 6.(2011· 邹城一中 5 月模拟)设 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>0, → → → b>0)的左、 右两个焦点, 若双曲线右支上存在一点 P, 使(OP+OF2)· F2P =0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为( A. C. 2+1 2 3+1 2 B. 2+1 D. 3+1 )

→ → → 解析:∵(OP+OF2)· F2P=0, ∴OB⊥PF2 且 B 为 PF2 的中点, 又 O 是 F1F2 的中点

∴OB∥PF1,∴PF1⊥PF2. |PF |-|PF2|=2a ? ? 12 2 2 则?|PF1| +|PF2| =4c ? ?|PF1|= 3|PF2| 整理,可得( 3-1)c=2a,

c ∴e=a= 3+1. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 1? ? x2 y2 7.(2011· 江西)若椭圆a2+b2=1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作 ? ? 圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右 焦点和上顶点,则椭圆方程是________. 解析:可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点,∴c=1. 1 两切点的连线 AB 被 OP 垂直平分,∴所求直线 OP 斜率 kOP=2. ∴kAB=-2, ∴直线 AB:y-0=-2(x-1) ∴y=-2x+2,∴上顶点坐标为(0,2). ∴b=2,a2=b2+c2=5 x 2 y2 ∴椭圆方程 5 + 4 =1. x2 y 2 答案: 5 + 4 =1 8. (2011· 课标)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心在原点, 2 焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 ,过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两 点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. c 2 解析:由已知 4a=16,a=4,又 e=a= 2 , ∴c=2 2, x 2 y2 ∴b =a -c =8,∴椭圆方程为16+ 8 =1.
2 2 2

x2 y 2 答案:16+ 8 =1 x2 2 9.(2011· 浙江)设 F1,F2 分别为椭圆 3 +y =1 的左、右焦点,点 → → A,B 在椭圆上,若F1A=5F2B,则点 A 的坐标是____________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵F1(- 2,0),F2( 2,0), → → ∵F1A=(x1+ 2,y1),F2B=(x2- 2,y2), ∴(x1+ 2,y1)=5(x1- 2,y2),
? ? ?x1+ 2=5?x2- 2? ?x1=5x2-6 2 ∵? ?? , ?y1=5y2 ?y1=5y2 ? ?

又∵点 A,B 都在椭圆上, x2 2 ∴ 3 +y2 2=1,
2 x1 2 3 +y1=1,

?5x2-6 2?2 2 ∴ + (5 y 2) =1, 3 25x2 2-60 2x2+72 ∴ +25y2 2=1, 3
?x2 ? ∴25? 3 +y2 2?-20 2x2+24=1, ? ?
2

∴25-20 2x2+24=1, 6 ∴x2=5 2,∴x1=5x2-6 2=0, ∴把 x1=0 代入椭圆方程得 y2 1, 1=1,∴y1=± ∴点 A(0,± 1).

答案:(0,± 1) x2 y2 10.(2011· 全国)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 9 -27=1 的左、 右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的角平分线, 则|AF2|=________. 解析:如图所示,

|AF1| |F1M| 由角平分线定理知:|AF |=|F M|,
2 2

∵点 M 为(2,0), ∴点 A 在双曲线的右支上, ∵F1(-6,0),F2(6,0),a=3, ∴|F1M|=8,|F2M|=4, |AF1| 8 ∴|AF |=4=2,
2

① ②

又由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=6, 由①②解得|AF2|=6. 答案:6

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. x2 y2 11.(12 分)(2011· 江西 )P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E:a2-b2= 1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,

1 PN 的斜率之积为5. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, → → → O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.
2 x2 y2 x2 y0 0 解:(1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线a2-b2=1 上,有a2-b2=1,

y0 y0 1 由题意又有 · =5,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 x0-a x0+a c 30 e=a= 5 .
2 2 2 ? ?x -5y =5b (2)联立? ,得 4x2-10cx+35b2=0, ? ?y=x-c

设 A(x1,y1),B(x2,y2) 5c ? x + x = 1 2 ? 2, 则? 35b2 ? ?x1x2= 4



→ → → → ?x3=λx1+x2 ? 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即? ? ?y3=λy1+y2
2 2 又 C 为双曲线上一点, 即 x3 -5y3 =5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2

=5b2
2 2 2 2 化简得:λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b

又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,
2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+ x2)-5c2=10b2

得 λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4.

12.(13 分)(2011· 辽宁)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长 轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的 离心率都为 e.直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四 点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

1 (1)设 e=2,求|BC|与|AD|的比值; (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 解:(1)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设 x2 y2 b2y2 x2 C1:a2+b2=1,C2: a4 +a2=1(a>b>0). 设 直 线 l : x = t(|t|<a) , 分 别 与 C1 , C2 的 方 程 联 立 , 求 得
? a ? ? b ? A?t,b a2-t2?,B?t,a a2-t2? ? ? ? ?

1 3 当 e=2时,b= 2 a,分别用 yA,yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2|yB| b2 3 |BC|:|AD|=2|y |=a2=4. A

(2)t=0 时的 l 不符合题意,t≠0 时,BO∥AN 当且仅当 BO 的斜 率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等时成立, b 2 2 a 2 2 a a -t b a -t 即 = , t t-a
2

1-e ab2 解得 t=- 2 2=- e2 · a a -b 1-e2 2 因为|t|<a,又 0<e<1,所以 e2 <1,解得 2 <e<1. 2 所以当 0<e≤ 2 时,不存在直线 l,使得 BO∥AN; 2 当 2 <e<1 时,存在直线 l,使得 BO∥AN.

高考专题训练
一、选择题:

椭圆、双曲线、抛物线

1.(2011· 辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为( 3 A.4 5 C.4 ) B.1 7 D.4

答案:C 2.(2011· 湖北)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的 正三角形个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2 ) B.n=1 D.n≥3

答案:C 3.(2011· 全国Ⅱ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 C.-5 答案:D x2 y2 y2 4.(2011· 浙江)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- 4 =1 有公共的焦 点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2=2 ) B.a2=13 D.b2=2 ) 3 B.5 4 D.-5

答案:C 5.(2011· 福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线上存在点 P 满足|PF1|:

|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线的离心率等于( 1 3 A.2或2 1 C. 或 2 2 答案:A

) 2 B.3或 2 2 3 D. 或 3 2

x2 y2 6.(2011· 邹城一中 5 月模拟)设 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右两个 → → → 焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使(OP+OF2)· F2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3 |PF2|,则双曲线的离心率为( A. C. 2+1 2 3+1 2 ) B. 2+1 D. 3+1

答案:D 二、填空题: 1 x2 y2 7.(2011· 江西)若椭圆a2+b2=1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作圆 x2+y2=1 的切 ? ? 线, 切点分别为 A, B, 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是________. x2 y2 答案: 5 + 4 =1 8.(2011· 课标)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 2 轴上,离心率为 2 ,过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. x2 y2 答案:16+ 8 =1 x2 2 9.(2011· 浙江)设 F1,F2 分别为椭圆 3 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,

→ → 若F1A=5F2B,则点 A 的坐标是____________. 答案:(0,± 1) x2 y2 10.(2011· 全国)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: 9 -27=1 的左、右焦点,点 A∈C, 点 M 的坐标为(2,0),AM 为∠F1AF2 的角平分线,则|AF2|=________.

答案:6 三、解答题: x2 y2 11.(12 分)(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点, a b 1 M、N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为5. (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点, → → → C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.

c 30 解:(1) e=a= 5 . (2)λ=0 或 λ=-4.

12.(13 分)(2011· 辽宁)如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N

在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e.直线 l⊥MN,l 与 C1 交于 两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

1 (1)设 e=2,求|BC|与|AD|的比值; (2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由. 3 解:(1) |BC|:|AD|= . 4 (2)t=0 时的 l 不符合题意, t≠0 时, BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等时成立

基础巩固题目
? ?

椭圆、双曲线、抛物线

(2) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是

(A)2 【解析】选 C.

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

(5) 在极坐标系中,点 (?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为

[来源:学#科#网]

(A) 2

(B)

4?

?2
9

(C)

1?

?2
9

(D)

3

【解析】选 D. (21) (本小题满分 13 分)
? 设 ? ? ? ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x 上运动,点 Q 满足 BQ ? ?QA ,经

uuu r

uur

过 Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ,点 P 满足

uuur uuu r QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。
解:点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1.

(3) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是

?

?

(A)2 【解析】选 C.

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

(4) 若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为 (A) ? 1 (B) 1 (C) 3 (D) ? 3

?

?

【解析】 a ? 1 . (17) (本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? k1x+1 ,l2 : y=k 2 x ?1,其中实数k1 ? k 2满足k1k 2 +2 ? 0,

(I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x 2 +y2 =1上. 证明: (I)反证法

3.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, ) 【解析】 : (1, ?

? 2

B. (1, ? )

?
2

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

) ,选 B。

19.已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4

点。 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 解: (Ⅰ) e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

8.已知点 A(0,2) ,B(2,0) .若点 C 在函数 y = x 的图像上,则使得 ΔABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A A.4 B.3 C.2 D.1 19. (本小题共 14 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 G : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜率为 I a b 3
的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积.

解: (Ⅰ)椭圆 G 的方程为 (Ⅱ)△ PAB 的面积 S=

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

7. 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 r 上存在点 P 满足 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2, 则曲线 r 的离心率等于 A A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2

1 2

D. 或

2 3

3 2

17. (本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理 由。 (I)圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.
2 2

(II)当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切;当 m ? 1 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。

21.(2) (本小题满分 7 分)坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) . ? ? ? y ? sin?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴

正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

π ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解: (I)点 P 在直线 l 上 (II)最小值为 2.

11.设圆锥曲线 G 的两个焦点分别为 F1、F2,若曲线 G 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2| =4:3:2,则曲线 G 的离心率等于 1 3 A. 2或2 2 B.3或 2 1 C.2或 2 A 2 3 D.3或2

18.(本小题满分 12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程。 解: (I)b=-1 (II)圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 4.
2 2

14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
19. (本小题满分 14 分)

.

[来源:Zxxk.Com]

2 2 设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y 2 ? 4 中 的一个内切,另一个外切.

(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程. (2)已知点 M (

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及 , ),F ( 5,0), 5 5

此时点 P 的坐标. (1) 解: L 的方程为 (2)解:最大值 2。

x2 ? y 2 ? 1. 4

21.(本小题满分 14分) 在平面直角坐标系 xOy上, 给定抛物线L : y ? 1 2 x .实数p, q满足p 2 ? 4q ? 0, x1 , x 2 是方程 4 2 x ? px ? q ? 0的两根, 记? ( p, q ) ? max{| x1 |, | x 2 |}.

1 2 p 0 )( p 0 ? 0)作L的切线交y轴于点B.证明 : 对线段AB上的作一点Q( p, q), 4 |p | 有? ( p , q ) ? 0 ; 2 2 ( 2 )设 M ( a, b) 是定点,其中 a , b 满足 a ? 4b>0,a≠0 . 过 M (a, b) 作 L 的两条切线 (1)过点A( p 0 ,

l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 ,

1 2 1 p1 ), E '( P2 , P2 2 ) , l1 , l2 与 y 分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两 4 4

端点的点集记为 X .证明: M (a, b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?

|P 1| ; 2

? 1 5? (3)设D ? ?( x, y ) y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) 2 ? ? , 当点(p, q)取遍D时,求 4 4? ? ? (p, q)的最小值(记为?min )和最大值(记为?max ).
解: (3)? ? max ?

5 ; 4

?? min ?|

x0 |min ? 1 . 2

高中数学专题五

简易逻辑

简 易 逻 辑
知识网络 逻 辑 联 结 词 命题 简易逻辑性 简单命题与复合命题

四种命题及其关系 充分必要条件

逻辑联结词和四种命题
基础过关

四种命题的概念与表示形式: 如果原命题为:若 p,则 q,则它的: 逆命题为: 若 q,则 p, 否命题为: 若┐p,则┐q, 逆否命题为: 若┐q,则┐p, 1.基本逻辑联结词
p?q p?q ?p

2.复合命题真假的判断:

9

典型例题

例 1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1) 若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根; (2) 若 ab=0,则 a=0 或 b=0; (3) 若 x2+y2=0,则 x、y 全为零. 解:(1)逆命题: 否命题: 逆否命题: . (2)逆命题: 否命题: 逆否命题: (3)逆命题: 否命题: . 逆否命题: 例 2:如果命题“p 或 q”是真命题,“p 且 q”是假命题.那么( A.命题 p 和命题 q 都是假命题 B.命题 p 和命题 q 都是真命题 C.命题 p 和命题“非 q”真值不同 D.命题 q 和命题 p 的真值不同 )

充要条件
基础过关

1. 充分条件: 如果 p?q 则 p 叫做 q 的 2. 必要条件: 如果 q? p 则 p 叫做 q 的 3.充要条件:如果 p?q 且 q? p 则 p 叫做 q 的
典型例题

条件, q 叫做 p 的 条件, q 叫做 p 的 条件.

条件. 条件.

一、选择题 2.已知下列三个命题 2 ① 方程 x -x+2=0 的判别式小于或等于零;②矩形的对角线互相垂直且平分;③ 2 是质数,其中真命题是( ) (A)①和② (B)①和③ (C)②和③ (D)只有① 3.下列结论中正确的是( ) (A)命题 p 是真命题时,命题“P 且 q”一定是真命题。 (B)命题“P 且 q”是真命题时,命题 P 一定是真命题 (C)命题“P 且 q”是假命题时,命题 P 一定是假命题 (D)命题 P 是假命题时,命题“P 且 q”不一定是假命题 4.使四边形为菱形的充分条件是( ) (A)对角线相等 (B)对角线互相垂直 (C)对角线互相平分 (D)对角线垂直平分 5.如果命题“非 P 为真” ,命题“P 且 q”为假,那么则有( ) (A)q 为真 (B)q 为假 (C)p 或 q 为真 (D)p 或 q 不一定 为真 6.如果命题“p 或 q”和命题“p 且 q”都为真,那么则有( ) (A)p 真 q 假 (B)p 假 q 真 (C)p 真 q 真 (D)p 假 q 假 7.设 ? ABC 的三边分别为 a,b,c,在命题“若 a2+b2 ? c 2 ,则 ? ABC 不是直角三角 形”及其逆命题中有( ) (A)原命题真 (B)逆命题真 (C)两命题都真 (D)两命题都假 8.一个整数的末位数字是 2,是这个数能被 2 整除的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不 必要条件 9.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为 ( ) A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对 10 . “
a 2 ? b2 ? 0













) B. a , b 全不为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0 (B)x≠±1 是 x ≠1 的充要条件

A. a , b 不全为 0 C. a , b 至少有一个为 0 11.下列说法正确的是( )

(A)x≥3 是 x>5 的充分不必要条件

(C)若﹁p ?﹁q,则 p 是 q 的充分条件 (D)一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 12.如果命题“P 或 Q”是真命题,命题“P 且 Q”是假命题,那么( ) (A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题 (C)命题 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相 同 13.给出 4 个命题: ①若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1 或 x=2;②若 ? 2 ? x ? 3 ,则 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ; ③若 x=y=0,则 x 2 ? y 2 ? 0 ;④若 x, y ? N ? ,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数, 一个是偶数.那么: ( ) A.①的逆命题为真 B.②的否命题为真 C.③的逆否命 题为假 D.④的逆命题为假 14 . 对 命 题 p : A∩ ? = ? , 命 题 q : A∪ ? = A , 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) B.p 或 q 为假 C.非 p 为真 D .非 A.p 且 q 为假

p 为假

简 易 逻 辑
知识网络 逻 辑 联 结 词 命题 简易逻辑性 简单命题与复合命题

四种命题及其关系 充分必要条件

逻辑联结词和四种命题
基础过关

一、 命题的概念

1. 可以 的语句叫做命题. 2. 命题由 两部分构成; 3. 命 题 有 之分;数学中的定义、公理、定理等都是 命题. 二、命题的分类 (一)四种命题 1.四种命题:原命题:若 p 则 q; 逆命题: ; 否命题: ; 逆否命题: . 2.四种命题的关系:

结论:互为逆否命题的两个命题真假性相同。 (二)简单命题与复合命题 1.逻辑联结词有 . 2.不含 的命题是简单命题. 33. 的命题是复合命题.复合命题的构成形式有三 种: .(其中 p,q 都是简单命题). 4.判断复合命题的真假的方法—真值表:

(三)全称命题与存在命题 1.全称量词:__________________________________,用______表示; 2.存在量词:__________________________________,用______表示。 3.全称命题:_________________________,___________________; 4. 存在命题:_________________________,___________________。 三、区分“命题的否定”和“否命题”

1.命题的否定只否定结论:_________________; 2.否命题条件、结论都否定:___________________。 9
典型例题

例 1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1) 若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实根; (2) 若 ab=0,则 a=0 或 b=0; (3) 若 x2+y2=0,则 x、y 全为零. 解:(1)逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q<1,为假命题. 否命题:若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 无实根,为假命题. 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则 q≥1,为真命题. (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0,为真命题. 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,为真命题. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,为真命题. (3)逆命题:若 x、y 全为零,则 x2+y2=0,为真命题. 否命题:若 x2+y2≠0,则 x、y 不全为零,为真命题. 2 2 逆否命题:若 x、y 不全为零,则 x +y ≠0,为真命题. 变式训练:写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:? (1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;? (2)矩形的对角线互相平分且相等;? (3)相似三角形一定是全等三角形.? 解: (1)否命题是: “如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三 个角也不都相等”.? 原命题为真命题,否命题也为真命题.? (2)否命题是: “如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等” ? 原命题是真命题,否命题是假命题.? (3)否命题是: “不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题,否命题是真命题.

例 2:如果命题“p 或 q”是真命题,“p 且 q”是假命题.那么( A.命题 p 和命题 q 都是假命题 B.命题 p 和命题 q 都是真命题 C.命题 p 和命题“非 q”真值不同 D.命题 q 和命题 p 的真值不同 解: D 变式训练:下列结论中正确的是( ) (A)命题 p 是真命题时,命题“P 且 q”一定是真命题。 (B)命题“P 且 q”是真命题时,命题 P 一定是真命题 (C)命题“P 且 q”是假命题时,命题 P 一定是假命题 (D)命题 P 是假命题时,命题“P 且 q”不一定是假命题 解:D



例 3. 已知 p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q: 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p

或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 分析:由 p 或 q 为真,知 p、q 必有其一为真,由 p 且 q 为假,知 p、q 必有一个 为假, 所以, “p 假且 q 真”或“p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的 条件,再分类讨论. 解:p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根.
? ?? ? m 2 ? 4 ? 0 ?? 1 ?m?2 ? ?m?0 ?

q: 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.
? ? 2 ? 16(m ? 2) 2 ? 16 ? 0 ? 1 ? m ? 3 因为

p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 的真值

相反. (ⅰ) 当 p 真且 q 假时,有 ? (ⅱ) 当 p 假且 q 真时,有 ?
m?2 ? ? m ?3; ?m ? 1或m ? 3

? m?2 ?1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? 3

综合,得 m 的取值范围是{ m 1 ? m ? 2 或 m ? 3 }. 变式训练:已知下列三个方程:①x2+4ax-4a+3=0,②x2+(a-1)x+a2=0, ③x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根,求实数 a 的取值范围. 解:设已知的三个方程都没有实根.
??1? (4a ) 2 ? 4(4a ? 3) ? 0 ? 2 2 则? ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 ? 2 ? ? ? 3 ? ( 2 a ) ? 8a ? 0

解得 ? 3 ? a ? 1 .
2

故所求 a 的取值范围是 a≥-1 或 a≤- 3 .
2

充要条件
基础过关

1. 充分条件: 如果 p?q 则 p 叫做 q 的 2. 必要条件: 如果 q? p 则 p 叫做 q 的 3.充要条件:如果 p?q 且 q? p 则 p 叫做 q 的
典型例题

条件, q 叫做 p 的 条件, q 叫做 p 的 条件.

条件. 条件.

例1:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题中的 p是q的充分条件? ( 1)若x ? 1,则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0; (2)若f ( x) ? x,则 f ( x)为增函数; (3)若x为无理数, 则x 2 为无理数. 解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题 .所以, 命题(1)(2) 中的p是q的充分条件 .
例2:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些 命题中的 q是p的必要条件? ( 1)若x ? y,则x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等, 则这两个三角形的面积 相等; (3) 若a ? b, 则ac ? bc. 解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题 .所以, 命题(1)(2) 中的q是p的必要条件 .

例 3.在下列各题中,判断 A 是 B 的什么条件,并说明理由. 1. A:
p ? 2, p ? R ,B:方程 x 2 ? px ? p ? 3 ? 0 有实根;

2.A: 2 x ? 3 ? 1 ;B:

1 x2 ? x ? 6

?0;

分析:要判断 A 是 B 的什么条件,只要判断由 A 能否推出 B 和由 B 能否推出 A 即可. 解:(1) 当
p ? 2 ,取 p ? 4 ,则方程 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0

无实根;若方程 x 2 ?

px ? p ? 3 ? 0 有

实根,则由 ? ? 0 推出 p 2 ? 4( p ? 3) ? 0 ? p ? ?2 或 p ? 6,由此可推出 的必要非充分条件. (2) 由 2 x ? 3 ? 1 ? x ? 1或x ? 2 ,由
1 x2 ? x ? 6

p ? 2 .所以

A是B

? 0 解得 x ? ?3或 x ? 2 ,所以

A 推不出 B,

但 B 可以推出 A,故 A 是 B 的必要非充分条件. 变式训练:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件” 、 “必要 不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答).? (1)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;? (2)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B;?? 解: (1)易知: ? p:x+y=8, ? q:x=2 且 y=6,显然 ? q ? ? p.但 ? p ? q,即 ? q 是 ? p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必 要条件.? (2)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必 要不充分条件.? 例 4. 已知 p:-2<m<0,0<n<1;q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小 于 1 的正根,试分析 p 是 q 的什么条件. 解:若方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根,设为 x1、x2. 则 0<x1<1、0<x2<1,∵x1+x2=-m,x1x2=n ∴0<-m<2,0<n<1 ∴-2<m<0,0<n<1

∴p 是 q 的必要条件. 又若-2<m<0,0<n<1,不妨设 m=-1,n= 1 .
2

则方程为 x2-x+ 1 =0,∵△=(-1)2-4? 1 =-1<0. ∴方程无实根
2 2

∴p

是 q 的非充分条件. 综上所述,p 是 q 的必要非充分条件. 变式训练: 证明一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0. ? 证明:充分性:若 ac<0,则 b2-4ac>0,且 c <0,?
a

∴方程 ax +bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负 根.? 必要性: 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根, 则 ? =b2-4ac>0,x1x2= c <0,
a

2

∴ac<0. 2 综上所述,一元二次方程 ax +bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.

简易逻辑章节测试题
一、选择题 1.下列语句中是命题的是( ) (A)语文和数学 (B)sin45°=1 (C)x2+2x-1 (D)集合与元素 2.已知下列三个命题 ② 方程 x2-x+2=0 的判别式小于或等于零;②矩形的对角线互相垂直且平分;③ 2 是质数,其中真命题是( ) (A)①和② (B)①和③ (C)②和③ (D)只有① 3.下列结论中正确的是( ) (A)命题 p 是真命题时,命题“P 且 q”一定是真命题。 (B)命题“P 且 q”是真命题时,命题 P 一定是真命题 (C)命题“P 且 q”是假命题时,命题 P 一定是假命题 (D)命题 P 是假命题时,命题“P 且 q”不一定是假命题 4.使四边形为菱形的充分条件是( ) (A)对角线相等 (B)对角线互相垂直 (C)对角线互相平分 (D)对角线垂直平分 5.如果命题“非 P 为真” ,命题“P 且 q”为假,那么则有( ) (A)q 为真 (B)q 为假 (C)p 或 q 为真 (D)p 或 q 不一定 为真 6.如果命题“p 或 q”和命题“p 且 q”都为真,那么则有( ) (A)p 真 q 假 (B)p 假 q 真 (C)p 真 q 真 (D)p 假 q 假 7.设 ? ABC 的三边分别为 a,b,c,在命题“若 a2+b2 ? c 2 ,则 ? ABC 不是直角三角 形”及其逆命题中有( )

(A)原命题真 (B)逆命题真 (C)两命题都真 (D)两命题都假 8.一个整数的末位数字是 2,是这个数能被 2 整除的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不 必要条件 9.“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为 ( ) A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对 10 ( . ) B. a , b 全不为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0 (B)x≠±1 是 x ≠1 的充要条件 “
a 2 ? b2 ? 0











A. a , b 不全为 0 C. a , b 至少有一个为 0 11.下列说法正确的是( )

(A)x≥3 是 x>5 的充分不必要条件

(C)若﹁p ?﹁q,则 p 是 q 的充分条件 (D)一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 12.如果命题“P 或 Q”是真命题,命题“P 且 Q”是假命题,那么( ) (A) 命题 P 和命题 Q 都是假命题 (B) 命题 P 和命题 Q 都是真命题 (C)命题 P 和命题“非 Q”真值不同 (D) 命题 Q 和命题“非 P”真值相 同 13.给出 4 个命题: ①若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x=1 或 x=2;②若 ? 2 ? x ? 3 ,则 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ; ③若 x=y=0,则 x 2 ? y 2 ? 0 ;④若 x, y ? N ? ,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数, 一个是偶数.那么: ( ) A.①的逆命题为真 B.②的否命题为真 C.③的逆否命 题为假 D.④的逆命题为假 14 . 对 命 题 p : A∩ ? = ? , 命 题 q : A∪ ? = A , 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) B.p 或 q 为假 C.非 p 为真 D .非 A.p 且 q 为假

p 为假
二、填空题 1.已知命题 P:内接于圆的四边形对角互补,则 P 的否命题 q 是 。 2 3.命题“不等式 x +x-6>0 的解 x<-3 或 x>2”的逆否命题是 4.写出命题“个位数是 5 的自然数能被 5 整除”的逆命题、否命题及逆否命题, 并判定其真假。 逆命题是_____________________________________________

否命题是_____________________________________________ 逆否命题是___________________________________________ 5.由命题 p:6 是 12 的约数,q:6 是 24 的约数,构成的“p 或 q”形式的命题是: _ 是__ ___, “p 且 q”形式的命题是__ _. _, “非 p”形式的命题

6.命题“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是

9.(2007)给出如下三个命题: ①四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ②设 a,b∈R,则 ab≠0 若

a b <1,则 >1; b a

③ f(x)=log 2 2x=x,则 f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是 ( A.①②③ B.①② 6. (2008) “a ? A ) C.②③ D.①③ )

1 a ”是“对任意的正数 x , 2 x ? ≥ 1 ”的(A 8 x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

7.(2009) “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( C ) (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

9.(2010)对于数列{a n} ,“ an ?1 >∣a n∣(n=1,2…)”是“{a n}为递增数列”的【 B 】 ( A) 必要不充分条件 (C) 必要条件 (B) 充分不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

3. (2012) 设

, 是虚数单位, 则 “

” 是 “复数

为纯虚数” 的 ( B



(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

高中数学专题六
数列知识点总结
第一部分 等差数列 一 、 定义式:

数列

an ? an?1 ? d

二 、 通项公式: an ?

?? am ? (n ? m)d ?? a1 ? (n ? 1)d

一个数列是等差数列的等价条件: an ? an ? b (a,b 为常数),即 an 是关于 n 的一次函数,因 为 n ? Z ,所以 an 关于 n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 、 前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na中间项 ? na1 ? d 2 2

一个数列是等差数列的另一个充要条件: S n ? an2 ? bn(a,b 为常数,a≠0),即 Sn 是关于 n 的二次函数,因为 n ? Z ,所以 Sn 关于 n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 、 性质结论 1.3 或 4 个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3 个数 a-d,a,a+d; 4 个数 a-3d,a-d,a+d,a+3d 2. a 与 b 的等差中项 A ? a ? b ; 2 在等差数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? ap ? aq ;若 m ? n ? 2p ,则 am ? an ? 2a p ;
3.若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd,

?

?

S奇 S偶

?

an ; a n ?1

若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? , 则 S 2 n ?1? ?2n ? 1?a n , 且 S 奇 ? S 偶 ?a n ,

?

?

S奇 S偶

?

n n ?1

4. 凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设 A ? a1 ? a2 ??? an, ,

B ? an?1 ? an?2 ??? a2n ,
C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n ,则有 2 B ? A ? C ;
5. a1 ? 0 , Sm ? Sn ,则前 S m? n (m+n 为偶数)或 S m? n?1 (m+n 为奇数)最大
2 2

第二部分

等比数列

一 、 定义:

an ? q(n ? 2, an ? 0, q ? 0) ? {an } 成等比数列。 an?1

二 、 通项公式: an

? a1q n?1 , an ? amqn?m

数列{an}是等比数列的一个等价条件是: 当 q ? 0 且 q ? 0 时, an 关于 n 的图像是指数函数图像的分点 Sn ? a(bn ?1),(a ? 0, b ? 0, 1 ) 表示形式。

(q ? 1) ?na1 ? n 三、 前 n 项和: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an ?1q ; ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
(注意对公比的讨论) 四、 性质结论:

1. a 与 b 的等比中项 G ? G2 ? ab ? G ? ? ab ( a , b 同号); 2.在等比数列?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; 若 m ? n ? 2 p ,则 am ?an ?ap ;
2

3.设 A ? a1 ? a2 ??? an, , B ? an?1 ? an?2 ??? a2n ,

C ? a2n?1 ? a2n?2 ??? a3n , 则有 B 2 ? A ?C
第三部分 求杂数列通项公式 an

一. 构造等差数列:递推式不能构造等比时,构造等差数列。 第一类:凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式,

a n?1 ? 1 ? an ? 1 , 2a n?1 ? 1 1 1 1 两 边 取 倒 数 ? ?2? ?{ } 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 1 1 ? ? ? 2(n ? 1) ,从而求出 an 。 an ? 1 a1 ? 1
例如: 第二类:

(n2 ?1)an ? n2an?1 ? n(n ?1) ? n ?1 n ? n ?1 ? an ? an ?1 ? 1 ? ? an ? 是公差为 1 的等差数列 n n ?1 ? n ? n ?1 1?1 2n ? an ? a1 ? an ? n 1 n ?1
二。递推:即按照后项和前项的对应规律,再往前项推写对应式。 例如 an ? na n ?1 ?a n ? nn ? ?1a ?n 【注: n! ? n(n ?1)( n ?2) ? 1 】 求通项公式 an 的题,不能够利用构造等比或者构造等差求 an 的时候,一般通过递推来求 an 。 第四部分 求前 n 项和 S n 一 、 裂项相消法: 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1 1 1 1 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 , 2 ,3 , 4 ,?的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )、 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 (+ 1 2+ 3+ 4+ ?)+ ( + + + ? ?) 1 1 n 3 9 27 81 ? ? ? 1 n ?1 n ?1 二、 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 求:
?2

????? an ? na !1

Sn =x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ?(2n-1)x n (x ? 1)
Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ? ? ? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1) ① xSn =x 2 ? 3x3 ? 5x 4 ? ? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1) ②

①减②得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ? ? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1 ?x? 2x 2 ?1 ? x n-1 ? ? ? 2n ? 1? x n+1

1? x 从而求出 S n 。

三 倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法 例:等差数列求和:

Sn =a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n Sn =a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 3 ? a 2 ? a1
2Sn = ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 3 ? a n ?2 ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a1 ? a n ? ? n ? a1 ? a n ? ? Sn
两式相加可得:

高考专题训练 等差数列、等比数列、数列 高考专题训练十二 等差数列、等比数列、数列的综合应用
班级______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分______ 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011?上海)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai,ai+1 的矩形的面积(i =1,2,?).则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 解析:依题意有 Ai=aiai+1 ∴An=anan+1,∴An+1=an+1an+2 {An}为等比数列? )

An+1 =q(q>0),q 为常数 An



An+1 an+1an+2 an+2 = = =q. An anan+1 an

∴a1,a3,a5?a2n+1?和 a2,a4?a2n?都成等比数列且公比相同. 答案:D 2.如果等差数列{an}中 a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 C.28 D.35 B.21 )

解析:本小题主要考查等差数列的性质,前 n 项和的求法以及转化的数学思想. 由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12? a4=4,故 a1+a2+a3+?+a7=(a1+a7)+ (a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 答案:C 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S9=45,则数列{an}的公差为( A.-1 C.2 B.1 D. 1 2 )

9?8 解析:记等差数列{an}的公差为 d,依题意得,S9=9a1+ d=9+36d=45,解得 d= 2 1,选 B. 答案:B 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 A.7 C.8 B. D. 15 2 17 2 10?9 d=110,∴a1=d=2,于是 2

Sn+64 的最小值为( an

)

解析:设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=4,10a1+

an=2n,Sn=n2+n,


Sn+64 1? 64? 1 1 17 = ?n+ ?+ ≥8+ = (当且仅当 n=8 时取“=”),选 D. n an 2? 2 2 ? 2

答案:D

1 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1.令 bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}的前

n

10 项和 T10=( A.70 C.80

) B.75 D.85

解析:因为 an=2n+1,所以数列{an}是个等差数列,其首项 a1=3,其前 n 项和 Sn=a1 +a2+?+an=

n?a1+an? n?3+2n+1?
2 = 2

1 1 2 2 =n +2n, 所以 bn= ?Sn= ?(n +2n)=n+2,

n

n

故数列{bn}也是一个等差数列,其首项为 b1=3,公差为 d=1,所以其前 10 项和 T10=10b1 10?9 + d=10?3+45=75,故选 B. 2 答案:B 6.(2011?湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4 是各项不为零的等差数列且公 差 d≠0, 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列, 则 的值为( A.-4 或 1 C.4 B.1 D.4 或-1
2 2

a1 d

)

解析:若删去 a1,则 a2a4=a3,即(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d) ,化简得 d=0,不合题意; 若删去 a2,则 a1a4=a3,即
2

a1 a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简可得 =-4;若删去 a3,则 a1a4=a2 2,即 a1(a1+3d)=(a1 d
+d) ,化简可得 =1;若删去 a4,则 a1a3=a2,即 a1(a1+2d)=(a1+d) ,化简可得 d=0, 不符合题意.故选 A. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 7.(2011?陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两 棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 解析:设放在第 x 个坑旁边,由题意得
2

a1 d

2

2

S=20[(x-1)+(x-2)+?+1+1+0+1+2+?+(20-x)]
=20?

??1+x-1??x-1?+?1+20-x??20-x?? ? 2 2 ? ?
2

=20(x -21x+210) 由 S′=20(2x-21)=0,得 x=10.5, 知 x=10 或 11 时,S 最小值为 2000. 答案:2000 8.(2011?广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k =________. 解析:由 S9=S4 及 a1=1,得 9+36d=4+6d,

d=- .
由 ak+a4=0 得 2a1+(k+2)d=0. ∴2-

1 6

k+2
6

=0,k=10.

答案:10 9.(2011?湖南)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= ________. 解析:∵a1=1,a4=1+3d=7,∴d=2, 5?4 ∴S5=5a1+ d=5+10?2=25. 2 答案:25 10.(2011?湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 ________升. 解析:令最上面一节为 a1 13 ? ?a =22 ,? 7 ? ?d=66
1 *

? ?a1+a2+a3+a4=3 则? ?a7+a8+a9=4 ?

? ?4a1+6d=3 ,? ?3a1+21d=4 ?

.

67 ∴a5=a1+4d= . 66 67 答案: 66 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011?课标)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2

1 2 2 2 2 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a3=9a2a6 得 a3=9a4 ,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3

1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) =-

n?n+1?
2 2

. 1 ? ?1 =-2? - , n n + 1? ? ?

1 故 =-

bn

n?n+1?

1 1 ?? 1? + +?+ =-2??1- ? b1 b2 bn ?? 2? 1

?1 1? +? - ? ?2 3?

1 ?? 2n ?1 +?+? - =- . ? ? n+1 ?n n+1??

?1? 2n 所以数列? ?的前 n 项和为- . n+1 ?bn?

12.(13 分)(2011?安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增 的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100,则

Tn=t1?t2???tn+1?tn+2, Tn=tn+2?tn+1??t2?t1,
①?②并利用 titn+3-i=t1tn+2=10 (1≤i≤n+2),得
2(n+2). T2 n=(t1tn+2)?(t2tn+1)???(tn+1t2)?(tn+2t1)=10 2

① ②

∴an=lgTn=n+2,n≥1.

(2)由题意及(1)中计算结果,知

bn=tan(n+2)?tan(n+3),n≥1.
tan?k+1?-tank 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= , 1+tan?k+1??tank tan?k+1?-tank 得 tan(k+1)?tank= -1. tan1
n n+2

所以 Sn=?bk=?tan(k+1)?tank
k=1 n+2 k= 3

=? ?
k=3

?tan?k+1?-tank-1? ? tan1 ? ?



tan?n+3?-tan3 -n. tan1

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1. 设{an}是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai, ai+1 的矩形的面积(i=1,2, ?). 则 {An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 答案:D 2.如果等差数列{an}中 a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 C.28 答案:C 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S9=45,则数列{an}的公差为( A.-1 C.2 答案:B 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10=110,则 A.7 C.8 答案:D B. D. 15 2 17 2 B.1 D. 1 2 ) D.35 B.21 ) )

Sn+64 的最小值为( an

)

1 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1.令 bn= (a1+a2+?+an),则数列{bn}的前

n

10 项和 T10=( A.70 C.80

) B.75 D.85

答案:B 6.(2011?湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4 是各项不为零的等差数列且公 差 d≠0, 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列, 则 的值为( A.-4 或 1 C.4 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 7.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米. 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 答案:2000 8.等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 答案:10 9.设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________. 答案:25 10. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差 数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 67 答案: 66 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011?课标)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2 *

a1 d

)

B.1 D.4 或-1

1 (1)an= n. 3

?1? 2n (2)数列? ?的前 n 项和为- . n+1 ?bn?

12.(13 分)(2011?安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增 的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan?tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) an=lgTn=n+2,n≥1. tan?n+3?-tan3 (2)Sn= -n. tan1

22.

(2007)(本小题满分 12 分)

已知各项全不为零的数列{ak}的前 k 项和为 Sk,且 Sk= (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数 n(n≥2),数列{bk}满足 求 b1+b2+?+bn. 解: (Ⅰ) ak ? k (k ? N* ) .

1 ak ak ?1 ( k ? N*),其中 a1=1. 2

bk ?1 k ? n (k=1,2,?,n-1),b1=1. ? bk ab ?1

1 1 0 1 2 n ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ? Cn ? . ? ? n n 1 解: (Ⅰ)当 k ? 1 ,由 a1 ? S1 ? a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 当 k ≥ 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2
(Ⅱ) b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?
因为 ak

?

?

? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ?1)? 2 ? 2m ?1 .

a2m ? 2 ? (m ?1)? 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* ) .
(Ⅱ)因为 ak

? k ,所以

bk ?1 n?k n?k . ?? ?? bk ak ?1 k ?1

所以 bk

?

bk bk ?1 b (n ? k ? 1)(n ? k ? 2)?(n ? 1) ? ? ?? 2 ? b1 ? (?1)k ?1 ? ? 1 bk ?1 bk ?2 b1 k? (k ? 1)? ??2? 1

1 k ? (?1) k ?1 ? Cn ( k ? 1, 2, ?,n) . n

故 b1 ? b2

1 1 2 3 n ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ?1 Cn ? ? n 1 1 0 1 2 n ? ? 1? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ? Cn ? . ? ? n n

? b3 ? ? ? bn ?

?

?

22. (2008) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an 2, ?. , an ?1 ? , n ? 1, 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ?; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1

3n 解(Ⅰ)? an ? n . 3 ?2
22.解法一: (Ⅰ)? an ?1

?

3an 1 2 1 ,? ? ? 2an ? 1 an?1 3 3a n
为首项,

,?

? 1 1? 1 ?1 ? ? ? 1? , an?1 3 ? an ?



?1 ? 2 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1? 是以 3 an 3 ? an ?
1 2 1 2 ? 1 ? ? n?1 ? n an 3 3 3
,? an

1 为公比的等比数列. 3

?

?

3n . 3n ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an

?

3n ? 0, 3n ? 2

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 1 1 ?2 ? ? ?1?1? x ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?

? 1 1 ?1 ? ? (1 ? x) ? 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? an ?
1 1 2 ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x

??

??

1? 1 ? ? an ? ? an ≤ an ,? 原不等式成立. ? an ? 1 ? x ?
? 0 ,有

2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x

a1 ? a2 ? ? ? an ≥

1 1 ?2 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ?? ? ? ? x? 2 ? n 2 ? 2 ? 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?

?

n 1 ?2 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? . 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 3 3 ?

2? 1? 1? n ? ? 1?2 2 2? 3 1? 3 ? 1? ? ?1 ? n ? , ?取 x ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?

n n2 n2 则 a1 ? a2 ? ? ? an ≥ . ? ? 1 n ?1 1? 1? n ? 1 ? 1 ? ?1 ? n ? 3n n? 3 ?
? 原不等式成立.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设

f ( x) ?

1 1 ?2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?



?2 ? ?2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ??2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? f ?( x) ? ? ? ? ? 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x)
2 3n

? x ? 0, 2 ?当 x ? n 3

时,

f ?( x) ? 0 ;当 x ?

时,

f ?( x) ? 0 ,

?当 x ?

2 3n

时,

? 2 f ( x) 取得最大值 f ? n ?3

1 ? ? an . ?? ? 1? 2 3n

? 原不等式成立.
(Ⅲ)同解法一.

22. (2009) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 {xn } 的单调性,并证明你的结论;

(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( ) n ?1 。 证(1)数列 ? x2 n ? 是递减数列,数学归纳法证明:
证(1)由 x1

1 2 6 5

1 1 2 5 13 ? 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2

? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2 n ? 是递减数列 ? x2k ?2

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2 k

易知 x2 k

? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ?4 ?

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1)

? x2( k ?1)?2
1 ,结论成立 6

也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时,

xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

当n

? 2 时,易知 0 ? xn?1 ? 1,?1 ? xn?1 ? 2, xn ?

1 1 ? 1 ? xn?1 2

? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 22 2 n-1 xn ? xn ?1 ? ( ) xn ? 1? xn ? 2 ? ? ? ( ) x ? 2 x 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

1

16.(2010)(本小题 满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, 且a1 , a3 , a9 成等比数列.

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求数列 2 an 的前 n 项和 Sn .

? ?

17.(2012)(本小题满分 12 分) 设 是公比不为 1 的等比数列,其前 项和为 的公比; , 成等差数列. ,且 成等差数列.

(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)证明:对任意

高中数学专题七
1、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 点 A,平面 ? , A ? ? ; A ? ? 点 A,直线 l,A∈l; 直线 l,平面α ,l ? α ;l ? α 。 A ?l;

空间几何及向量

(2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面 内。 符号语言

A? l , B? ,l A ? ? , B ? ?

? l? ?

(3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一 平面。 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义: ② 异面直线性质: ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角: (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α =A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (2)如果两个平行 平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。 9、空间角问题 (2)直线和平面所成的角 (3)二面角和二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示, ( 2)空间两点距离坐标公式:
d ? ( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2

16、向量:既有大小,又有方向的量. 17、向量加法运算: ?三角形法则. ?平行四边形法则 ? 三 角 形 不 等 式 :

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b .
?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ?三角形法则.

?

?

? ?

?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ? ? ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a .

?

?

? ?

??? ?

?运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ?坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

?

?

?

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?

?

?

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? ?

?

?

?

?

?

?

b b ?0 设 a ? ? x1 , y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,
共线.

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不共线的向量 e1 、e2 作 2e 2 . 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式: ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的 坐标是 ?

??

?? ?

?

?

? ?

?? ?

??

?? ?

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

?运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ?坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?
?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2
19.(2007).(本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?, PA ? 平面 v

PA ? 4, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD BD ? 平面PAC; (Ⅱ)求二面角 P ? BD ? D 的大小 . 解: (Ⅰ) (Ⅱ)? 二面角 A ? PC ? D 的大小为 arccos
解法一: (Ⅰ)? PA ⊥ 平面 又 tan

3 93 . 31

ABCD , BD ? 平面 ABCD .? BD ⊥ PA .

ABD ?

BC AD 3 ? 3. , tan BAC ? ? AB AB 3

?∠ABD ? 30? , ∠BAC ? 60? ,?∠AEB ? 90? ,即 BD ⊥ AC .

AC ? A .? BD ⊥ 平面 PAC . (Ⅱ)过 E 作 EF ⊥ PC ,垂足为 F ,连接 DF . ? DE ⊥ 平面 PAC , EF 是 DF 在平面 PAC 上的射影,由三垂线定理知 PC ⊥ DF , ?∠EFD 为二面角 A ? PC ? D 的平面角.
又 PA ?

P

又 ∠DAC

? 90 ?∠BAC ? 30
?

?



F A E B C D

? DE ? AD sin DAC ? 1 ,

AE ? AB sin ABE ? 3 ,


AC ? 4 3 ,? EC ? 3 3 , PC ? 8 .
?

由 Rt△EFC ∽ Rt△PAC 得 EF

PA?EC 3 3 . ? PC 2

在 Rt△EFD 中, tan EFD

?

DE 2 3 2 3 ,?∠EFD ? arctan . ? EF 9 9 2 3 . 9

? 二面角 A ? PC ? D 的大小为 arctan
解法二: (Ⅰ)如图,建立坐标系, 则

A(0, 0, 0) , B(2 3, 2, 0) , P(0, 0, 4) , 0, 0) , C(2 3, 6, 0) , D(0,
P

z

??? ? ??? ? ??? ? ? AP ? (0, 0, 4) , AC ? (2 3, 6, 0) , BD ? (?2 3, 2, 0) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BD?AP ? 0 , BD?AC ? 0 .? BD ⊥ AP , BD ⊥ AC ,
A B x E

D

y C

又 PA ?

AC ? A ,? BD ⊥ 平面 PAC .

(Ⅱ)设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x,y, 1) , 则 CD? n ? 0 , PD?n ? 0 , 又 CD ? (?2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 3, ? 4, 0) , PD ? (0, 2, ? 4) ,

? 4 3 ? , ? ?2 3 x ? 4 y ? 0, ? x ? ? ?? 解得 ? 3 ? ? 2 y ? 4 ? 0, ? y ? 2, ?
? 4 3 ? ?n ? ? 2, 1? ?? 3 , ? ? ?
平面 PAC 的法向量取为 m

??? ? ? BD ? ?2 3, 2, 0

?

?,

cos < m , n ??

m?n 3 93 . ? m n 31
3 93 31

? 二面角 A ? PC ? D 的大小为 arccos

9. (2008) 如图,? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b ,AB 与 ?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则 ( D ) B. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n A l a

A. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n

?
b B ?

19. (本小题满分 12 分)

?BAC ? 90? , 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示, 截面为 A1B1C1 ,

A1 A ? 平面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? 2 , AC ? 2 , AC 1 1 ?1,
(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小.

BD 1 ? . DC 2
A1 B1 A C1

C D

B

解(Ⅰ) (Ⅱ)二面角 A ? CC1 ? B 为 arctan
解法一: (Ⅰ)?

6 . 3

A1 A ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC ,

? BC ? 6 , ? A1 A ? BC .在 Rt△ ABC 中, AB ? 2,AC ? 2,
? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ?
6 3
,又

BD 3 AB ? ? AB 3 BC



?△DBA ∽△ ABC ,??ADB ? ?BAC ? 90? ,即 AD ? BC .


A1 A ? AD ? A ,? BC ? 平面 A1 AD ,

? BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
(Ⅱ)如图,作 由已知得

AE ? C1C 交 C1C 于 E 点,连接 BE ,

AB ? 平面 ACC1 A1 .
A1 C1 E A F C

? AE

是 BE 在面

ACC1 A1 内的射影. ? CC1 ,

B1

由三垂线定理知 BE

? ?AEB 为二面角 A ? CC1 ? B 的平面角.
过 C1 作 C1F 则 CF

D B (第 19 题, 解法一)

? AC 交 AC 于 F

点,

? AC ? AF ? 1 , C1F ? A1 A ? 3 ,

??C1CF ? 60? .
在 Rt△ AEC 中,

AE ? AC sin 60? ? 2 ?

3 ? 3. 2

在 Rt△BAE 中, tan

AEB ?

AB 2 6 . ? ? AE 3 3
z A1 C1

??AEB ? arctan

6 , 3 6 . 3
x

B1

即二面角

A ? CC1 ? B 为 arctan

A B D C y

(第 19 题,解法二)

解法二: (Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系, 则

A(0, 0,, 0) B( 2, 0,, 0) C(0, 2,, 0) A1(0, 0,3),C1(01 , ,3) ,

??? ? 1 ??? ? ? BD : DC ? 1: 2 ,? BD ? BC . 3
? D 点坐标为 ?

?2 2 2 ? , 0?. ? 3 , 3 ? ? ?

? ???? ???? ? 2 2 2 ? ??? , BC ? (? 2, , , 0 2 ,, 0) AA1 ? (0, 0,3) . ? AD ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? BC?AA1 ? 0 , BC ?AD ? 0 ,? BC ? AA1 , BC ? AD ,又 A1 A ? AD ? A ,
? BC ? 平面 A1 AD ,又 BC ? 平面 BCC1B1 ,? 平面 A1 AD ? 平面 BCC1B1 .
(Ⅱ)? BA ? 平面

??? ? ACC1 A1 ,取 m ? AB ? ( 2, 0, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量,

设平面 BCC1B1 的法向量为 n ? (l,m,n) ,则 BC? n ? 0, CC1 ? n?0.

??? ?

???? ?

?? 2l ? 2m ? 0, 3 ? ?? ?l ? 2m,n ? m, 3 ? m ? 3 n ? 0 , ? ?
如图,可取 m

? 3? ? 1 ,则 n ? ? 2, ? 1,3 ? ?, ? ?

cos ? m,n ??

2 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 ?
2 2 2 2

3 3
2 2

? 3? ( 2) ? 0 ? 0 ? ( 2) ? 1 ? ? ? ? 3 ?
15 5


?

15 , 5

即二面角

A ? CC1 ? B 为 arccos

8. 在 ?ABC 中 ,M 是 BC 的中 点, AM=1, 点 P 在 AM 上且 满足学 AP ? 2PM , 则科 网

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? ??? ? PA ? ( PB ? PC) 等于
(A) ?
答案:A

4 9

(B) ?

4 3

(C)

4 3

(D)

4 9

??? ? ???? ? 解析: PA ? 2 PM ? P是AM的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 2 ???? ? ?2 2 ???? 4 ???? 4 PA ? ( PB ? PC ) ? PA ? PH ? (? AM )? AM ? ? ?AM ? ? 3 3 9 9
A 15.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ? 2 ,A、B 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为
答案:

O1 B O

? 2

2? ,则 ?AO1B = 3

.

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 A B C? 1 AB 1 C 1中 , AB=1 , A1 C1

AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 .
(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小。 解(1) (2)?二面角A ? AC 的大小为arccos 1 ? BD
如图,在直三棱柱 (Ⅰ)证明:

B1

A

C

15 5

B

ABC ? A1B1C1 中,

AB=1, AC

? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 .

; AB ? AC 1

(Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

18.(本小题满分 12 分) 解答一(1)证:

? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,

? AB ? AA1


?ABC

中 ,

AB ?1 , A C ?

0 , 由 3? , A B? C 6 0

正 弦 定 理

?ACB ? 300 ??BAC ? 900 即AB ? AC

AB ? 平面ACC1 A1 ,又 AC ? 平面 ACC1 A1 即AB ? AC 1 1
(2)解如图,作

AD ? AC 1 于点 D 点,连结 BD, 1 交 AC AC 1

由三垂线定理知 BD ?

? ? ADB 为二面角 A ? AC1 ? B 的平面角
在 Rt ?AAC 1 中,AD ?

AA1 ? AC 3? 3 6 ? ? AC 2 6 1

Rt ?BAD中,tanADB= ??ADB=arctan

AB 6 ? AD 3

6 6 ,即二面角A ? AC1 ? B的大小为arctan 3 3

解答二(1)证? 三棱柱

ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,

? AB ? AA1,AC ? AA1
Rt ?ABC , AB ? 1, AC ? 3, ?ABC ? 600 ,
由正弦定理 ?ACB

? 300
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

??BAC ? 900 即AB ? AC
如图,建立空间直角坐标系,

A( 0 , 0 , 0B ) , (1, C 0 , 0 ) ( 0 ,1A 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) ??? ? ???? ? AB ? (1, 0, 0), A1C ? (0, 3, 3) ??? ? ???? ? AB ? A1C ? 1*0 ? 0* 3 ? 0*(? 3) ? 0 ? AB ? A1C ??? ? (2) 解,如图可取 m ? AB ? (1,0,0) 为平面 AAC 的法向量 1
则 设平面

A1BC 的法向量为 n ? (l , m, n) ,

则 BC ? n ? 0, AC (?1 ,3, 0) 1 ? n ? 0, 又BC ?

??? ?

????

??? ?

??l ? 3m ? 0 ? ?? ? l ? 3m, n ? m 3 m ? 3 n ? 0 ? ?
不妨取 m ? 1, 则n ? (

3,1,1)

cos ? m, n ??

m?n 3 ? 1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 ? ? m?n 5 ( 3) 2 ? 12 ? 12 ? 12 ? 02 ? 02
15 5

?二面角A ? AC 的大小为arccos 1 ? BD

1 8.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2 ,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (Ⅰ)证明:PC ⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 解 (Ⅰ) (II)平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.
解法一: (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空

间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD= 2

2 ,四边形 ABCD 是矩形. 2 2 ,0),D(0, 2 2 ,0),P(0,0,2),

∴A,B,C,D,P 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 又 E,F 分别是 AD ,PC 的中点, ∴E(0,

2 ,0),F(1, 2 ,1).
??? ? ??? ? 2 ,-2) BF =(-1, 2 ,1) EF =(1,0, 1) ,

∴ PC =(2, 2

??? ?

∴ PC ·BF =-2+4-2=0, PC ·EF =2+0-2=0, ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF , ∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F, ∴PC⊥平面 B EF, (II)由(I)知平面 BEF 的法向量 n1 平面 BAP 的法向量 n2 ∴ n1 ? n2 则 cos ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? PC ? (2,2 2, ?2) ,

???? ? AD ? (0, 2 2,0) ,

? 8.

设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ ,

? cos( n1 , n2 ) ?

n1 ?n2 8 2 ? ? n1 n2 4 ? 2 2 2

,

∴ θ=45°, ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.

解法二

(I)连接 PE,EC 在 Rt ?PAE 和 Rt ?CDE 中.

PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 BP ? ∴

AP2 ? AB2 ? 2 2 ? BC ,F 是 PC

的中点,

BF⊥PC.

又 BF

? EF ? F ,∴ PC ? 平面BEF .

(II)∵ PA ? 平面ABCD, ∴ PA ? 又 ABCD 是矩形,∴AB ? BC ∴BC ? 平面 BAP,B C ? PB, 又由(Ⅰ)知 PC ? 平面 BEF,

BC ,

∴ 直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平面 BAP 的夹角, 在 ?PBC 中, PB ?

BC, ?PBC ? 90?, ∴ ?PCB ? 45?.

所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45°.

16. (本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC= 60? ,∠BAC ? 90? ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使 ∠BDC ? 90 .
?

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2) 设 E 为 BC 的中点, 求 AE 与 DB 夹 角的余弦值. 【解】 (1) (2)余弦值是

??? ?

??? ?

22 . 22

【解】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后, AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC

? D ,∴AD⊥平面 BDC,

∵AD ? 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由∠BDC ? 90 及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设|DB|=1,以 D 为坐标原点,以 DB , DC ,
?

??? ?

????

??? ? DA 所在直线为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得:

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, 所以

3 ),E(

??? ? 1 3 ??? ? AE ? ( , , ? 3) , DB ? (1,0,0) , 2 2

1 3 , 2 2

,0),

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ?DB ∴ cos ? AE , DB ?? ??? ? ??? ? ? AE ? DB

1 2 1? 22 4

?

22 22

所以

??? ? ??? ? 22 AE 与 DB 夹角的余弦值是 22



高中数学专题八
基本不等式
●考试目标 1.若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号.? 2.设 a,b∈R+,则称

不等式

a?b 为 a,b 的算术平均值;称 ab 为 a,b 的几何平均值. 2

3.平均值不等式的原形与变形? ①

a?b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取等号)为原形. 2

②变形有:a+b≥ 2 ab ;ab≤ ?

?a?b? ? ,当且仅当 a=b 时取等号.? ? 2 ?

2

4.利用平均值不等式求最大最小值,是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况. 5.最值定理? 如果 a,b∈R+,a?b=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;?

如果 a,b∈R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值

S2 . 4

6. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) :
a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 a = b 时取等) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

特别地, ab ? (

a ? b 2 a 2 ?b 2 a ? b 2 a 2 ?b 2 (当 a = b 时, ( ) ? ) ? ? ab ) 2 2 2 2

不 等 式 知识要点
1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) :

a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 a = b 时取等) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b
特别地, ab ? (

a ? b 2 a 2 ?b 2 a ? b 2 a 2 ?b 2 (当 a = b 时, ( ) ? ) ? ? ab ) 2 2 2 2

例 1.数轴穿根法:不等式

( x 2 ? 3x ? 2)(x ? 4) 2 ) ? 0 的解为( x?3 A.-1<x≤1 或 x≥2 B.x<-3 或 1≤x≤2 C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2 D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2

求定义域的时候不要写成并集;分子分母同时约去一项前必须先保证约去的一项不为零

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 ?a ? 0? 9

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进 行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式 组的解集求并集,得出原不等式的解集。 解:当 x ? a时,不等式可转化为 ?

?x ? a

?x ? a 即? 2 2 ?9 x? x ? a ? ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0
2

?a ? x ?

3 ? 17 a b

?x ? a ?x ? a 当x ? a时不等式可化为 ? 即 ? 2 2 2 ?ax (a ? x) ? 2a ?9 x ? 9ax ? 2a ? 0

?x ?

a 2a 或 ?x?a 3 3 a 3

故不等式的解集为 (??,

? ? ? 2a , 3 ?
?3

?

17 ? a? 。 6 ?

根的分布你还记得吗 ? 例 3. 己知三个不等式:① 2x ? 4 ? 5 ? x ②

x?2 ? 1 ③ 2 x 2 ? mx ? 1 ? 0 x ? 3x ? 2
2

(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③,求 m 的取值范围; (2)若满足的③ x 值至少满足①和②中的一个,求 m 的取值范围。 分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想,解 本题的关键弄清同时满足①、②的 x 值的满足③的充要条件是: ③对应的方程的两根分别在

?? ?,0?和 ?3,??) 内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系,在解
决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。 解:记①的解集为 A,②的解集为 B,③的解集为 C。 解①得 A=(-1,3) ;解②得 B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) (1) 因同时满足①、②的 x 值也满足③,A ? B ? C
2

设 f ( x) ? 2 x ? mx ? 1,由 f ( x) 的图象可知:方程的小根小于 0,大根大于或等于 3 时, 即可满足 A ? B ?? ? (2)

? f (0) ? 0 ?? 1 ? 0 17 即? ?m ? ? 3 ? f (3) ? 0 ?3m ? 17 ? 0

因满足③的 x 值至少满足①和②中的一个,?C ? A ? B, 而A ? B ? (?1,4 ?因此

C ? (?1,4 ?? 方程2x 2 ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而
? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 4 ? m ? ?1 ? ? ? 4 ? 4 ?

说明:同时满足①②的 x 值满足③的充要条件是:③对应的方程 2x +mx-1=0 的两根分别在 (-∞, 0)和[3, +∞)内, 因此有 f(0)<0 且 f(3)≤0, 否则不能对 A∩B 中的所有 x 值满足条件. 不 等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的, 在解决问题的过程中, 要适时

2

地联系它们之间的内在关系. 例 6.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所 以应先将 f(x)的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2)的 不等式(组),即可求解. 解:因为 y=f(x)的图象经过原点,所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是

解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(Ⅰ)变形得

(Ⅰ)所以 f(-2)的取值范围是[6,10]. 解法二(数形结合)

建立直角坐标系 aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,如图 6 中的阴影部分.因为 f(-2)=4a-2b,所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为 2 的直线系.如图 6,当直线 4a-2b-f(-2)=0 过点 A(2,1),B(3,1)时,分别取得 f(-2)的最小值 6,最大值 10.即 f(-2)的取值范围是:6≤f(-2) ≤10. 解法三(利用方程的思想)

又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3≤3f(-1)≤6. ① ②

①+②得 4≤3f(-1)+f(1)≤10,即 6≤f(-2)≤10. 说明:(1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:

2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以 5≤f(-2)≤11. 常见题型:

a b 例 1.已知 a, b, x, y ? R? ( a , b 为常数) , ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y

例 2.已知 x, y ? R ? ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求 x ? y 的最小值. 例 3.当 n ? 2 时,求证: logn (n ?1)logn (n ? 1) ? 1 . 例 4. 在某两个正数 x , y 之间插入一个正数 a ,使 x, a, y 成等比数列;若另外插 入两个正数 b, c ,使 x, b, c, y 成等差数列,求证: (a ? 1)2 ? (b ? 1)(c ? 1) .
大家来挑错!

(1)求函数 y ? x ?

4 的值域 x

分析:结合上一系列题目中的(5)-(7)题可知,本题的解答忽略了对基本不等式使用时 必须是正数这一点注意事项。

4 的最小值 a ?3 4 4 4 4 解: ? a ? 3,? a ? 3 ? 0,? a ? ? 2 a? ,当a ? ,即a ? 4时, a ? 取得最小值为8 a ?3 a ?3 a ?3 a ?3 (2)已知 a ? 3, 求a ?
本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件, 只是盲目的套用基本不等式的形式, 导 致所得结果并不是最小的值。 提醒同学注意:在使用基本不等式求最值为题时,式中的积或和必须是定值。

4 ? 其中 ? ? (0, ]的最小值 sin ? 2 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? ? 4 ?函数的最小值为 4。 sin ? sin ? (3)求函数 y ? sin ? ?
本题的解答没有注意 sin ? 本身的限制,使得基本不等式的等号无法取得。 提醒同学注意:最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得,在什么情况下取得

(x+y)(

1 a a ? )≥ 2 xy ? 2 ? 4 a ≥9. (想一想错在何处?) x y xy

例4 (2007 山东卷) 函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在 直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为_______. m n

【思路点拨】先用恒过定点这一条件建立一个关系式, 再用均值不等式求最值. 【解析】∵函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A(?2, ?1) , ∴ (?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 ,即 2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,



1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n

【点评】本题是用函数、方程作为隐性条件建立等量关系式,利用均值不等式求最值的 问题.题目小巧而灵活多变,是立意很好的题目.

含绝对值的不等式解法
(一)主要知识: 1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点 间的距离 2.当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c ,

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ;
当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ? ? . (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.

(三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) 4 ? | 2 x ? 3 |? 7 ; (2) | x ? 2 |? | x ? 1| ; (3) | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 . 解: ( 1 ) 原 不 等 式 可 化 为 4 ? 2 x ? 3 ? 7 或 ?7 ? 2 x ? 3 ? ?4 , ∴ 原 不 等 式 解 集 为

1 7 [?2, ? ) ? ( ,5] . 2 2
(2)原不等式可化为 ( x ? 2)2 ? ( x ? 1)2 ,即 x ? (3)当 x ? ? 当?

1 1 ,∴原不等式解集为 [ , ??) . 2 2

1 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? ?1 ,此时 x ? ?1 ; 2

1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,∴ x ? 1 ,此时 1 ? x ? 2 ; 2 5 当 x ? 2 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,∴ x ? ,此时 x ? 2 . 3
综上可得:原不等式的解集为 (??, ?1) ? (1, ??) .

例 2. (1)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ??,3) ; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, ??) . 解: ( 1 )可由绝对值的几何意义或 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 的图象或者绝对值不等式的性质

| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1| ? | 2 ? x |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3 得 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 3 ,∴ a ? 3 ;
(2)与(1)同理可得 | x ? 1| ? | x ? 3|? 4 ,∴ a ? 4 .

●题型示例 点津归纳? 【例 1】 设 x∈[2,5),求下列函数的最值.? (1)y=(3+2x)?(6-x); (2)y=(3+2x)?(4-x);? (3)y=4x-9?2x+1+80;?

(4)y=

x2 ? 7 x2 ? 6

.?

【例 2】

已知:x、y、z∈R+,且满足 x+y+z=1,求

1 4 9 ? ? 的取值范围. x y z

不 等 式 基础练习
例 1.数轴穿根法:不等式

( x 2 ? 3x ? 2)(x ? 4) 2 ) ? 0 的解为( x?3 A.-1<x≤1 或 x≥2 B.x<-3 或 1≤x≤2 C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2 D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2

求定义域的时候不要写成并集;分子分母同时约去一项前必须先保证约去的一项不为零

例 2.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 ?a ? 0? 9

例 3.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 解法一(利用基本不等式的性质) 解法二(数形结合)

解法三(利用方程的思想)

常见题型:

a b 例 1.已知 a, b, x, y ? R? ( a , b 为常数) , ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y

例 2.已知 x, y ? R ? ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求 x ? y 的最小值. 例 3.当 n ? 2 时,求证: logn (n ?1)logn (n ? 1) ? 1 .

例 4. 在某两个正数 x , y 之间插入一个正数 a ,使 x, a, y 成等比数列;若另外插 入两个正数 b, c ,使 x, b, c, y 成等差数列,求证: (a ? 1)2 ? (b ? 1)(c ? 1) .

(1)求函数 y ? x ?

4 的值域 x

(2)已知 a ? 3, 求a ?

4 的最小值 a ?3

(3)求函数 y ? sin ? ?

4 ? 其中 ? ? (0, ]的最小值 sin ? 2

例 4(2007 山东卷)函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为_______. m n

含绝对值的不等式解法
(一)主要知识: 1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点 间的距离 2.当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c ,

| ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c ;
当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? x ? R , | ax ? b |? c ? x ? ? .

(二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法: | x |? a (a ? 0) ? ?a ? x ? a , | x |? a (a ? 0) ? x ? a 或 x ? ?a . (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.

(三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) 4 ? | 2 x ? 3 |? 7 ; (2) | x ? 2 |? | x ? 1| ; (3) | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 .

例 2. (1)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ??,3) ; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是 (4, ??) .

高中数学专题九
概率部分知识点 ? ?

概率

事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件 ② 用?和?分别表示必然事件和不 A和B互斥, 则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

?

古典概率(Classical probability model) :① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P ? A? ? n

?

几何概型(geomegtric probability model) :一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的 可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

, 则 P?AB? ? P? A?P?B? , ?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件
若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件 , 则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ?

, 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生,但不 说明:① 若 A , B 为互斥事件
可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件, 但最多只有一个发生,可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而 两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 , 而两个互 斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦

一般地,如果

A1 , A2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,..., An 中至少发生一个

?例题选讲: 新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例 题解析 ? ?
事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个 常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是 一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率 的近似值

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件 ② 用?和?分别表示必然事件和不 A和B互斥, 则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

?

古典概率(Classical probability model) :① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P ? A? ? n

?

几何概型(geomegtric probability model) :一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何

部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件 , 则 P?AB? ? P? A?P?B? ,
若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件 , 则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? 颜老师说明: ① 若 A , B 为互斥事件 , 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生, 但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件, 而且必须有一个发生, 而互斥事件可能指的很多事 件, 但最多只有一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集, 但两个对立事件的并集是全集 , 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 , 而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦

一般地,如果

A1 , A2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,..., An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型 的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课 标试验教科书-苏教版)的例题

?例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5)

? 2

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15

? ?

14 . 15 6?5 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 2
答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

取 2 个球至少有 1 个是红球”, 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? 所以 P ? A? ?

4?3 ? 14 2

14 15
14 . 15

答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为

解法 3: (独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取 2 个球至 少有 1 个是红球” ,事件 A 有三种可能的情况:1 红 1 白;1 白 1 红;2 红,对应的概率分 别为:

4 2 2 4 4 3 14 ? ? ? ? ? ? 6 5 6 5 6 5 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15 P ? A? ?

4 2 2 4 4 3 ? , ? , ? , 则有 6 5 6 5 6 5

评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用 不同的方法,但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个, 求至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ?PA ? 3 ? 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有 4?3 16 4 2 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ? ? 16 , 所以 P? A? ? ? 2 20 5 4 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 5 解法 3: (独立事件概率)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则事件 A 的
3 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ?

情况如下: 红 白 白 1红2白 白 白 红 白 红 白 红 红 白 2红1白 红 白 红

2 4 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 3 2 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 2 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 2 1 4 1 ? ? ? 6 5 4 15 2 4 1 1 ? ? ? 6 5 4 15

所以

4 2 1 1 ? ? ? 6 5 4 15 1 1 4 P ? A? ? 3 ? ? 3 ? ? 5 15 5
白 红 红

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次 抽取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”

2 4 4 2 4 4? 2 ? 2? 4 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6 6 6 6 9 6?6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? (2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P31 P31 3 ? 3 3 ? ? ? ? 或者 P A ? ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P62 ? ? ? P32 1 ? 1 4 ? ? 或者P B ? P 2 ? 5 ? ? 则 P ?B ? ? 1 ? P B ? 1 ? 5 ? 5 6 ? ?

3 2 1 (2) P B ? ? ? 6 5 5

??

??

??

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

3 4 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 10 5

变式训练 4:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放 回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率? 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球 略解: P? A? ?

3 2 2 3 3 ? 6 3? ? ? ? ? ? 或者 P? A? ? 2 ? ? ? 5 4 5 4 5 ? C5 5 ? ?

变式训练 5:设盒子中有 6 个球,其中 4 个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回, 若连续抽两次,则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少? 略解: P? A? ?

4 2 2 4 4? 2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9

例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长 宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时,物品会 失效, 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 (不考虑落在正方形区域范围之 外的) ,求发放急救物品无效的概率?

【分析】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量 解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为 1 千米的正方形为区域 D ,事件 “发放急救物品无效”为 A ,距离水池 10 米范围为区域 d ,即为图中的阴影部分, 则 有 P? A? ?

d 测度 D测度

?

80 ? 50 ? 2 ? 80 ? 10 ? 2 ? 50 ? 10 ? 4 ? 1000? 1000

? ?10?2
4

答:略 颜老师说明:这种题目要看清题目意思,为了利用 几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件,但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入另外一个网格,分析是同样的 变式训练 1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚 硬币的直径的 2 倍, 向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计, 求硬币完全落在正 方形内的概率? 略解: P? A? ?

d 测度 D测度

?

22 4 ? 2 2 32 ? ? 4 ? 4 ? 1? 4 ? ? 1

变式训练 2:如图,设有一个正方形网格,其中每个小正三角形的边长都是 a , 现有一直径 等于 a 的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?

2

【分析】因为圆的位置由圆心确定,所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解:如图,正三角形 ABC 内有一正三角形 A1 B1C1 ,其中

AB ? a , A1 D ? B1 E ? A1 F ?
?

AD 1 a , AD ? BE ? 1 6 tan30 ?

? 3 3? 3 ?a a?? 1? a ,? A 1 B1 ? AB ? 2 AD ? a ? ? ? 3 3 6 ? ?

C

当圆心落在三角形 A1 B1C1 之外时,硬币与网格有公共点

C1

? 有公共点的概率 P ?

S?ABC - S?A1B1C1 S ?A1B1C1
A

F

A1 D a

a/6

B1 E B

3 2 3? 3? 2 ?1 ? ? a a ? ? 4 4 ? 3 ? ? ? ? 0.82 3 2 a 4
答:硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 . 变 式 训 练 3 : 如 图 , 已 知 矩 形 ABCD 中 , AB ? 5 , AC ? 7 , 在正方形内

2

任取一点P , 求 ?APB ? 90? 的概率?
1 ?5? ?? ? 5? 2 ?2? 略解: P? A? ? ? 5? 7 56
变式训练 4:平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率? 解:设事件 A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 OM ,垂足 为 M , 线段 OM 的长度的取值范围为 ? 0 , a
2

A

B

P

D

C

M

?

,其长度就是 2a
r

几何概型所有的可能性构成的区域 D 的几何测度,只有当

0 ? OM ? a 时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满足 事件 A 的区域 d 的几何测度,所以
P? A? ?

?r, a?的长度 ? a ? r ?0, a?的长度 a
a?r a

答:硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

【评价与链接】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域 D 和区域 d ,理解它 们的关系以及它们的测度如何来刻画。 蒲丰投针问题:平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为 2 a ( a ? 0 ) , 向平面内任意的投掷一枚长为 l

?l

? 2a ? 的针,求针与平行线相交的概率?

解:以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以 ? 表示针与此直线的交角,如图 易知 0 ? x ? a , 0 ? ? ? ? ,有这两式可以确定 x - ? 平面上的一个矩形 ? ,这是 为了针与平行线相交,其充要条件为 x ?

l Sin? ,有这个不等式表示的区域 A 为图中的 2

阴影部分,由等可能性知

P ? A? ?

SA ? S?

?

?

0

l S i? n d? l 2 ? ? ?a ?a

2a

如果 l , a 已知, 则以?值代入上式即可计算 P? A?的值 , 反过来, 如果已知P? A?的值,

则也可以利用上式来求 ? ,而关于 P? A? 的值,则可以用实验的方法,用频率去近似它,
既: 如果 投针 N 次,其中平行线相交的次数为 n 次,则频率为

n N

,于是,

P ? A? ?

l

?a

?

n lN 于是 , ? ? N a n

注释: 这也是历史上有名的问题之一, 用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出 概率,再用频率近似概率来建立等式,进而求出 ? . 在历史上有好多的数学家用不同的方法 来计算 ? ,如中国的祖冲之父子俩,还有撒豆试验,也是可以用来求 ? 的. 会面问题:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时 即可离去,求两人能会面的概率? 解:设“两人能会面”为事件 A ,以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充 要条件为: x ? y ? 15 在平面上建立如图所示的 坐标系,则 ? x, y ? 的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示,

S A 602 ? 452 7 由几何概型知, P? A? ? ? ? 2 S? 16 60
答:两人能会面的概率

7 . 16

◆ 课本上一道例题的变式训练:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一 点 M ,求 AM ? AC 的概率? 【分析】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域

D ,当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM ? AC ,故线段

AC ' 即为区域 d
' 解: 在 AB 上截取 AC ? AC ,于是

AC ' AC 2 P( AM ? AC) ? P AM ? AC ? ? ? AB AB 2
'

?

?

答: AM ? AC 的概率为

2 2

【变式训练】如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ?ACB 内部任意作一条射线 CM ,与 线段 AB 交于点 M ,求 AM ? AC 的概率?

CB 内部任意作一条射线 CM , 错解: 在 AB 上截取 AC ' ? AC , 在 ?A 满足条件的 M 看
作是在线段 AC ' 上任取一点 M ,则有

AC ' AC 2 P( AM ? AC) ? P AM ? AC ? ? ? AB AB 2
'

?

?

【分析】这种解法看似很有道理,但仔细一看值得深思,我们再看看题目的条件已经发生了 改变,虽然在线段上取点是等可能的,但过和任取得一点所作的射线是均匀的,所以不能把 等可能的取点看作是等可能的取射线,在确定基本事件时一定要注意观察角度, 注意基本 事件的等可能性. 正解: 在 ?ACB 内的射线是均匀分布的, 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的, 在 AB

67 .5 ? 0.75 90 评价:这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度,确定区域 D 和 d ,求出其测度,
' ' 上截取 AC ? AC ,则 ?ACC ? 67.5? ,故满足条件的概率为

再利用几何概型来求概率. 例3. 利用随机模拟法计算曲线 y ? x 2 , y ? 0, 和x ? 2 所围成的图形的面积.
2

【分析】在直角坐标系中作出长方形( y ? x , y ? 0, y ? 4, x ? 2 所围成的部分,用随机 模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值) 解: (1)利用计算机或者计算器生成两组 0 到 1 区间上 的随机数, a0 ? rand, b0 ? rand (2)进行平移变换: a ? 2a0 , b ? 4b0 ,其中 a , b 分 别随机点的横坐标和纵坐标 (3)假如作 N 次试验,数处落在阴影部分的点数 N1 , 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由

S N1 ? 8 N

得出

S ?8

N1 ? 2.7 N

评价:这是一种用计算机模拟试验的方法,结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积,其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验,只是用随机数来代替豆子而已,另外要求我们理解用试 验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分,还可以有下面的解法:

S ? ? x 2 dx ?
0

2

x3 3

2 0

? 2.7

例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率?

例 2:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后不放回, 求(1)甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率?(2)求至少 1 人抽到选择题的概率?

例 3:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率?

例 4. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长 宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时,物品会 失效, 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 (不考虑落在正方形区域范围之 外的) ,求发放急救物品无效的概率?

例 5: 如图, 设有一个正方形网格, 其中每个小正三角形的边长都是 a , 现有一直径等于 a 的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?

2
C

C1

F

A1

a/6 a

B1 E B

.

A

D

例 6: 如图, 在等腰直角三角形 ABC 中, 在斜边 AB 上任取一点 M , 求 AM ? AC 的概率?

例 7、利用随机模拟法计算曲线 y ? x 2 , y ? 0, 和x ? 2 所围成的图形的面积.

期望、方差、正态分布
期望、方差知识回顾:
1.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

P

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 2.期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 3.若 ? ~ B ( n, p ) ,则 E? = np

为 ξ 的数学期望,简称期望.

王新敞
奎屯

新疆

4.方差: D ? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +?. 5.标准差: D ? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? . 6.方差的性质: D(a? ? b) ? a D? ;
2

若 ? ~ B ( n, p ),则 D? ? np(1 ? p)

正态分布知识回顾:
1.若总体密度曲线就是或近似地是函数 f ( x ) ?
2

1 2? ?

e

?

( x ? ? )2 2? 2

, x ? R 的图象,则其分布

叫正态分布,常记作 N (?, ? ) . f ( x) 的图象称为正态曲线.

三条正态曲线:① ? ? 1, ? ? 0.5 ;② ? ? 0, ? ? 1 ;③ ? ? 1, ? ? 2 ,其图象如下图所 示:

观察以上三条正态曲线,得以下性质: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x ? ? 对称,且在 x ? ? 时位于最高点. ③当 x ? ? 时,曲线上升;当 x ? ? 时,曲 线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸 时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定.? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分 散; ? 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中. 注 意 : 当 ? ? 0, ? ? 1 时 , 正 态 总 体 称 为 标 准 正 态 总 体 , 相 应 的 函 数 表 示 式 是

1 ? x2 f ( x) ? e , x ? R .相应的曲线称为标准正态曲线. 2?
2. 正态总体的概率密度函数: f ( x) ? 体的平均数(期望值)与标准差;
x ? 1 当 ? ? 0 时得到标准正态分布密度函数: f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6
2

2

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? R, 式中 ? , ? 是参数,分别表示总

3.正态曲线的性质: ① 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ② 曲线是单峰的,关于直线 x= ? 对称; ③ 曲线在 x= ? 处达到峰值

1

? 2?



④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1; 4. ? , ? 是参数 ? , ? 是参数的意义: ① 当 ? 一定时,曲线随 ? 质的变化沿 x 轴平移; ② 当 ? 一定时,曲线形状由 ? 确定:? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体分布越集中; ,表示总体分布越分散。 ? 越小,曲线越“高瘦”

5.对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ? x ? ? ? ?

? x?? ? ?. ? ? ?

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ?
? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?

典型例题:
18.(本小题满分 12 分) 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被 淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
4 3 2 、 、 ,且各轮问 5 5 5

题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ ,求随机变量ξ 的分布列与数数期望.(注: 本小题结果可用分数表示)
则 P ( A1 ) ? Ai (i ? 1, 2, 3) ,

解法一: (Ⅰ) 记 “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 的事件为

4 3 P ( A2 ) ? , , 5 5

P ( A3 ) ?

? 该选手被淘汰的概率

2 , 5

P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125 ? 1) ? P( A1 ) ?

, 2, 3 , P(? (Ⅱ) ? 的可能值为 1

1 , 5 4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? , 5 5 25 4 3 12 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? . 5 5 25

? ? 的分布列为

?

1

2

3

P

1 5

8 25

12 25

1 8 12 57 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 25 25 25

解法二: (Ⅰ) 记 “该选手能正确回答第 i 轮的问题” 的事件为

则 P ( A1 ) ? Ai (i ? 1, 2, 3) ,

4 3 P ( A2 ) ? , , 5 5

P ( A3 ) ?

2 . 5

? 该选手被淘汰的概率 P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
4 3 2 101 ? 1? ? ? ? . 5 5 5 125
(Ⅱ)同解法一.

18. (本小题满分 12 分) 某射击测试规则为:每人最多射 击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标 得

1 ~ i (i ? 1, 2, 3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其
各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.
解. (Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为

Ai (i ? 1, 2, 3) ,则 P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2 ,

P( Ai Ai ) ? P( Ai )P( Ai ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 .
(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3.

? 的分布列为
0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8

?
P

E? ? 0 ? 0.008 ?1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3? 0.8 ? 2.752 .

19.(本小题满分 12 分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分布如 下:

?
p (Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0 0.1

1 0.3

2 2a

3 a

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消

费者投诉 2 次的概率。
,解(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,解答 a=0.2

? ? 的概率分布为

?
P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

? E? ? 0*0.1 ? 1*0.3 ? 2*0.4 ? 3*0.2 ? 1.7
(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A 1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次,另外一个月 被投诉 0 次” ;事件

A2 表示“两个月内每月均被投诉 12 次”

则由事件的独立性得
1 P( A1 ) ? C2 P(? ? 0) ? 2*0.4*0.1 ? 0.08

P( A2 ) ? [ P(? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17

20. 如图,A 地到火车站共有路径两条 L1 和 L2 ,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在个时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60

L1 的频率 L2 的频率

0.1
0

0.2 0.1

0.3 0.4

0.2 0.4

0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望 .

20.(本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗间统计结口, 假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且都 是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (Ⅱ) 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 的分布列及数学期望.

高中数学专题十
各类方法数相加。

排列组合

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于
2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相 乘。

二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
m 列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 An .

公式:
m 1. An ? n?n ? 1??n ? 2????n ? m ? 1? ?

n! ?n ? m?!

2.

规定:0! ? 1

(1) n! ? n ? (n ? 1)!,(n ? 1) ? n! ? (n ? 1)! (2) n ? n! ? [(n ? 1) ? 1] ? n! ? (n ? 1) ? n!? n! ? (n ? 1)!? n! ; (3)

n n ?1 ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不 同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1.


A A
m n m m


? n! m!? n ? m?!
m?1 m 0 1 n ? Cn ?? Cn ? 2n ?1,Cn ? Cn ? ?



Cm n ?

?
0 n

n? n ? 1??? ? n ? m ? 1? m!
m n ?m m

规定:C ? 1
2.组合数性质: Cn ? Cn ,Cn ? Cn
① ;②

;③

;④

r r r ?1 r r r r r ?1 r r r r ?1 ② 注:Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ?Cn ?1 ? Cn ? Cr ?1 ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ?Cn?1 ? Cn ? Cr ?2 ? Cr ?2 ? ?Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1

m1 m2 若 Cn ? Cn 则m1 =m2或m1 +m2 ? n

四、二项式定理可以用以下公式表示:

其中,

又有

等记法,称为二项式系数,即取的组合数目。

五.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序 还是无序 ③分步还是分类。

3.排列应用题: (1)穷举法(列举法) (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3)相邻问题:捆邦法: (4)隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公 益广告, 要求首尾必须播放公益广告, 则共有 种不同的播放方式 (结 果用数值表示). 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A22 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A44 种,从而应当填 A22?A44=48. 从而应填 48. 例 2.6 人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?

例 3.有 4 个男生, 3 个女生, 高矮互不相等, 现将他们排成一行, 要求从左到右, 女生从矮到高排列,有多少种排法? . 例 4.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲型和乙型电视机 各一台,则不同的取法共有

例 5.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 (1)如果 4 人中男生 和女生各选 2 人, 有 种选法; (2) 如果男生中的甲与女生中的乙必须在内, 有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法; (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有 种选法 分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的 差异,所以是组合问题.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

高考练习
1. 6 个人分乘两辆不同的汽车, 每辆车最多坐 4 人, 则不同的乘车方法数为( A.40 B.50 C.60 D.70 [解析] 选 B. )

2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 ( ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 [解析] 选 C. 3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一 数字不能相邻出现,这样的四位数有( )

A.6 个 B.9 个 [解析] 18 个.

C.18 个

D.36 个

4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同 的选法,其中女生有( ) A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人 [解析] 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两 级,若规定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( ) A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 [解析] 28 种 6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语 翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部 门,则不同的分配方案共有( ) A.24 种 B.36 种 C.38 种 D.108 种 [解析] 36(种). 7.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构 成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 [解析] 选 A. 8.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的 个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144 [解析] 108 个. 9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只 安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的 安排方法有( ) A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210 种 [解析]选 C. 10.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙 二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字 作答) [解析] 2400(种). 11.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成 一列有________种不同的排法.(用数字作答) [解析] 1260(种)

12.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会 的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). [解析] 1 080 种. 13. 要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相邻区域 不同色,有________种不同的种法(用数字作答). [解析] 72 种. 14. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信 封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 【解析】选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天, 若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 [解析]: 1008 种

高中数学专题十一
二、圆的方程
(1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2



1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图 形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程,
2 2 2 2

需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离, 相切, 相交三种情况, 基本上由下列两种方法判断: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到
A ?B

l



距 离 为 d ? Aa ? Bb ? C , 则 有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; 2 2
d ? r ? l与C相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,先将方程联立消元, 得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 x0 , y0 表示切点坐标,r 表示半径。

?

?

? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题,其中

(3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课 本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 (4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

高考练习
2.过点 A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线 x+y-2 = 0 上的圆的方程是 ( A.(x-3) 2+(y+1) 2 = 4 C.(x-1) 2+(y-1) 2 = 4 B.(x+3) 2+(y-1) 2 = 4 D.(x+1) 2+(y+1) 2 = 4 )

14.由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的轨迹方程为 .

(3)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为( ) (A) 8 2? (B) 8? (C) 4 2? (D) 4?

( ? 2, 0) (4)已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值
范围是 ( )

(? 2 2, 2 2) (A)

( ? 2,2) (B)

(C ) (?

2 2 , ) (D) 4 4

(15)?ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则实数 m = ?、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? )

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 ( ) (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

(A) ?4 ? 2 .

11. 已知平面 α 截一球面得圆 M, 过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N. 若 该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 ( A.7 ? B.9 ? C.11 ? ) D.13 ?

0


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