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湖北省武汉外国语学校2014届高三押题卷数学(文)试题(word含答案)


武汉外国语学校 2014 届高三(文科)押题卷
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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 M={x| ? ? x ? (A) [?1, ) (C) [0, )

r />
1 2

1 2

1 2

1 },N={x | x2 ≤ x},则 M∩N = 2 1 (B) (? ,1] 2 1 (D) (? , 0] 2

开始

p=1,n=1

n=n+1 p=p+2n?1 否

2.设 a>1>b>0,则下列不等式中正确的是 (A)(-a)7<(-a)9 (B)b- 9<b- 7

1 1 1 1 (D) ? lg ? a b ln a ln b 3.已知 ? ? R , cos? ? 3sin ? ? 5 ,则 tan 2? = 4 3 3 4 (A) (B) (C) ? (D) ? 3 4 4 3
(C) lg 4.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

p>20 ? 是 输出 n 结束 (第 4 题图)

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是 .. (A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? (C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ? 6.已知某锥体的三视图(单位:cm )如图所示, 则该锥体的体积为
俯视图

2 1 2
正视图 侧视图

2

(A)2 cm

3

(B)4 cm

3

(C)6 cm

3

(D)8 cm

3

(第 6 题图)

7.设 a∈ R,数列{(n-a)2}(n∈ N*)是递增数列,则 a 的取值范围是

3 2 8.已知实系数二次函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像均是开口向上的抛物线,且 f ( x ) 和 g ( x) 均有两个不同 的零点.则“ f ( x ) 和 g ( x) 恰有一个共同的零点”是“ f ( x) ? g ( x) 有两个不同的零点”的
(A)a ≤ 0 (B)a < l (C)a ≤ l (D)a < (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

9. 如图,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, a 2 b2 F2, |F1F2|=4, P 是双曲线右支上的一点, F2P 与 y 轴交于点 A, △APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q,若|PQ|=1,则双曲线的离心率是
(A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2

y
A

10. 已知边长都为 1 的正方形 ABCD 与 DCFE 所在的平面互相垂直, 点 P、Q 分别是线段 BC、DE 上的动点(包括端点) ,PQ= 2 .设线 段 PQ 中点的轨迹为?,则? 的长度为 2 ? ? (A)2 (B) (C) (D) 2 2 4
Q
F1

P

O

O x

F2

x

x (第 9 题图)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的 位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.已知复数 z 满足

z?2 = i(其中 i 是虚数单位) ,则 z ? z?2





12.设 z ? 2 x ? 5 y ,其中实数 x, y 满足 6 ? x ? y ? 8 且 ?2 ? x ? y ? 0 ,则 z 的取值范围是 ▲ . 13.已知抛物线 x2 ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线 AB 的方
2

程是 ▲ . 14.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积是 ▲ . 15.在△ ABC 中,∠ C=90?,点 M 满足 BM ? 3MC ,则 sin∠ BAM 的最大值是 ▲ . 16. 已知点 O 是△ ABC 的外接圆圆心, 且 AB=3, AC=4. 若存在非零实数 y, 使得 AO ? xAB ? y AC , ....x、 且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ∠ BAC = ▲ .

17.设集合 Mn ? {S S ?| i1 ? i2 | ? | i3 ? i4 | ?...? | i2n?1 ? i2n |, i1 , i2 ,..., i2n 为 1, 2,..., 2n 的一个排列 } , 记 集 合 M n 中 的 元 素 个 数 为 Card ? Mn ? , 例 如 M1 ? ?1 ?, Card ? M1 ? ? 1 ; M 2 ? ?2, 4? , (2) Card ? M n ? ? ▲ . Card ? M2 ? ? 2 ,则(1) M 3 ? ▲ ;

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
18 . (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 3a sin B ? 5 c,

cos B ?

11 19 . (I)求角 A 的大小; (II)设 BC 边的中点为 D , AD ? ,求 ?ABC 的面积. 14 2

19. (本小题满分 12 分)设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 . 数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
? a n为奇数 (II)设 c n ? ? n , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 P n. ?bn n为偶数

20. (本题满分 13 分)如图所示, PA ⊥ 平面 ABCD , △ ABC 为等边三角形, PA ? AB , AC ⊥CD ,

P

M 为 AC 中点.
(I)证明: BM ∥ 平面 PCD ; (II)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值
A M B C (第 20 题图) D

6 为 ,求二面角 C - PD - M 的正切值. 2

21. (本题满分 14 分)已知椭圆 Γ:

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其右焦点 F 与椭圆 Γ 的左 2 a b 2 3 顶点的距离是 3.两条直线 l1 , l2 交于点 F ,其斜率 k1 , k2 满足 k1k2 ? ? .设 l1 交椭圆 Γ 于 A、C 4
两点, l2 交椭圆 Γ 于 B、D 两点. (I)求椭圆 Γ 的方程;
B y A

(II)写出线段 AC 的长 AC 关于 k1 的函 数表达式,并求四边形 ABCD 面积 S 的最大值.
C (第 21 题图) O F D

x

22. (本题满分 14 分)已知 ? ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ )当 ? ? 2 时,求 f ( x) 的最小值;

? ( x ? 1) ,其中 x ?[1, ??) . x ? ? ?1

(Ⅱ )在函数 y ? ln x 的图像上取点 Pn (n, ln n) (n ? N ? ) ,记线段 PnPn+1 的斜率为 kn ,

Sn ?

1 1 ? ? k1 k2

?

1 .对任意正整数 n,试证明: kn
(ⅱ ) Sn ?

(ⅰ ) Sn ?

n(n ? 2) ; 2

n(3n ? 5) . 6

武汉外国语学校 2014 届高三(文科)押题卷
参考答案
一、选择题 1.C 6.A 二、填空题 11.2 2.D 7.D 3.A 8.D 4.C 9.B 5. B 10.D 14. 27?

12.[21,31]

13. 5 x ? 3 y ? 1 ? 0

3 15. 5
三、解答题

2 16. 3

n2 ? n ?1 17. (1) ?3,5,7,9? ,(2) 2

18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ )由 cos B ?

11 5 3 ,得 sin B ? , 14 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C , sin A sin C 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? 3 19 2 2 (Ⅱ ) AB ? BD ? 2 AB BD cos B ? , 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c ? c ? ? , c ? 3 ,则 a ? 7 6 6 14 4 1 1 5 3 15 3 S ? ac sin B ? ? 3 ? 7 ? 2 2 14 4
? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )由题意, ?

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ ) cn ? ?

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数

当 n 为偶数时,

P n ? (a1 ? a3 ?
当 n 为奇数时,

? an?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? bn ) ?

(4 ? 4n ? 4) ? 2

n n 2 6(1 ? 4 ) 2? ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4

( n?1) ?1 (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

(法二) P n ? (a1 ? a3 ?

? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ?

? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 6(1 ? 4 ) 2 ? ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1 . 2 1? 4

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数
20. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ )证明:因为 M 为等边△ ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥ AC. 依题意 CD⊥ AC,且 A、B、C、D 四点共面,所以 BM∥ CD. 又因为 BM?平面 PCD,CD?平面 PCD,所 P 以 BM∥ 平面 PCD.
F

(Ⅱ )因为 CD⊥ AC,CD⊥ PA, 所以 CD⊥ 平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠ CPD. 不妨设 PA=AB=1,则 PC= 2 .

A E

D

CD 6 M ? 由于 tan ?CPD ? , 所以 CD= 3 . PC 2 B C 在等腰 Rt△ PAC 中,过点 M 作 ME⊥ PC 于 (第 20 题图) 点 E,再在 Rt△ PCD 中作 EF⊥ PD 于点 F. 因为 ME⊥ PC,ME⊥ CD,所以 ME⊥ 平面 PCD,可得 ME⊥ PD. 又 EF⊥ PD,所以∠ EFM 即为二面角 C-PD-M 的平面角.
易知 PE=3EC,ME=

2 3 2 ? 3 3 30 ? ,EF= ? , 4 4 20 5

2 15 ME 15 所以 tan∠ EFM= , 即二面角 C-PD-M 的正切值是 . ? 4 ? 9 EF 3 30 9 20 21. (本题满分 14 分) c 1 解: (Ⅰ )设右焦点 F (c,0) (其中 c ? a2 ? b2 ) ,依题意 ? , a ? c ? 3 ,所以 a ? 2, c ? 1 . a 2 2 x y2 ? ? 1. 所以 b ? a2 ? c2 ? 3 ,故椭圆 Γ 的方程是 4 3

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,F(1,0) .将通过焦点 F 的直线方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 Γ 的方程 可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 , 其判别式 ? ? (8k 2 )2 ? 16(k 2 ? 3)(3 ? 4k 2 ) ? 144(k 2 ? 1) . 特别地,对于直线 l1 ,若设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则

x2 y2 ? ? 1, 4 3

| AC |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? 1 ? k | x1 ? x2 | ? 1 ? k ?
2 2 2 1
2 1

144(k12 ? 1) 3 ? 4k12

,k1 ? R且k1 ? 0 .

又设 B( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,由于 B、D 位于直线 l1 的异侧, 所以 k1 ( x3 ? 1) ? y3 与 k1 ( x4 ? 1) ? y4 异号.因此 B、D 到直线 l1 的距离之和

d?

| k1 ( x3 ? 1) ? y3 | | k1 ( x4 ? 1) ? y4 | |[k1 ( x3 ? 1) ? y3 ] ? [k1 ( x4 ? 1) ? y4 ]| ? ? 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12 | k1 ( x3 ? x4 ) ? ( y3 ? y4 ) | 1 ? k12 ? | k1 ? k2 | 1 ? k12 ? | x3 ? x4 | ?
| k1 ? k2 | 1 ? k12 ?
2 144( k2 ? 1) 2 3 ? 4k 2

?



综合可得,四边形 ABCD 的面积 S ? 因为 k1k2 ? ?

2 72 (k12 ? 1)(k2 ? 1)(k1 ? k2 )2 1 . | AC | ?d ? 2 2 (3 ? 4k12 )(3 ? 4k2 )

3 3 2 ,所以 t ? k12 ? k2 ? 2 | k1k2 |? ,于是 4 2
25 3 25 1 )(t ? ) t? 16 2 ?6 16 ? 6 1 ? 16 3 3 18 ? 12t t? t? 2 2
3 3 3 , } 时, ,即 {k1 , k2 } ? {? 2 2 2

72 (t ? S ? f (t ) ?

当 t ?[ , ??) 时, f (t ) 单调递减,所以当 t ? 四边形 ABCD 的面积取得最大值 22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ ) ? =2 时, f ( x) ? ln x ?

3 2

7 3. 2

2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x ?1
……………3 分

f ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

所以, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 .…………5 分

(Ⅱ )依题意, kn ?

ln(n ?1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) . n ?1? n n

……………6 分

(ⅰ )由(Ⅰ )可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

1 2(1 ? ? 1) 1 2 1 2n ? 1 n ? 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 ? .…………8 分 1 n 2n ? 1 kn 2 1? ?1 n
所以 Sn ? ?
i ?1 n n 1 2i ? 1 n(n ? 2) ?? ? . ki i ?1 2 2

……………9 分

(ⅱ )取 ? ? 3 ,则 f ( x) ? ln x ?

3( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x?2

f ?( x) ?

1 3( x ? 2) ? 3( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x ( x ? 2)2 x( x ? 2) 2

当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (1, 2) 单调递减. 所以, x ? (1, 2] 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln x ? 注意到,对任意正整数 n , 1 ?

3( x ? 1) .……………12 分 x?2

1 ? (1,2] ,于是 n

1 ? 1) 1 3 1 3n ? 1 n kn ? ln(1 ? ) ? ? ,即知 ? . ……………13 分 1 n 3 n ? 1 k 3 n 1? ? 2 n 3(1 ?
所以

Sn ? ?
i ?1

n

n 1 3i ? 1 n(3n ? 5) ?? ? . ki i ?1 3 6

……………14 分


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