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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第5篇 等差数列学案 理

时间:2015-10-16


第三十三课时 等差数列 课前预习案
考纲要求 1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题。 基础知识梳理 1.等差数列 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一项的 等于同一个常数,这 表示. 的等差中项,用等式

个数列就叫做等差数列.

>
这个常数就叫做等差数列的

, 常用字母 叫做数 和

2.等差中项 由三个数 a , A , b 组成的等差数列,这时数 表示为 A = . .

3.等差数列的通项公式 an ?

4. 等差数列的常见性质:若数列 ?an ? 为等差数列,且公差为 d ,则此数列具有以下性质: (1) an ? am ? ? n ? m? d ; (2) d ?

an ? a1 an ? am ? ; n ?1 n?m

(3) m ? n ? p ? q,? m,n, p,q ? N* ? , 则 am ? an =a p ? aq . 5. 等差数列的前 n 项和公式 1: sn ?

n ? a1 ? an ? 2

公式 2: sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d . 2

6.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列。 如: a1 ,a3 ,a5 ,??? 公差为 ; ;

a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 是等差数列;公差为 Sm ,S2m ? Sm ,S3m ? S2m , ??? 成等差数列.

预习自测 1.已知 ?an ? 是等差数列,且 a3 ? a9 =4a5, a2 ? ?8 ,则该数列的公差是( A.4 B.14 C.-4 D.-14 ) )

2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S17 ? a ,则 a2 ? a9 +a16 = (

1

A.

a 17

B.

4a 17

C.

3a 17

D. ?

3a 17

3.(2013 新课标理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 课内探究案 典型例题 考点 1 等差数列定义

【典例 1】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 4 , an ? 4 ? (1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

4 1 . (n ? 2) ,令 bn ? an ?1 an ? 2

【变式 1】 已知 a, b, a ? b 成等差数列,a, b, ab 成等比数列, 且 logc ( ab ) ? 1 , 则 c 的取值范围是 ( A.0<c<1 B.1<c<8 C.c>8 D.0<c<1 或 c>8



【变式 2】(2013 年辽宁)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
A. p1 , p2 B. p3 , p4

p2 : 数列?nan ?是递增数列;
其中的真命题为( p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列; C. p2 , p3 D. p1 , p4 )

考点 2

等差数列的性质 , 则

【典例 2】已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 + ??? +a 14 ? 77 且 ak ? 13

k ? _______.

【变式 3】若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,则它们相同的项的项数是



考点 3

等差数列前 n 项和 ).

【典例 3】 在等差数列{an}中,已知 a5+a7=10,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S11 的值是 ( A.45 B.50 C.55 D.60[来源:学科网]

2

【变式 4】已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1, =4,则 的值为 ( A. 9 4 B. 3 2 C. 5 3 D.4

S4 S2

S6 S4

).

考点 4

等差数列综合应用

【典例 4】(2013 新课标Ⅱ卷)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S10 ? 0, S15 ? 25 ,则 nS n 的最小值为 ________. 【变式 5】已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?3, 11a5 ? 5a8 ,,求前 n 项和 s n 的最小值.

当堂检测 1.(2013 重庆))已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列, 则 S8 ? _____ .

2.(2013 上海春季)若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn = __________. 3.(2013 广东省))在等差数列

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

4. (2013 四川)在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 {an } 的首项、公差及 前 n 项和. 课后拓展案 A 组全员必做题

1.若两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且满足 =

Sn 3n+2 a5 ,则 =________. Tn 4n-5 b5
).

2. 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 B.20 C.22 D.24

3 .(2013·秦皇岛模拟 ) 设 s n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1,公差d ? 2 , sk ?2 ? s k ? 24, 则

k =(
A.8

) B.7 C.6 D.5

4.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a 5 ? 105 , a2 ? a4 ? a 6 ? 99 .以 s n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 s n 达到最大值的 n 是( )
3

A.21

B.20

C.19

D.18

5 . (2013· 玉 溪 模 拟 ) 数 列 ?an ? 的 首 项 为 3 , ?bn ? 为 等 差 数 列 且 bn ? an?1 ? an ( n ? N? ) . 若 ,则 a8 ? ( b3 ? ? 2, b 1 0 ?1 2 A.0 B.3 C.8 ) D.11 ).

6.等差数列{an}共有 2 n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项等于 ( A.145 B.203 C.109 D.29

B 组提高选做题 1.将全体正整数排成一个三角形数阵: 按照排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … …

2. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,并且 s10 ? 0,s

11

? 0 ,若 sn ? sk 对 n ? N * 恒成立,正整数

k?

.

3.(2013 福建文)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n .(1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ;(2) 若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 参考答案 预习自测 1.A 2.C 3.C 典型例题 【典例 1】 (1)∵ bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 ? , ? ? ? 4 an ?1 ? 2 an ? 2 4 ? ? 2 an ? 2 2 an

∴数列 ?bn ? 是以 (2) an ? 【变式 1】B 【变式 2】D 【典例 2】18

1 为公差的等差数列. 2

2 ?2 n

4

【变式 3】25 【典例 3】C 【变式 4】A 【典例 4】-49 【变式 5】-4 当堂检测 1.64

5n 2 ? 7 n 2. 6
3.20 4. a1 ? 4, d ? 0或a1 ? 1, d ? 3 ,

Sn ? 4n或Sn ?

3n2 ? n 2

A 组全员必做题 1.

29 31

2.B 3.D 4.B 5.B 6.D

B 组提高选做题 1.

n(n ? 1) ?3 2

2.5 3.(1) a1 ? ?1 或 2 ;(2) ?5 ? a1 ? 2

5


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