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2003年全国高中数学联赛试卷及答案


2003 年全国高中数学联赛试题
第一试 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个是 、 、 、 正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选 出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1. 删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列

. 这个数列的第 2003 项是 【答】 ( ) (A)2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2. 设 a, b ∈ R, ab ≠ 0, 那么直线 ax y + b = 0 和曲线 bx + ay = ab 的图形是【答】 (
2 2



y

y

y

y

x

x

x

x

(A) (B) (C) (D) 2 ° 3. 过抛物线 y = 8 ( x + 2 ) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线. 若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 (A) 【答】 ( (D) 8 3 )

16 3

(B)

8 3

(C)

16 3 3

4. 若 x ∈ (A)

2π 5π π , , 则 y = tan x + 3 12 3
(B)

π π tan x + + cos x + 的最大值是 6 6
(C)

12 2 5

11 2 6

12 7

(D)

12 【答】 ( 5



5. 已知 x, y 在区间 ( 2, 2 ) 内,且 xy = 1, 则函数 u = (A)

4 9 + 的最小值是 2 4 x 9 y2
(D)

8 5

(B)

24 11

(C)

12 7

12 【答】 ( 5



6. 在四面体 ABCD 中设 AB = 1, CD = 面体 ABCD 的体积等于 (A)

3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为

π

3

,则四 )

【答】 ( (B)

3 2
3

1 2

(C)

1 3

(D)

3 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 填空题 7.不等式 x 2 x 4 x + 3 < 0 的解集是______________
2

x2 y 2 8.设 F1 , F2 是椭圆 + = 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1 : PF2 = 2 :1 ,则 9 4

1

PF1 F2 的面积等于_____________.
9. 已知

A = x x 2 4 x + 3 < 0, x ∈ R ,

{

}

B = x 21 x + a ≤ 0, x 2 2 ( a + 7 ) x + 5 ≤ 0, x ∈ R . 若 A B , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
_____________. 10. 已 知 a, b, c, d 均 为 正 整 数 , 且 log a b =

{

}

b d = ____________. 11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相 切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于________.
12.设 M n = 十进制 n位纯小数0. a1a2 an ai只取0或1 i = 1, 2, , n 1), an = 1 , (

3 5 , log c d = , 若 a c = 9 , 则 2 4

(

)

_____________



Tn 是 M n 中元素的个数, Sn 是 M n 中所有元素的和,则 lim
n →∞

Sn = ________. Tn

三、解答题 (本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设

3 ≤ x ≤ 5, 证明不等式 2

2 x + 1 + 2 x 3 + 15 3 x < 2 19.

14.设 A,B,C 分别是复数 Z 0 = ai, Z1 =
4

1 + bi, Z 2 = 1 + ci (其中 a, b, c 都是实数)对应的不 2
2 2 4

共线的三点. 证明:曲线 Z = Z 0 cos t + 2 Z1 cos t sin t + Z 2 sin t (t ∈ R ) 与 ABC 中平 行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.

15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A, 且 OA=a, 折叠纸片,使圆周上某一点

A' 刚好与 A 点重合. 这样的每一种折法,都留下一条直线折痕. 当 A' 取遍圆周上所有的点
时,求所有折痕所在直线上点的集合.

2

2003 年全国高中数学联赛加试试题
第二试 (本题满分 一、 本题满分 50 分) ( 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A, B. 所作割线交圆于 C, D 两点,C 在 P, D 之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 ∠DAQ = ∠PBC. 求证: ∠DBQ = ∠PAC.

(本题满分 二、 本题满分 50 分) ( 设 三 角 形 的 三 边 长分 别是 整 数 l , m, n, 且 l > m > n. 已 知

3l 3m 3n = 4 = 4 , 其中 4 10 10 10

{ x} = x [ x ] , 而 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数.

求这种三角形周长的最小值.

(本题满分 三、 本题满分 50 分) ( 由 n 个 点 和 这 些 点 之 间 的 l 条 连 线 段 组 成 一 个 空 间 四 边 形 , 其 中

n = q 2 + q + 1, l ≥

1 2 q ( q + 1) + 1, q ≥ 2, q ∈ N . 已知此图中任四点不共面,每点至少有一条 2

连线段,存在一点至少有 q + 2 条连线段. 证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的图形)

3

2003 年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题 1 C 提示: 1. 注意到 45 = 2025 , 46 = 2116 ,故 a 2003 = 2003 + 45 = 2048 ;
2 2

2 B

3 A

4 C

5 D

6 B

2. 题设方程可化为 y = ax + b 和 3. 易知直线 AB 的方程为 y =

x2 y2 + = 1 ,观察图形可知; a b

3 x ,因此 A,B 两点的横坐标满足方程 3 x 2 8 x 16 = 0 ,从

而弦 AB 中点的横坐标为 x 0 =

4 4 ,纵坐标 y 0 = ,进而求得中垂线方程之后,令 y=0, 3 3

得点 P 的横坐标即 PF= 4. 原函数可化为 y =

16 ; 3 2

π + cos x + ,可以证明函数在已知的区间上为增函 4π 6 sin 2 x + 3
11 3; 6
35 4 37 9 x 2 + 2 x
,用基本不等式可求得函数 u 的最小值

数,故当 x =

π
3

时,y 取最大值

5. 消去 y 之后可得: u = 1 +

12 ; 5

6. 可用等积法求得,过程略。 二、填空题 7. 3,



5 1 5 1 2 ∪ 2 ,3 . 提示: 原不等式可以化为: (| x | 3) x + | x | 1 < 0 2

(

)

8. 4

PF1 F2 是直角三角形,故 PF1 F2 的面积为 S =

1 1 | PF1 | | PF2 |= × 2 × 4 = 4 ; 2 2

9. 4 ≤ a ≤ 1 提示: A = (1 , 3) ,令 f ( x ) = 21 x + a , g ( x ) = x 2 2(a + 7 )x + 5 ,则只需 f ( x ), g ( x ) 在

4

f (1) ≤ 0 f (3) ≤ 0 (1,3)上的图象均在 x 轴的下方,其充要条件是 ,由此推出 4 ≤ a ≤ 1 ; g (1) ≤ 0 g (3) ≤ 0
10.93

b d 提示: 由已知得 a = b , c = d , a = , c = ,又 a c = 9 ,故 a c
4

3 2

5 4

2

4

b d 2 b b d = + 2 a c a a c

2

b d 2 + 2 = 9 a = 25 , c = 16 d2 a c 2 = 9 ,推得 , ; b = 125, d = 32 c b d2 =1 a c2

4 11. 8 + 2

提示:如图,上下层的四个球的球心 A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分 别是上下两个边长为 2 的正方形的顶点,且以它们的外接圆为上 下底面构成圆柱,同时 A1 在底面上的射影 M 为弧 AB 的中点。由 于 A1A=A1B=AB=2, OM = OA =

2 , MN = 2 1 ,求得
4

A1 M =
12.

( A1 N )2 (MN )2

= 4 8 ,故所求的高为
n 1

8 + 2 ;

1 18

提示: Tn = 2

, Sn =

1 n1 1 1 1 1 2 + 2 + + n1 + 2 n 1 n 2 10 10 10 10

三、解答题 13. 证明:由 ( a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2(ab + bc + cd + da + ac + bd ) 可得

a + b + c + d ≤ 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 , 当且仅当 a=b=c=d 时取等号
则 2 x +1 +

……5 分

2 x 3 + 15 3x ≤ 2

(x + 1) + (x + 1) + (2 x 3) + (15 3x )

= 2 x + 14 ≤ 2 19
因为 x + 1 ,

……………………………………………………15 分

2x 3 ,

15 3 x 不能同时相等,所以
……………………………………20 分

2 x + 1 + 2 x 3 + 15 3 x < 2 19
14.设 z = x + yi

(x, y ∈ R ) ,则代入并由复数相等可得

5

2 x = sin t y = a (1 x )2 + 2b(1 x )x + cx 2

(0 ≤ x ≤ 1)

即 y = (a + c 2b )x 2 + 2(b a )x + a 因为

A,B,C 不共线 ,所以 a + c 2b ≠ 0 ,可见所给曲线是抛物线段(图略)…………5 分 AB,BC 的中点分别是 D 所以 DE 的方程为

1 a+b 3 b+c , E , , ,; 2 2 4 4
1 (3a + 2b c ) 4
……………………………10 分

y = (c a )x +
2

1 1 1 3 1 联立两式得 (a + c 2b ) x = 0 ,得 x = ,注意到 < < ,所以抛物线与 ABC 2 4 2 4 2
中平行于 AC 的中位线 DE 有且只有一个公共点,此点的坐标为 , 数为 z =

1 a + c + 2b ,相应的复 4 2

1 a + c + 2b + i 2 4

…………………………………………………………15 分

15.如图建立直角坐标系,设 A1 (R cos α , R sin α ) ,MN 为 AA1 的中垂线,设 P(x,y)是 MN 上任一点,则|PA|=|PA1| ……5 分 代入推得 2 R ( x cos α + y sin α ) = R 2 a 2 + 2ax 可得 sin (θ + α ) = ………10 分

R 2 a 2 + 2ax 2R x + y
2 2

, 其中 sin θ =

x x + y2
2

,

cosθ =

y x2 + y2
2

.

所以

R 2 a 2 + 2ax 2R x 2 + y 2

≤ 1 …………15 分

平方后可化为

a x y2 2 + ≥1 2 2 2 R R a 2 2 2 a x y2 2 所求点的集合为椭圆 + ≥ 1 外(含边界)部分。…………20 分 2 2 2 R R a 2 2 2
2

6


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