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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第8章 平面解析几何6 Word版含解析]

时间:2015-04-12


[命题报告· 教师用书独具]

一、选择题 1.(2013 年唐山模拟)已知双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,焦点坐标为(- 4,0),(4,0),则双曲线方程为( x2 y2 A. 8 -24=1 x2 y2 C.24- 8 =1 ) x2 y2 B.12-14=1 x2 y2 D. 4 -12=1

解析:双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,焦点在 x 轴上.设双曲线方程为 x2 y2 x2 y2 - 3 =λ(λ≠0),即 λ -3λ=1,则 a2=λ,b2=3λ.∵焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴ x2 y2 c=4,∴c =a +b =4λ=16,解得 λ=4,∴双曲线方程为 4 -12=1.
2 2 2

答案:D 2.(2013 年淮南模拟)双曲线方程为 x2 -2y2=1 ,则它的左焦点的坐标为 ( ) ? ? 2 A.?- ,0? ? 2 ? ? 6 ? C.?- ,0? ? 2 ? ? 5 ? B.?- ,0? ? 2 ? D.(- 3,0)

y2 1 解析:双曲线方程可化为 x2- 1 =1,∴a2=1,b2=2, 2

3 6 ? 6 ? ∴c2=a2+b2=2,c= 2 ,∴左焦点坐标为?- ,0?. 2 ? ? 答案:C x2 y2 3. (2013 年潍坊质检)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 4 -12=1 上一 点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为( A.4 C.3 B.2 D.6 )

解析: 由题易知, 双曲线的右焦点坐标为(4,0), 点 M 的坐标为(3, 15)或(3, - 15),则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. 答案:A y2 4.(2013 年青岛模拟)设 F1,F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点,若
2

→· → → → 点 P 在双曲线上,且PF 1 PF2=0,则|PF1+PF2|=( A. 10 C. 5 B.2 10 D.2 5

)

→ → → → 解析:如图,由PF1· PF2=0 可得PF1⊥PF2,又由向量加法的平行四边形法 → +PF → |=|P→ 则可知?PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等,故有|PF Q |=2c= 1 2 2 10,所以选 B.

答案:B x2 y2 5.(2013 年银川联考)已知 A,B,P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上不同的 2 三个点, 且 A, B 的连线经过坐标原点, 若直线 PA、 PB 的斜率的乘积 kPA· kPB=3, 则该双曲线的离心率为( 5 A. 2 ) 6 B. 2

C. 2

15 D. 3

解析:因为 A,B 的连线经过坐标原点,所以 A、B 关于原点对称,设 P(x0, x2 y2 x2 y2 0 0 1 1 y0),A(x1,y1),B(-x1,-y1),由 A,B,P 在双曲线上得a2-b2=1,a2-b2=1,
2 2 y2 y0-y1 y0+y1 y2 b2 b2 2 0-y1 0-y1 两式相减并且变形得 2 2 = a2 . 又 kPA· kPB = · = 2 2 = a2 = 3 ,即 x0-x1 x0-x1 x0+x1 x0-x1

c2-a2 2 2 15 2 =e -1= ,故双曲线的离心率 e= a 3 3 . 答案:D 二、填空题 6.(2013 年宁波模拟)双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是________. 解析:依题意得,双曲线的渐近线方程为 y=± x. 答案:y=± x x2 y2 7.(2012 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m- 2 =1 m +4 的离心率为 5,则 m 的值为________. 解析:建立关于 m 的方程求解.
2 c2 m+m +4 ∵c2=m+m2+4,∴e2=a2= =5, m

∴m2-4m+4=0, ∴m=2. 答案:2 x2 8.(2013 年岳阳模拟)直线 x=2 与双曲线 C: 4 -y2=1 的渐近线交于 E1, → =e ,OE → =e ,任取双曲线 C 上的点 P,若OP → =a e +b e ,则 E2 两点,记OE 1 1 2 2 1 2 实数 a 和 b 满足的一个等式是________________. 解析:该题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系、向量线性表示及坐标运 ?2a+2b=x0 算.可先求出 e1=(2,1),e2=(2,-1),设 P(x0,y0),则? ?a-b=y0, 1 ∴(a+b)2-(a-b)2=1,∴ab=4,

1 答案:ab=4 b2+1 x2 y2 9. (2013 年合肥检测)若双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的离心率是 2, 则 3a 的 最小值为________. b2+1 3a2+1 c 解析: 由双曲线的离心率 e=2 得, = 2 , 从而 b = 3 a >0 , 所以 a 3a = 3a 1 =a+3a≥2 1 a· 3a=2 1 2 3 1 3 3= 3 ,当且仅当 a=3a,即 a= 3 时,“=”成立.

2 3 答案: 3 三、解答题 10.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为左、 π 右焦点,双曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2=3,且△PF1F2 的面积为 2 3,又 双曲线的离心率为 2,求该双曲线的方程.

x2 y2 解析:设双曲线方程为:a2-b2=1(a>0,b>0), F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2 中,由余弦定理,得: π |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos 3 =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 即 4c2=4a2+|PF1|· |PF2|. 又∵S△PF1F2=2 3, 1 π ∴2|PF1|· |PF2|· sin 3=2 3. ∴|PF1|· |PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即 b2=2. c 又∵e=a=2,

2 ∴a2=3. 3x2 y2 ∴双曲线的方程为: 2 - 2 =1. 11.(2013 年宿州模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上, 离心率为 2,且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; →· → (2)求证:MF 1 MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. 解析:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)由(1)可知,在双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0). ∴kMF1= m m ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3

又∵点 M(3,M)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3. m m m2 ∴kmF1· kmF2= × =- 3 =-1. 3+2 3 3-2 3 ∴MF1⊥MF2. →· → ∴MF 1 MF2=0. (3)由(2)知 MF1⊥MF2, ∴△MF1F2 为直角三角形. 又 F1(-2 3,0),F2(2 3,0),m=± 3, M(3, 3)或(3,- 3), 由两点间距离公式得 |MF1|= ?-2 3-3?2+?0- 3?2= 24+12 3, |MF2|= ?2 3-3?2+?0- 3?2= 24-12 3,

1 S△F1MF2=2|MF1||MF2| 1 =2× 24+12 3· 24-12 3 1 =2×12=6. 即△F1MF2 的面积为 6. x2 12.(能力提升)已知椭圆 C1 的方程为 4 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分 别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l : y = kx + 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 →· → >2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. OA OB x2 y2 解析:(1)设双曲线 C2 的方程为a2-b2=1,则 a2=4-1=3,c2=4,由 a2+ b2=c2,得 b2=1. x2 2 故 C2 的方程为 3 -y =1. x2 2 (2)将 y=kx+ 2代入 3 -y =1, 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得 1-3k2≠0. Δ=(-6 2k)2+36(1-3k2)>0, 1 ∴k2≠3且 k2<1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 -9 6 2k x1+x2= . 2,x1x2= 1-3k 1-3k2 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 3k2+7 . 3k2-1 ①

→· → >2,得 x x +y y >2, 又∵OA OB 1 2 1 2

3k2+7 -3k2+9 ∴ 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1

1 解得3<k2<3, 1 由①②得3<k2<1. ? 3? ? 3 ? 故 k 的取值范围为?-1,- ?∪? ,1?. 3? ?3 ? ?



[因材施教· 学生备选练习] x2 y2 1. (2013 年贵阳模拟)已知 O 为平面直角坐标系的原点, F2 为双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)的右焦点,E 为 OF2 的中点,过双曲线左顶点 A 作两渐近线的平行 线分别与 y 轴交于 C、D 两点,B 为双曲线的右顶点,若四边形 ACBD 的内切圆 经过点 E,则双曲线的离心率为( A.2 C. 3 ) B. 2 2 3 D. 3

x y 解析:作草图,易知直线 BC 的方程为a+b=1,圆心 O 到 BC 的距离为 1 c =2, ?1?2 ?1?2 ?a? +?b? ? ? ? ? ∴2ab=c2,∴4a2(c2-a2)=c4,两边同除以 a4 得:e4-4e2+4=0, ∴(e2-2)2=0,∴e2=2, ∴e= 2或- 2(舍),∴e= 2.

答案:B x2 y2 2. (2013 年苏州模拟)已知 P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2

5 → → 是其焦点,双曲线的离心率是4,且PF1· PF2=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为________. 解析:设|PF1|=x,|PF2|=y,则由△PF1F2 面积为 9 及 PF1⊥PF2 可得 xy= 5 18,x2+y2=4c2,故(x-y)2=4c2-36=4a2,又 e=4,得 c=5,a=4, ∴b=3,∴a+b=7. 答案:7


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