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北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(文)试题(WORD精校版)


北京市朝阳区 2014-2015 学年第二学期期末考试
高二数学(文科) 考试时间 100 分钟; 满分 120 分
2015.7

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 已知 i 是虚数单位,则 2i(1 ? i) ? A. ?2 ? 2i B. 2 ? 2

i C. 2i D. ? 2i

x 2.已知集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} , B ? x 2 ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

A. x ? 1 ? x ? 3

?

?

B. x 1 ? x ? 3

?

?

C. x ? 1 ? x ? 2

?

?

D. x x ? 2

?

?

3.若 sin ? cos ? ? 0 ,则 ? 是 A.第一或第二象限角 C.第一或第四象限角

B.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角

4.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x , f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数,那么 f ?( ) 等于

1? 3 3 ?1 1? 3 B. C. ? 2 2 2 0.3 5.设 a ? 2 , b ? log4 3 , c ? log 1 5 ,则
A. A. c ? a ? b B. b ? c ? a
2

π 6 1? 3 D. 2

C. b ? a ? c
2 2

D. c ? b ? a )

6. 设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ? b ? a ? b ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x≥1, ? y≥0, ? 7. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则实数 a 的取值范围是 2 x ? y ≤ 6, ? ? ? x ? y≤a
A. a 1 ? a ? 3或a ? 5 C. a 1 ? a ? 5

?

?

B. a 1 ? a ? 3或 a ? 5? D. a 3 ? a ? 5

?

?

?

?

?
x

8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时, f ( x) ? 2 ? 3 .若函 数 f ( x ) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 A. 1 或 ? 8 B. 2 或 ? 8 C. 1 或 ? 7 D. 2 或 ?7

1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 请把答案填在答题卡的相应位置上. 9. 已知 sin ? ?

4 ? , ? ? (0, ) ,则 cos? ? 5 2

; tan ? ? .

.

10.函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg x 的定义域是

, ? 3) , b ? (4, ? 2) ,若 ? a ? b 与 a 垂直,则实数 ? ? 11.已知平面向量 a ? (1

.

12.在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c .若 c ? 2,b ? 5,B ? 135 ,则

a?

; △ ABC 的面积 S ?

. .

13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ? 14.已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 (0, ??) ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题:
x

①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的减函数; ③存在 a ? (??,0) ,使得对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (0, ??) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 请 把答案填在答题卡的相应位置上. 15. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a9 ? 2a4 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2nan

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 sin x ?
2

3 . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间.

2

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? ln x , a ? R . 2

(I)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)讨论 f ( x) 的单调性.

18.(本小题满分 13 分) 已知 M 是由所有满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数 根;②函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且对 f ( x) 定义域内任意的 x ,都有 f ?( x) ? 1 . (Ⅰ)判断函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? ln x ? ax 是集合 M 中的元素,求实数 a 的取值范围.

北京市朝阳区 2014-2015 学年第二学期期末考试
高二数学文科答案
一、选择题(满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 D 2015.7

二、填空题(满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12 1; 13 14 ①④

3 4 ; 5 3

(0, 2]

?1

1 2

2 ? 3n ?1 ? n

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题(满分 50 分) 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d . 因为 ?

? a3 ? 2, ? a9 ? 2a4 ,
3

所以 ?

?a1 ? 2d ? 2, ?a1 ? 2d ? 0.

???????????????????????4 分

?a1 ? 1, ? 解得 ? 1 d? . ? ? 2

???????????????????????6 分

所以通项公式为: an ? a1 ? (n ? 1)d ? (Ⅱ)因为 bn ?

n ?1 .???????????????8 分 2

1 , n(n ? 1)
1 1 2 3

???????????????????????9 分

所以 Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 16. (本小题满分 13 分)

1 2

1 1 n ?( ? )= . n n ?1 n ? 1

????????12 分

1 3 3 ?????????4 分 sin 2 x ? (1 ? cos2 x) ? 2 2 2 1 3 ? sin 2 x ? cos2 x 2 2 ? ? sin(2 x ? ) , ???????6 分 3 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . ???????7 分 ? ? 5? ? k ?, k ? Z 时取得最大值为1 .????9 分 当 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z ,即 x ? 3 2 12 ? ? ? (Ⅱ)令 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , 2 3 2 ? 5? ? x ? k? ? , k ? Z . 得 k? ? 12 12
解:(Ⅰ) f ( x) ? 故函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k ? ?

? 5? , k ? ? ], k ? Z . 12 12

??????13 分

17. (本小题满分 12 分)
解: (I)当 a ? 2 时, f ?( x) ? 2 x ?

1 2 x2 ?1 ? . x x

f ? (1) ? 1 , f (1) ? 1 ,
曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 l : y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1), 所以切线方程为 l : x ? y ? 0 . (II)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ??????4 分 ??????5 分

4

f ?( x) ? ax ?
(i)若 a ? 0,

1 ax 2 ? 1 ? . x x

??????7 分 ??9 分

f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.

(ii)若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ?

1 . a

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0,
?


1 ) a

1 a
0
极小值

(

1 , ??) a
?


f ( x)

所以 f ( x ) 在 (0,

a a ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增. ?????12 分 a a

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ' ( x) ? 2 ? cos x ,当 cos x ? ?1 时, f ' ( x) ? 1 不符合条件②, 所以函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 不是集合 M 中的元素. (Ⅱ)因为 g ( x ) 是集合 M 中的元素,所以 g ?( x) ? 即 a ? 1? ……………..4 分

1 ? a ? 1 对于任意 x ? 0 均成立. x

1 ( x ? 0) 恒成立,即 a ? 1 . x 令 G( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? (a ? 1) x ,依题意, g ( x ) 是集合 M 中的元素,必满足
a ?1.
当 a ? 1 时, G?( x) ?

1 ? a ? 1 ? 0 对任意 x ? 0 恒成立, x
-a -a -a -a

所以 G ( x) 在 ? 0, ??? 上为增函数. 又 G(e ) ? ln e ? a ? e ? e = a(e ?1) ? e ? 0 .
-a -a

G(e) = 1+ (a - 1)e > 0 ,所以方程 G( x) ? g ( x) ? x ? 0 有实根, 也符合条件① .
当 a ? 1 时,在 x ?

1 1 ? 0 时, g ?( x) ? ? a ? 1 与条件②矛盾. 1? a x

综上 a ? 1 .…………. …………. …………. ………….……………..13 分

5


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