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北京宏志中学2014年高二数学(文科)寒假作业——立体几何答案


北京宏志中学 2014 学年高二年级(文科)数学寒假作业——立体几何答案
1 .已知平面 ? , ? ,直线 m, n ,下列命题中不 正确的是( .

C )

A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? C.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n
2.平面 ? ∥平面 ? 的一个充分条件是



B.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? .

D ) B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ?
7 .如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为底面 ABCD 上的动点,PE ? AC 于 E ,且 PA ? PE , 1

A.存在一条直线 ?,a ∥?,a ∥ ?

C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥?
3.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是(C

则点 P 的轨迹是( A) A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 8 .某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( C ) ) A. 4 3 B. 8 C. 4 7 D. 8 3 A.

A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ?

B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

9 .一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 C

1 1 5 B. C. D. 1 2 3 6

1
4 .设 l , l , l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4,5,6 的直线.给出下列三个结论: 1 2 3

1 主视图 1 俯视图
10.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1 ,等腰三角

① ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是直角三角形;② ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是等边三 角形;③三条直线上存在四点 A i (i ? 1,2,3,4) ,使得四面体 A1 A2 A3 A4 为在一个顶点处的三条棱两 两互相垂直的四面体. 其 中 , 所 有 正 确 结 论 的 序 号 ( B)A.①B.①②C.①③D.②③ 5 .一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是(D A. 2 ( C ) B. 2 2 C. 3 D. 2 3 ) 是

左视图

形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是( A ) A.

6 .某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 2 的正方形,该正三棱柱的表面积

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

D.

10? 3

11 .已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中

A. 6 ? 3 B. 12 ? 3 C. 12 ? 2 3 D. 24 ? 2 3

的(C )
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三、解答题 14. (2013 届北京市延庆县一模数学文)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为
正视图 侧视图 正视图 侧视图 正视图 侧视图 正视图 侧视图

菱形, ?ABC ? 60 ? , PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 2 , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC // 平面 EBD ;

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

[



源:ZA. B. C. D. 12 . 某 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 . 该 四 面 体 的 六 条 棱 的 长 度 中 , 最 大 的 是
[来源:学|科|网]

(Ⅱ)求三棱锥 C ? PAD 的体积 VC ? PAD ; ( Ⅲ ) 在侧棱 PC 上是否存在一点 M , 满足 PC ? 平面 MBD , 若存在 , 求

PM 的长;若不存在,说明理由.

P E
A
( A. 2 5 B. 2 6 C ) C. 2 7 D. 4 2

M
D
C

B

1.(Ⅰ)证明:设 AC 、 BD 相交于点 F ,连结 EF ,

13.一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的表面积是 B

? 底面 ABCD 为菱形,? F 为 AC 的中点, 又? E 为 PA 的中点,? EF // PC

P
2

E

A
2

M
D

正(主)视图

侧(左)视图 又? EF ? 平面 EBD , PC ? 平面 EBD , ? PC // 平面 EBD
2

B

F
C

(Ⅱ)解:因为底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ? ,所以 ?ACD 是边长为 2 正三角形, 又因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA 为三棱锥 P ? ACD 的高,

俯视图 ( ) A. 16 ? 4 2 B. 12 ? 4 2 C. 8 ? 4 2 D. 4 ? 4 2

1 1 3 2 2 3 ?2 ?2 ? ? VC ? PAD ? VP ? ACD ? S ?ACD ? PA ? ? 3 3 4 3
(Ⅲ)解:因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? BD ,
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又? 底面 ABCD 为菱形,? AC ? BD , PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC ,

所以 GF // EC // AD .

? BD ? 平面 PAC ,? BD ? PC
在 ?PBC 内,易求 PB ? PC ? 2 2 , BC ? 2 , 在平面 PBC 内,作 BM ? PC ,垂足为 M , 设 PM ? x ,则有 8 ? x 2 ? 4 ? (2 2 ? x) 2 ,解得 x ?

3 2 ?2 2 2

连结 MD ,? PC ? BD , BM ? PC , BM ? BD ? B , BM ? 平面 BDM ,

BD ? 平面 BDM ,? PC ? 平面 BDM .
所以满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为

3 2 2

15. (2013 届北京东城区一模数学文科)如图,已知 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , F 为 BC 的中

点,若

1 AB ? AC ? AD ? CE . 2 (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE .
E D

1 CE , 2 所以 GF ? AD . 所以四边形 GFAD 为平行四边形. 所以 AF // DG . 因为 DG ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , 所以 AF // 平面 BDE . (Ⅱ)因为 AB ? AC , F 为 BC 的中点, 所以 AF ? BC . 因为 EC // GF , EC ? 平面 ABC , 所以 GF ? 平面 ABC . 又 AF ? 平面 ABC , 所以 GF ? AF . 因为 GF ? BC ? F , 所以 AF ? 平面 BCE . 因为 AF // DG , 所以 DG ? 平面 BCE . 又 DG ? 平面 BDE , 所以平面 BDE ? 平面 BCE .
又因为 AD ?

16. (2013 届北京丰台区一模文科)如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面 PCD⊥

平面 ABCD. (Ⅰ)求证:AC⊥PD;

A C
2.(共 14 分)

(Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?若存在,求 F B
E P

PE 的值;若不存在,请说明理由. PA

证明:(Ⅰ)取 BE 的中点 G ,连结 GF , GD . 因为 F 是 BC 的中点, 则 GF 为△ BCE 的中位线.

E D
A C
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1 所以 GF // EC , GF ? CE . 2 因为 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC ,
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D

G A C

B

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F

B

3.如图,四棱锥 P-ABCD 中, BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面 PCD⊥平面 ABCD.

(Ⅰ)求证:AC⊥PD; (Ⅱ)在线段 PA 上,是否存在点 E,使 BE∥平面 PCD?若存在,

4.解:(I)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点,

PE 求 的值;若不存在,请说明理由. PA
解:(Ⅰ)∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD, AC⊥CD , AC?平面 ABCD , ∴AC⊥平面 PCD, A ∵PD?平面 PCD , ∴AC⊥PD (Ⅱ)线段 PA 上,存在点 E,使 BE∥平面 PCD, ∵AD=3, ∴在△PAD 中,存在 EF//AD(E,F 分别在 AP,PD 上),且使 EF=1, 又∵ BC∥AD,∴BC∥EF,且 BC=EF, ∴四边形 BCFE 是平行四边形, ∴BE//CF, BE ? 平面PC D , C F ? 平面PC D , ∴BE∥平面 PCD, ∵EF =1,AD=3, ∴

所以 BM ? AC ,即 BD ? AC
P E F

又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC

D

又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC
B C

(Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

?CAD ? 30 ,所以,
?

DM ?

2 3 3 ,所以 BM : MD ? 3:1

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN / / 平面 PDC (Ⅲ)假设直线 l / /CD ,因为 l ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB ,

EF PE 1 ? ? AD PA 3

17( .2013 届北京海滨一模文) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD

所以 CD / / 平面 PAB 又 CD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,所以 CD / / AB 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾 所以直线 l 与直线 CD 不平行

的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?CAD ? 30? , PA ? AB ? 4 ,点 N 在线段 PB 上,且 (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB ? 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行,请说明理由.
P

PN 1 ? . NB 3

N

18. (2013 届北京大兴区一模文科) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, D ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点.

A D M B C

(Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论.

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形, AB // CD , AC ? 3 , AB ? 2BC ? 2 , AC ? FB . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ?证明你的结论.

AA1 ? BC , 5.解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA 1 ? 面ABC ,所以
在等边 ?ABC 中,D 是 BC 中点,所以 AD ? BC 因为 在平面 A1 AD 中, A1 A ? AD ? A ,所以 BC ? 面A1 AD 又因为 A1D ? 面A1AD ,所以, A1 D ? BC 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 BCC1 B1 是平行四边形,所以 B1C1 // BC 所以, A1 D ? B1C1 (Ⅱ) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 ACC1 A1 是平行四边形, 在平行四边形 ACC1 A1 中联结 A1C ,交于 AC1 点 O,联结 DO. 故 O 为 A1C 中点. 在三角形 A1CB 中,D 为 BC 中点,O 为 A1C 中点,故 DO // A1 B . 因为 DO ? 平面DAC1 , A1 B ? 平面DAC1 ,所以, A1 B // 面 ADC1 故, A1 B与面 ADC1 平行 所以四面体 FBCD 的体积为: VF ? BCD ?
6.(Ⅰ)证明:在△ ABC 中,

因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC (Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB ? DC ? 1 ,所以 FC ? 1 . 所以△ BCD 的面积为 S ?

3 4 1 3 S ? FC ? 3 12

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M ,且 M 为 AC 中点时,有 EA // 平面 FDM ,证明如下: 连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN . 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点 所以 EA // MN 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . 所以线段 AC 上存在点 M ,使得 EA //平面 FDM 成立
20 .( 2013 届 房 山 区 一 模 文 科 数 学 ) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D 为直角梯

19. (2013 届北京西城区一模文科)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯
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形, BC // AD , ?ADC ? 90? , BC ? CD ?

1 AD , PA ? PD , 2

? BE// CD

? AD ? CD ? AD ? BE
......12 分

? PE ? BE ? E

E,F 为 AD,PC 的中点.
(Ⅰ)求证:PA//平面 BEF;
P

(Ⅱ)求证: AD ? PB .

? AD ? 平面PBE

? PB ? 平面PBE ? AD ? PB
F

.14 分

21( .北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习 (二) 数学 (文) 试题) 如图,四边形 ABCD
D E C

为矩形, AD ? 平面 ABE , AE ? BE ? 2 , AB ? 2 2 .
B

(Ⅰ)求证: AE ? CE ; (Ⅱ)设 M 是线段 AB 的中点,试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 ADE .

A

7.(Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于 O,并连接 EC,FO

?

BC // AD

, BC ?

1 AD , 2

E 为 AD 中点

8.(共 13 分)

? AE//BC,且 AE=BC ? 四边形 ABCE 为平行四边形 ? O 为 AC 中点
又? F 为 AD 中点

证明:(Ⅰ)∵ AE ? EB ? 2, AB ? 2 2 , ∴ AE 2 ? BE 2 ? AB 2 ,

E F A M B N

? OF // PA ?
PA // 平面BEF

? OF ? 平面BEF , PA ? 平面BEF
P

F

∴ AE ? BE ∵ AD ? 平面 ABE , ∴ AD ? AE ,又 BC // AD , ∴ BC ? AE , 又 BC ? BE ? E , ∴ AE ? 平面 BCE , ∴ AE ? CE

D

C

(Ⅱ)设 BE 的中点为 F , CE 的中点为 N ,连接 MN , MF , NF ,
D E O B C

A

(Ⅱ)连接 PE

? PA ? PD, E为AD中点

? AD ? PE

1 AD, E为AD中点 2 ? BCDE 为平行四边形 ? BC// AD, BC ?
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又 M 是 AB 的中点, ∴ MF // AE , NF // BC // AD . ∵ MF ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , ∴ MF // 平面 ADE 同理可证 NF // 平面 ADE , 又 MF ? NF ? F , ∴平面 MNF // 平面 ADE , ∴ MN // 平面 ADE 所以,当 N 为 CE 中点时, MN // 平面 ADE

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寒假作业选做题

22.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为

2 的等腰直角三角 形,则该三棱锥的四个面的面积中最

大的是 A. 3 B. 2 3

( A ) C.1 D.2 A.



C )

3 4

B.

3 2

C.

3 4

D.1

23.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为

25在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 1,P 1 (不包括端点)上的 2 分别是线段 AB , BD

动点,且线段 P 1 P2 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 P 1P 2 AB1 的体积的最大值是( A ) A.

1 24
8 3

B.

1 12

C.

1 6
B )

D.

1 2
4 3

26.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(



B)

A.

B . 2

4

C. 2

D.

A. 10 ? 4 3 ? 4 2 B. 10 ? 2 3 ? 4 2 C. 14 ? 2 3 ? 4 2 D. 14 ? 4 3 ? 4 2
24.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为

2

2 3 1

正(主)视图

侧(左)视图

3

俯视图

27.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的

表面积是 D
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A. 3 C. 6 ? 3
二、填空题

9 3 B. 2
D. 6 ? 2 3 面中,直

(Ⅰ)求证: BC // 平面 A1DE ; (Ⅱ)求证: BC ? 平面 A1 DC ; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1 B 的长度最小,并求出最小值. A1

28某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个

角三角形的面积和是_ 2 ? 5 ______.
29 .一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的

表面积为 A D C D E B 图1 E B 图2 C

75 ? 4 10 .
30.三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左视 9.(Ⅰ)证明:? DE // BC , DE

图如图所

? 面A1DE , BC ? 面A1DE
??????????4 分

示,则棱 BD 的长为____ 4 2 _____.

? BC // 面A1DE

(Ⅱ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
由 BC ? 面BCDE ,? A1D ? BC.

BC ? CD, CD ? BC ? C ,? BC ? 面A1DC .
(Ⅲ)设 DC ? x 则 A1D ? 6 ? x
31. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试 题)

??????????9 分

由(Ⅱ)知,△ A1CB ,△ A1DC 均为直角三角形.

如 图

1 , 在

Rt ?ABC 中 , ?C ? 90? ,

E A M B
使

BC ? 3,AC ? 6 .D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE / / BC ,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,
A1 D ? CD ,如图 2.

A1B = A1C 2 ? BC 2 ?
A1B ?

A1D 2 ? DC 2 ? BC 2
??????12 分

x 2 ? 32 ? (6 ? x ) 2 ? 2 x 2 ? 12 x ? 45

当 x =3 时, A1B 的最小值是 3 3 . 即当 D 为 AC 中点时, A1B 的长度最小,最小值为 3 3 .???????14 分

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D

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C

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所以 BD ^ 平面ACE , ………………………………..8 分 又 AE ? 平面ACE,
32. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)在四棱锥 E -

ABCD 中,底面 ABCD 是

所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III) 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 理由如下: 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB =

正方形, AC与BD交于O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB =

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面 BDE ?若存在,求出

EG 的 EO

2CE , CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE , 而 BD ? 平面BDE , 所以, 平面ACE ^ 平面BDE, 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

值,若不存在,请说明理由.

E F B

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE .

C O D A

由 G 为 EO 中点,得

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 EO 2

AA1=AD=2 , 33( .北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
10.解: (I)连接 OF .

E 是棱 CD 上的一点.
E F G C D O A B

由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE

(Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1 B1 D ; (Ⅱ)求证: B1 E ? AD1 ; (Ⅲ)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE ?若存在,求出 线段 AP 的长;若不存在,请说明理由.

平面ACF ,

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD,

底面ABCD,

EC =C, AC,EC 又 AC 翘

平面ACE,
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D

E C

所以四边形 PMED 是平行四边形, 所以 DP ∥ ME .??????????11 分 又 DP ? 面 B1 AE , ME ? 面 B1 AE , 所以 DP ∥平面 B1 AE . ??????????????????????13 分

A

B

D1

C1

此时, AP ?

1 A1 A ? 1 . ??????????????????????14 分 2

A1

B1

34. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,在菱形 ABCD 中,

MA ⊥平面

11.解: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

因为 A1 B1 ? 面 A1 D1 DA , 所以 A1 B1 ? AD1 . ????????????????????????2 分

ABCD ,且四边形 ADNM 是平行四边形. (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)当点 E 在 AB 的什么位置时,使得 AN // 平面 MEC ,并加以证明.
N M

在矩形 A1 D1 DA 中,因为 AA1=AD=2 ,所以 AD1 ? A1 D .????????4 分 所以 AD1 ? 面 A1 B1 D . ?????????????????????5 分 D

C B

(Ⅱ)因为 E ? CD ,所以 B1 E ? 面 A1 B1CD , A 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1 B1CD , ????????????????7 分
12.解: (Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD .

E

所以 B1 E ? AD1 . ?????????????????????????8 分 (Ⅲ)当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP ∥平面 B1 AE . ?????????9 分 理由如下: 在 AB1 上取中点 M ,连接 PM,ME . 因为 P 是棱 AA1 的中点, M 是 AB1 的中点, 所以 PM ∥ A1 B1 ,且 PM ? 又 DE ∥ A1 B1 ,且 DE ?
D E

由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB . 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .
C

??????????????????6 分 N

(Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,有 AN // 平面 MEC .??7 分

1 A1B1 .??10 分 2
A B

1 A1 B1 . 2 所以 PM ∥ DE ,且 PM ? DE ,
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CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, F 是 BN 的中点, 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .????????10 分

M F D
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C B

P

D1

M

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A

E

A1

B1

又 EF ? 平面 MEC ,

AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC .????????13 分

∴ AA1 ? BC ....................................................................................................... 9 分 又∵AB ? BC,

AA1 ? AB ? A ,
∴ BC ? 平面A1 ABB1 ........................................................................................ 12 分 ∵ BC ? 平面A1 BC , ∴平面 A1BC ? 平面 A1ABB1................................................................................ 13 分

35. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)如图,三棱柱 ABC — A1 B1C1 中, AA 1

?

平面 ABC,AB ? BC , 点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:MN // 平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1ABB1.
A1 M B1 N C1

36 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 AEC1 ; (Ⅱ)求证: B1C ? 平面 AEC1 .
A1 C1

B1

A B

C

A E

C

13.解:(Ⅰ)连结 BC1

B

∵点 M , N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点, ∴ MN ∥BC1.........................................................4 分 ∵ MN ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1 , ∴MN∥平面 BCC1B1..................................... ....6 分 (Ⅱ)∵ AA1 ? 平面ABC , 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1
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14.解:(I) 连接 A C 交 AC 于点 O ,连接 EO 1 1

因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, ??????3 分

BC ? 平面 ABC ,

??????6 分

(Ⅱ)因为 AB ? AC ,又 E 为 CB 中点,所以 AE ? BC 又因为在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC , 又 AE ? 底面 ABC , 所以 AE ? BB1 , 又因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCC1B1 , 又 B1C ? 平面 BCC1B1 ,所以 AE ? B1C 在矩形 BCC1B1 中, tan ?CB1C1 ? tan ?EC1C ? 所以 ?CB1C1 ? ?EC1B ? 90 ,即 B1C ? EC1
?

??????8 分

因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. 又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1, ????????4 分 ???????????2 分

??????10 分

所以 BC⊥AM. ????????6 分 (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 NP∥CC1. ??????8 分 因为 M,N 分别为 CC1, AB 中点, 所以
CM ? 1 2 CC1 , NP ? 1 2 BB1 .
C1 B1 A1 M P

2 ,所以 ?CB1C1 ? ?EC1C , 2
??????12 分 ??????14 分

????9 分

因为 BB1=CC1, 所以 NP=CM. ????????10 分

C N A

B

又 AE ? EC1 ? E ,所以 B1C ? 平面 BCC1B1

所以 四边形 MCNP 是平行四边形.????11 分 所以 CN//MP.
37. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面

????????12 分 ????????13 分 ????????14 分

因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, 所以 CN //平面 AB1 M.

ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点,求证:CN //平面 AB1M.
C1 A1 M B1

38 . (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题) 如图,直三棱柱 ABC ?

A1B1C1 中,

AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别
为 AC , B1C1 的中点. (Ⅰ)求线段 MN 的长;

C N A

B

(Ⅱ)求证: MN // 平面 ABB1 A1 ; (Ⅲ)线段 CC1 上是否存在点 Q ,使 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

15.证明: (Ⅰ)因为

三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC, ????????????????1 分
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所以 CC1⊥BC.

证明如下:连接 BC1 . 在正方形 BB1C1C 中易证 QN ? BC1 . 又 A1C1 ? 平面 BB1C1C ,所以 A1C1 ? QN ,从而 NQ ? 平面 A1BC1 .????12 分 所以 A1 B ? QN . 同理可得 A1 B ? MQ ,所以 A1B ? 平面 MNQ . 故线段 CC1 上存在点 Q ,使得 A1B ? 平面 MNQ . ??????14 分 ??????13 分

16.(Ⅰ)证明:连接 CN .

因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ABC , 所以 AC ? CC1 . ??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

39. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) ) (本小题满分 14 分)在长方体

因为 AC ? BC , 所以 AC ? 平面 BCC1 B1 .
2 2 因为 MC ? 1 , CN ? CC1 ? C1 N ? 5 ,

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC , E 为棱 BB1 上一点.
(Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; 以 .
D1 C1 B1



(Ⅱ)是否存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ?若存在,求

MN ? 6
??????4 分 (Ⅱ)证明:取 AB 中点 D ,连接 DM , DB1 . 在△ ABC 中,因为 M 为 AC 中点,所以 DM // BC , DM ? ??????5 分

B1 E 的值;若不存在,说明理由. BE

A1

1 BC . 2 1 在矩形 B1 BCC1 中,因为 N 为 B1C1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N ? BC . 2
所以 DM // B1 N , DM ? B1 N . 所以 四边形 MDB1 N 为平行四边形,所以 MN // DB1 . 因为 MN ? 平面 ABB1 A1 , DB1 ? 平面 ABB1 A1 , 所以 MN // 平面 ABB1 A1 . ??????7 分 ??????8 分 ??????9 分
A

E D B C

17.(本小题满分 14)

(Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体, ∴ D1 D ? 平面 ABCD ,??????1 分 又 AC ? 平面 ABCD
E D1 A1 B1

C1

(Ⅲ)解:线段 CC1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC1 中点时,有 A1B ? 平面 MNQ . ???11 分
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D O A B C

∴ D1 D ? AC

??????2 分

在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC 又 BD ? D1 D ? D ?????3 分 ??????4 分

∴ AC ? 平面 BB1 D1 D ,??????5 分 而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D ??????6 分 ∴ AC ? D1 E ??????7 分

(Ⅱ)存在一点 E ,使得 B1 D ∥平面 AEC ,此时

B1 E ? 1 . ??????8 分 BE



B1 E ? 1 时, E 为 B1 B 中点 BE

设 BD 交 AC 于点 O ,则 O 为 BD 中点 连接 OE ,在三角形 BB1 D 中, OE ∥ B1 D ??????10 分 ??????13 分 ??????14 分

B1 D ? 平面 AEC , OE ? 平面 AEC
∴ B1 D ∥平面 AEC

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