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高中数学作业结构调整的尝试


高中数学作业结构调整的尝试
摘要:本文在实践研究的基础上,对高中数学作业的结构、设计原则、批 改和反馈等问题作了探讨。全文共分三部分。第一部分主要对传统的高中 数学作业和学生对作业的态度作了调查分析研究,得出了传统的高中数学 作业不适应培养学生的创造性思维和创新能力,学生对作业的态度缺乏主 动性和积极性的弊端。提出用调整作业结构来改革传统作业的弊端的设 想。第二部分对高

中数学作业的特点和分类作了理论思考,并依据学生认 知结构的变化过程作为分类标准,提出把高中数学作业分为巩固性作业和 研究性作业来尝试高中数学作业结构的调整。第三部分在调整高中数学作 业结构的实践基础上,总结出了四种高中数学作业模式,高中数学作业的 设计原则和高中数学作业的批改与反馈方法。得出了新型的高中数学作业 结构不仅仅是知识的巩固和运用,还反映出学生智能结构的发展的结论。

关键词:高中数学、研究性作业

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2001 年起我们课题组以“高中数学作业结构调整的尝试”为题对传统 的高中数学作业进行分析、反思,研究高中数学作业的特点和分类,提出 了以促进学生主体性发展的高中数学作业结构。我国学者吴也显在他的著 作《教学论新编》中把教材分成三个系统:课题系统、图象系统和作业系 统。“作业系统如果安排的好,对学生自学能力和实践能力的培养有很大 的促进作用,同时也有利于教师改进教学方法”。① 一、传统的高中数学作业 传统的高中数学作业 ,以教材为中心,以高考为参照,由教师按习题的 难度组织起来布置给学生,组成一个基础型、提高型、竞赛型的训练链, 通过机械重复来加强记忆、巩固课堂教学的知识点。表一是课题组对我校 过去的教案中作业布置的调查结果。 表一:2000 年 11 月~12 月我校 48 节数学课作业情况表 课内作业 (选用次数) 《课本》 《练习册》 《一课一练》 自编练习卷 38 0 0 5 课外作业 (选用次数) 5 40 40 11

从上表中,可以看到 48 节数学课的作业大多是直接从《课本》、《练 习册》、《一课一练》上选择的,而这些书上的习题主要是巩固性练习。 自编的练习卷实际上也是搜集到的一批练习题的剪拼。这种作业与片面追 求升学率或应试教育相适应,它有许多弊端,如:问题的提出是课本和教 师;数据的提供是课本和教师;作业形式单一;作业不鼓励合作;重视结 果而不重视过程;对作业的评价是被动评价。

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这种“大海捞针”的战术浪费了学生多少宝贵的时间,而由于学生对 作业意图不能准确体会,从而大多数学生的学习成了上课听讲课后完成作 业的被动学习,也就谈不上作业的主动性与积极性了。表二是课题组对自 己任教的班级的学生对这种传统作业的态度所作的问卷调查结果。 表二:2000 年我校高二 7、8 班学生对数学作业的态度 乐于完成 (%) 男生 女生 合计 6.25 9.38 15.63 感到厌烦但能 独立完成(%) 35.42 34.37 69.79 感到厌烦只 感到厌烦不完

能抄袭(%) 成作业(%) 6.25 6.25 12.50 2.08 0 2.08

注:高二 7、8 班学生数是 96 人 从上表可以看出大多数学生(占 84.38%)对传统作业感到厌烦。抄袭 作业的比例男女大体相同,而乐于完成的比例女生略高与男生,但男生中 有 2.08%的同学不完成作业。这与男生的叛逆倾向不无关系。这种部分男生 对作业的态度倾向,可能也是男生的学业成绩不如女生的原因之一。 诚然,传统的高中数学作业已形成了许多较具操作性的模式,在培养学 生有效识记策略方面,功不可没。但这种作业是知识型教育阶段的产物, 它已不适应培养学生的创造性思维和创新能力。如今我国开展创造性教 育,教育要步入创造型教育阶段。用调整作业结构来改革传统作业的弊端 是数学学科教学中进行创新能力培养的有效方式。 二、高中数学作业的特点与分类 (一) 高中数学作业的特点 由于高中数学学科有其特点,所以高中数学作业也有其特殊性的表 现,这样高中数学作业不仅具有一般作业的特点,而且还有其自身的特 点。高中数学作业有以下几方面的特点:
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1. 高度的抽象概括性 数学知识较其他学科的知识(如物理、化学、生 物等)更抽象、更概括,其概括程度之高,使数学完全脱离了具体的事 实,仅考虑形式的数量关系和空间关系。数学作业中有很多习题使用了高 度概括的形式化数学语言、给出的是抽象的数量关系和空间关系。解应用 题或解决问题也是具体—抽象—具体的过程。高度的抽象概括性是高中数 学作业的一大特点。 2. 严谨性 “只有数学可以强加上一个有力的演绎结构,从而不仅可以 确定结果是否正确,还可以确定是否已经正确的建立起来。”②正是由于数 学的严谨性,所以高中数学作业同样具有严谨性。 3. 频繁性 高中课程中数学课在一周中天天都有,因此高中数学作业的 布置是极其频繁的。课堂上往往“将问题作为教学的出发点”和“变式训 练”③。每堂课后都有课外作业。学生在校期间天天都有数学作业。 (二) 高中数学作业分类 目前,作业在分类上,划分的角度很多,使作业的分类非常丰富。按 完成作业的空间分,有课内作业、课外作业;按作业的操作方式分,有口 头作业、书面作业和实践性作业;按作业的反馈时间分,有即时、短期和 中长期作业;按知识掌握的不同阶段分,有准备性、导入性、尝试性、巩 固性作业;按不同学习阶段分,有预习性、练习性、测验性和应用性作 业,还有开放性和内敛性,重复性和创造性作业等等。 “数学学习内容我们已知可分为三类:数学知识、数学活动经验和创 造性数学活动经验。这三类内容处于不同层次,它们就有相应的彼此关联 的三个层次的学习。前一层次的学习是后一层次学习的基础;后一层次的 学习是前一层次的发展。新的数学认知结构就是在这三个层次学习的基础 上形成的。”④因此我们以数学认知结构的变化过程为分类标准,把高中数 学作业分为巩固性作业和研究性作业来进行尝试。

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1. 巩固性作业 通过这一类作业的练习使学生掌握数学知识(原名、公 理、数学概念、数学定理、数学公式和法则等),掌握数学活动技能(数 学式子的变换技能、解方程和不等式的技能、作图技能、运算技能、使用 计算器的技能、论证技能等),逐步使学生的数学活动技能达到“自动 化”。 2. 研究性作业 研究性作业是一种全新的、开放的作业。研究性课题的 提出往往是学生在教师的引导、启发下确定,或直接由学生独立提出的。 而完成“课题”的研究通常可以由学生独自进行,也可以由若干个学生 (一般是 2-4 名)在教师的指导下发挥团队力量合作进行的。通过“课题” 的研究使学生善于发现问题、解决问题,提高他们的数学方面的能力。 三、高中数学作业结构调整的尝试 (一) 高中数学作业结构调整的实践探索 2001 年起我们课题组以主动作业为主题,进行了许多有益的探索,形 成了一些较典型和生动的高中数学作业新模式。 1.自选作业 做法:教师按教学单元提供大量的数学巩固性作业,教师只提一个每 天完成作业的最低量的要求,让学生自由选择完成。 特色与优势:尊重了学生的选择,改善了作业效果,学生享受到了做 作业的主人的快乐。 2.分层矫正作业 做法:教师在一个教学单元结束时进行“形成性测验”,根据测验结 果将学生分成“合格”和“需努力”两个层次。教师提供矫正作业,要求 “需努力”的学生独立完成后交给“合格”的学生批改讲评。 特色与优势:班级授课制下学生的学习结果不会整齐划一的,教师不 在教学单元开始时将学生进行层次划分,而在教学单元结束时划分。这样

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做有利于学生在教学单元的学习过程中学会自主选择作业。而矫正作业的 分层次要求,有利于形成互帮互助的学习风气。提高学生完成作业的主动 性和积极性。 3.自编“测验”作业 做法:章节结束时教师指导学生自编学习测验,把自编测验当作作 业。教师重在指导学生学会章节知识内容的整理,逐步在题型与内容上建 立联系。可分工合作编制,也可个体独立编制完成。每次编题后要求学生 提交章节知识内容整理、测验卷和考查的知识点等成果。教师取样讲评, 学生互评、互测。 特色与优势:发挥了以往考试评价未曾发挥的交流作用;学生在编题 过程中学会了知识的归类和整理,在一定程度上摸拟了知识的运用过程; 编题后的自测,增强了学生的自信心和健康的竞争意识,愉悦身心;学生 通过担当评价者的角色,参与了对作业设计和完成结果的评价,提高了他 们的自我价值感。 以上三种作业模式,“自选作业”、“分层矫正作业”、“自编‘测 验’作业”是对传统作业的改革,采用 B.S 布卢姆的“掌握性学习”策 略。图一是学生学习解析几何(华师大版教材《数学》第十一、十二章) 各单元的掌握性学习测试结果图。
达到掌握水平的学生比例数(%)

100 90 80 70 60 50 矫正过程 40 30 20 10 A B A B A B A B A B A B A B 形成性测试

图一:掌握性学习测试结果图 注:形成性测试卷 A 在单元教学结束时发下,形成性测试卷 B 在矫正后发下
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从图一可以看到,开始时学生不适应这种改革,他们突然从传统的作 业“负担”中解放出来,不知所措,达到掌握水平的比例很低。但是多次 为学生学习目标定向、矫正后他们漫漫懂得了如何选择作业,他们做作业 变的积极主动,有针对性,达到掌握水平的比例成螺旋式上升。 以上三种作业模式均属于巩固性作业,以巩固“双基”为目的。 4.研究性作业 做法:①教师给定范围或专题,学生选题;②学生搜集整理资料;③ 反馈与修正;④形成作业成果;⑤汇报交流,进行评价。 特色与优势:教师给定范围,学生有更大的选择自由,完成时空跨度 大,可以寻求合作伙伴,有创造性,与生活紧密结合,加速了个体的社会 化,可以培养学生信息利用等能力。与传统作业比较,探索研究性作业有 明显的优势:⑴探索研究性作业往往是综合的专题学习,学生在驾驭专题 学习中容易成为学习活动的主人,有利于学生创新思维与能力的培养;⑵ 作业完成时间较长,作业反馈相应延迟,时空的广阔,有利于提高学生学 习的自觉性,提高学生广泛搜集信息的意识和能力;⑶重视从单独完成到 合作完成,有利于培养学生的合作精神;⑷作业过程、完成方式和评价方 式等方面的开放性。 研究性作业是对传统作业的结构性调整,针对传统作业的弊端:“问 题的提出是课本和教师;数据的提供是课本和教师;解答的外开放性;作 业形式单一;作业不鼓励合作;重视结果而不重视过程;对作业的评价是 被动评价。”而设计的作业模式。我们借鉴英特尔?未来教育理念,为学生 提供与学习内容紧密相关的研究课题,学生带着问题,边学习,边研究, 提高了数学学习的层次,把自己的研究成果与同学交流、共享,增强了学 生学习数学的兴趣和信念,合作意识和创新精神也得到了培养。 如,立体几何(华师大版《数学》第八章学完后,我们为学生提供了 下面一个作业:

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表三:“空间的角”作业要求表 作业内容 “空间的角” 引导学生通过对课题的研究从“纵、横”几方面 作业目的 归纳整理知识将“空间的角”这一新知识纳入到 原有的认知结构中 完成时间 作业成果 1~2 周 研究报告、小论文、网页等

通过 1~2 周的饶有兴趣认真的合作研究,硕果累累,《试论空间角规 定的合理性》、《异面直线所成角的确定方法》、《“擎天柱”与二面角 的平面角的寻找方法》等等。通过交流,分享,同学们说我们对“空间的 角”有了更深的认识。“空间的角”作业摘录如下: “角是一个平面概念。空间的线线、线面、面面也会有角的形象,如 直线与平面相交时就给我们以角的形象,但为什么要规定直线与该直线在 这个平面内的射影所成的锐角为直线和平面所成的角呢?……” “确定异面直线所成角的方法通常有两种方法。一、运用中位线定 理,二、运用平行四边形。 例一:正三棱锥 S-ABC 中 E、F 分别是 AB、SC 的中点。设侧棱和底面 边长都是 a,求异面直线 SE 与 BE 所成的角的大小。 【分析】本题取 EC 的中点 G,利用中位线定理可得∠GFB 就是异面直
S

D1 A1
F

C1 G B1

A G E B

C

D B

C

A

例一
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例二

线 SE 与 BE 所成的角。解三角形 GFB 即可得∠GFB= arccos

2 。 3

例二:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=3,CD=4,AA1=5,求异面直线 BD1 与 AB1 所成角的大小。 【分析】本题延长 A1B1 到 G 使 B1G=A1B1,利用平行四边形性质即可得 ∠D1BG 是异面直线 BD1 与 AB1 所成角。 ……”

“求二面角的大小关键确定二面角的平面角我们研究发现如下图是确 定二面角的平面角的一种最常用的方法,我们把 线段 PQ 称为“擎天柱”因为有了它二面角的平面角 就可有三垂线定理得到了。……” ……
α P β Q O

a

又如,数列(华师大版《数学》第十三章)学习前我们为学生提供下 面一份作业: 表四:数列作业要求表 作业内容 搜集家庭中日常生活事例,用数学方法进行分 析、比较 使学生体会生活中到处有数学,学会对生活现象 作业目的 进行抽象与概括,学会建立数学模型解决实际问 题 完成时间 作业成果 3周 研究报告、小论文、网页等

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3 周后,同学们在成果交流会上,交流了《买那家的电视机合算》、 《按揭贷款购房研究》、《家庭理财研究》等等研究成果。同学们说原来 生活中处处有数学。 (二) 高中数学作业结构 高中数学作业结构中应包含巩固性作业和研究性作业。巩固性作业主 要是落实单元教学的知识目标,巩固基本知识和基本技能。培养学生的演 绎、归纳的思维能力、运算能力和空间想象能力,培养学生的公理化与结 构思想、函数思想及转化思想等数学思想方法。研究性作业是研究性学习 的材料,主要是让学生学会搜集信息、处理数据、制作图表、分析原因、 推出结论来解决实际问题的方法。学会把实际问题归结为数学模型,然后 运用数学方法进行探索、猜测、判断、论证、运算、检验,使问题得以解 决。学会使用数学语言表达和交流。培养学生实事求是的科学态度,顽强 的学习毅力和独立思考、探索创新的精神和合作交流意识。 高中数学的作业结构,如下图:
高中数学课程的总目标

教学单元目标

课堂教学目标

研究性作业

巩固性作业

评价 yes 新的教学单元目标

no

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(三) 高中数学作业的设计原则 学生作业的目的在于巩固和消化所学的知识,并使知识转化为技能技 巧,发展能力。正确组织好学生作业,对于培养学生的独立工作的能力和 习惯,发展学生的智力和创造才能有着重大意义,因此,教师应重视作业 的设计。 然而设计作业并非想象的那么简单。要让作业发挥最大的效益,教师 在教学工作中还得讲究一定的方法。我们设计作业时注意了以下几方面原 则。 1. 作业的目的性 即作业要体现高中数学课程的总目标、教学单元目标、课堂教学应达 到的教学目标,学生通过练习能进一步巩固知识,使思维能力得到进一步 发展。简单而言,就是作业练习什么,教师心中要有数。对学习难度较大的 内容,教师设计作业应侧重放在把握重点,突破难点上。对学生易接受, 知识连贯性强的内容,宜设计有关开发智力,提高思维力的作业。这样既 能保证让学生能依时完成作业,也能让他们在体会成功喜悦的同时发展他 们的智力。 2. 作业的针对性。 即作业能体现教学内容的层次,适合思维能力层次不同的学生。针对 教材和学生实际,教师要精选设计作业题。设计的作业不符合学生实际能 力和需要,或太难,或太深,学生不会做,无结果,他们的兴趣和情绪就 受到影响。困难性作业应是学生在熟练掌握“双基”的前提下力能胜任 的,且要考虑多数同学的适应性。 3. 作业的差异性。 班级授课制下,由于学生智力与非智力因素的不同会造成学生学习水 平的不同,因材施教,区别对待则可缩这种差距。当然,它需要贯穿于教 学工作的每一个环节。作业设计也不例外。可据学生水平把学生分开两组

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或三组,分类布置作业。也可在布置作业同时,布置适量选做题。按量力 性原则因材施教,显然行之有效,但须注意,不能因此走入降低教学标准 的误区。 4. 作业的重现性。 有代表性、典型性、关键性的作业不要认为学生做过就过关,必须有 目的,有计划地安排一定程度的重现性作业,才能保证学生获得牢固的知 识和熟练的技能。但要注意重现并不等同于机械的重复,要注意作业数量 适当,难易适度,让学生能完成。 5. 作业的开放性 作业要有一定的开放性,要让学生有自我发挥的余地。可根据学生的 数学知识、数学技能和能力,结合教材适当设计一些探索性作业,引导鼓 励学生提出问题,寻找伙伴完成研究性作业。 (四) 高中数学作业的批改和反馈 以往批改学生的数学作业,通常以答题正、误为标准,教师用 “? ”、“ ╳”来评价学生的作业。而学生解题的思路、方法、习惯、能 力、品质等并不能从中反映出来。那么,如何进一步改革批阅学生的数学 作业呢?实践中我们作了以下两点改革: 1. 用“○”、“?”或写评语等来代替“╳”、“?”。 2. 改变作业由教师一个人评判为教师批改、学生互批、学生讲评交流 等多种方式。 这样做有利于启发学生开动脑筋,培养学生思维能力。有利于激发学 生学习数学的兴趣,养成良好的学习习惯。有利于帮助学生寻求疑问及改 正错误,逐步提高学生学习数学的自控能力,有利于培养学生的主体意 识。

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新型的高中数学作业结构在我校高二年级的数学教学的实践表明:新 型的高中数学作业结构中不仅仅是知识的巩固和运用,还反映出学生智能 结构的发展。我们的探索仅是一个开始,我们还将不断探索和实践。
注释: ① 吴也显:《教学论新编》,教育科学出版社。 ② 汉 斯 ? 弗 赖 登 塔 尔 ( Hans Freudenthal ) : 《 作 为 教 育 任 务 的 数 学 》 , Mathematics as an Educational Task ,D.Reidel Publishing Company ,1973。 ③ 顾泠沅、郑润洲、李秀玲:《青浦实验启示录》,上海教育出版社 ④ 曹才翰、蔡金法:《数学教育学概论》,江苏教育出版社。 〔浦勇烽 张斌 上海市青浦高级中学 201700〕

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