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2012解析几何题合集一(含答案)


考点一、点、直线、圆的位置关系问题 1、在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 (2, ) 到直线 l 的距离为 2、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

π 6



?x ? t ? 3 (参数 t ? R ) ,圆 C 的参数 ?y ? 3 ? t

/>方程为 ?

? x ? cos ? (参数 ? ?[0, 2? ] ) ,则圆 C 的圆心坐标为_______,圆心到直线 l 的距 ? y ? sin ? ? 2

离为______。 3、已知曲线 C1 , C 2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? ? 4 cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? 则曲线 C1 与 C 2 交点的极坐标为 4、 若直线 l1 : ? .

?
2

),

? x ? 1 ? 2t ?x ? s ( t 为参数) 与直线 l2 : , ( s 为参数) 垂直, k ? 则 ? ? y ? 2 ? kt ? y ? 1 ? 2s



5、在极坐标系 ? ? , ? ? (0 ? ?<2? ) 中,曲线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的 交点的极坐标为 。 考点二、直线、圆的方程问题 1、经过圆 x2 ? 2x ? y2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 A、 x ? y ? 1 ? 0 B、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? y ? 1 ? 0

2、 若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切, 则圆 O 的 方程是
2 2 A. ( x ? 5) ? y ? 5 2 2 B. ( x ? 5) ? y ? 5

C. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5

D. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 .

3、以点 (2, ? 1) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 考点三、圆锥曲线的几何性质

1、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

2、在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A ? 2,1? 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点,则该抛物线的准线方程是



4) 3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点 P (2, ,
则该抛物线的方程是 .

4、 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为

3 , 两个焦点分别为 F1 和 F2 , 2

椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12 ,圆 C k : x2 ? y2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的 圆心为点 Ak ; (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?Ak F F2 的面积; 1 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G ? 请说明理由。

x2 y2 2 5、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 , a b 2
点 P(2,

3 ) 满 足 F2 在 线 段 PF1 的 中 垂 线 上 . (1) 求 椭 圆 C 的 方 程 ; (2) 如 果 圆 E :

1 ( x ? )2 ? y 2 ? r 2 被椭圆 C 所覆盖,求圆的半径 r 的最大值 2

0) 6、如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A( ?2, ,直角顶点

y

B (0, ?2 2) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点.
(1)求 BC 边所在直线方程; (2) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心, 求圆 M 的方程; A P O C x

B

(3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程.

考点四、曲线(轨迹)方程的求法 1、已知曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且

xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为
D .设点 P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (代入法) (2)若曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

2、一条双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P( x1, y1 ) , Q( x1, ? y1 ) 是双曲 2

线上不同的两个动点。 (1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H ? 0, h ?? h ? 1? 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 , 求 h 的值。

考点五、直线与圆锥曲线位置关系问题 1、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相

x2 y 2 ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . 切于坐标原点 O ,椭圆 2 ? a 9
(1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 使 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

2、设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图 4 所示,过点 2b 2 b 2
y F G F1 A O 图4 B x

F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为 G ,
已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A 、 B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛

物线上是否存在点 P ,使得 △ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并 说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .

考点六、直线与圆锥曲线的综合问题 1、设 F 为抛物线 y2 ? 4x 的焦点, A B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , , 则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6
2

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) C.4 D.3

2、 F,F2 分别是双曲线 x ? 设 1 则 PF1 ? PF2 ? ( A. 10

???? ???? ? y2 ? 1 的左、 右焦点. 若点 P 在双曲线上, PF1 ?PF2 ? 0 , 且 9

???? ???? ?

) C. 5 D. 2 5

B. 2 10

3、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C (0, c) 任作一直线,与抛物线

y ? x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于
P, Q ,
(1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切线; (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。

??? ??? ? ?

4、已知双曲线 x2 ? y2 ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于

A,B 两点.
(I)若动点 M 满足 F1M ? F1 A ? F1B ? FO (其中 1 ,求点 M 的轨迹方程; O 为坐标原点) ??? ??? ? ? (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常 数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明 理由.

?????

???? ???? ????

x2 y 2 2 5、设椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点分别为 F1 ? ?1,0? 、 F2 ?1,0 ? ,直线 l : x ? a 交 x a b ???? ???? ? 轴于点 A ,且 AF1 ? 2 AF2 .
(1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 、 F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点(如图所 示) ,试求四边形 DMEN 面积的最大值和最小值.

6、如图,直线 l1 : y ? kx ? 1 ? k (k ? 0, k ? ? ) 与 l 2 : y ?

1 2

1 1 x ? 相交于点 P 。直线 l1 与 2 2

x 轴交于点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 l2 于点 Q1 ,过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 l1 于点 1 1
过点 P 作 x 轴的垂线交直线 l 2 于点 Q2 , 这样一直作下去, ?, 可得到一系列点 P ,Q1 , P2 , 2 1

P2 , Q2 ,…。点 Pn ? n ? 1, 2,3,?? 的横坐标构成数列 ?xn ? 。
(Ⅰ)证明 xn?1 ? 1 ?

1 ( xn ?1), n ? N ? ; 2k

(Ⅱ)求数列 ?xn ? 的通项公式; (Ⅲ)比较 2 PP 与 4k 2 PP1 n
2
2

? 5 的大小。

解析几何与其它知识的交汇专题复习 一、解析几何与平面向量的交汇
例 1 在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点为 A ? 0, ?1? 、 B ? 0,1? 平面内两点 G 、 M 同时 满足:① GA ? GB ? GC ? 0 ,② MA ? MB ? MC ,③ GM // AB 。 (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程。

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ??? ? ?

Q (2) P 、 、R 、N 都在曲线 E 上, 设 定点 F 的坐标为

?

? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 已知 PF // FQ ,RF // FN 2, 0 ,

?

且 PF ? RF ? 0 ,求四边形 PRQN 的面积 S 的最大值和最小值。

例 2 已知定点 A ? ?1, 0 ? 、B ?1,0 ? ,P 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 4? ? 4 上的动点, PA ? PB 求
2 2

2

2

的最大值和最小值。

二、解析几何与导数的交汇 例 3 已知抛物线 C1 : y ? x 2 ? 2x 和 C 2 : y ? ?x 2 ? a ,如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线, 称 l 是 C1 和 C2 的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段。 (Ⅰ) a 取什么值时, C1 和 C2 有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程; (Ⅱ)若 C1 和 C2 有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分。

三、解析几何与数列的交汇 例 4 已知抛物线 x2 ? 3 y , 过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P , 又过点 P 1 1

1 1 的直线交抛物线于点 P ,再过 P 作斜率为 的直线交抛物线于点 P ,?,如此 2 2 3 3 9 1 继续,一般地,过点 P 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 P ?1 ,设点 Pn ? xn , yn ? 。 n n 3
作斜率为 (1)令 an ? x2n?1 ? x2n ?1 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列。 (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试比较

4 1 的大小。 S n ? 1与 3 8n ? 65

变式题:在直角坐标平面上有一点列 P ? x1 , y1 ? , P ? x2 , y2 ? ,?, P ? xn , yn ? ,?,对 一切正整数 n , P 位于函数 y ? 3x ? 点 n 为公差的等差数列 ? xn ? 。 (1)求点 P 的坐标; n (2)设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ?,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物 线 cn 的顶点为 P ,且过点 Dn 0, n2 ? 1 ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 kn ,求: n

13 5 的图象上, P 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1 且 n 4 2

?

?

1 1 1 。 ? ?? ? k1k2 k2 k3 kn ?1kn

四、解析几何与函数的定值、最值问题的交汇 解析几何中有关定值和最值的题型往往需要建立目标函数, 从而转化为函数的定值、 最 值来解决。 例 5 已知椭圆的中心在 O ,右焦点为 F ,右准线为 L ,若在 L 上存在点 M ,使线段 OM 的 垂直平分线经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. [

2 ,1) 2

B. (0,

3 ] 2

C. [

3 ,1) 2

D. (0,

2 ] 2

例 6 点 A 、 B 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在 36 20

椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离 等于 MB ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

参考答案
考点一:1、2 考点二:1、C 考点三:1、

3 5

6 25 2 2 2、D 3、 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 5 2、 x ? ? 3、 y2 ? 8x 4

2、 ? 0, 2?

2 2

3、 (2 3,

?

)

4、 k ? ?1

5、 (1,

?
2

)

4、 【解】 (1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c ; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? 2 2 2 则?c ? 3 , 解得 ?c ? 3 3 , ∴ b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? ? ? ? ?a 2
所求椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ?1。 36 9
1 1 ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

(2)点 Ak 的坐标为 ? ?k , 2 ? , SV AK F1F2 ?

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k ? 0 可知点 ? 6,0 ? 在圆 C k 外,

若 k ? 0 ,由 (?6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k ? 0 可知点 ? ?6,0 ? 在圆 C k 外; 所以,不论 k 为何值圆 C k 都不能包围椭圆 G 。 解(1) :椭圆 C 的离心率 e ?

2 c 2 2 2 ,得: ? ,其中 c ? a ? b ,椭圆 C 的左、右焦 2 a 2

点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上,

? F1F2 |?| PF2 |,? (2c) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 ? c) 2 ,??3 分 |
解得 c ? 1, a 2 ? 2, b 2 ? 1,

? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

??6 分

(2)如果圆 E: ( x ? ) ? y ? r 被椭圆 C 所覆盖,求圆的半径 r 的最大值
2 2 2

1 2







P

( x0 , y0 )







C









点 y

,



2 x0 x2 1 2 2 2 ? y0 ? 1 , | PE |? ( x0 ? )2 ? y0 ,? y0 ? 1 ? 0 , 2 2 2

1 x2 ?| PE |? ( x0 ? ) 2 ? 1 ? 0 ? 2 2

1 2 5 x0 ? x0 ? ( ? 2 ? x0 ? 2 ) . ?12 分 2 4 P A

C O x

B

当 x0 ? 1 时, | PE |min ?

3 1 5 3 ,? 半径 r 的最大值为 .?14 分 ?1? ? 2 2 4 2

解: (1)∵ k AB ? ? 2, AB ? BC , ∴ kCB ?

2 , 2

(3 分)

∴ BC : y ?

2 x ? 2 2. 2

(5 分)

(2)在上式中,令 y ? 0, 得 x=4,即 C (4, 0),

∴圆心 M(1,0) (7 分) . (9 分)

又∵︱AM︱=3, ∴外接圆 M 的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 . (3)∵P 为 OA 的中点,∴P(-1,0). ∵圆 N 过点 P(-1,0) ,︱PN︱是该圆的半径, 又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴MN=3-︱PN︱,即 MN ? PN ? 3 .

(11 分) (12 分)

P ∴点 N 的轨迹是以 M, 为焦点,长轴长为 3 的椭圆.
∴a ?

3 5 2 2 , c ? 1, b ? a ? c ? , 2 4

∴轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5 4 4

(14 分)

考点四: 1、解: (1)联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, xB ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 1 5 2 2 的中点 M 坐标为 ( x, y) ,则 x ? ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在 ,y ? 2 2 2 2
曲线 C 上,

5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和 2 2 8 1 1 5 11 2 点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? 2 4 4 8 1 5 y (? ? x ? ) 。 4 4 51 x 2 2 2 (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? ?0, 25 B x 49 D 2 2 即圆 E : ( x ? a) ? ( y ? 2) ? ,其圆心坐标为 E (a,2) , A o 25 x 7 半径 r ? 5
∴ 2y ?

由图可知,当 0 ? a ?

2 时,曲线 G : x2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ? 0 与点 D 有公共点; 25

当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ? 直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

51 只需圆心 E 到 ? 0 与点 D 有公共点, 25
7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的最小值 5 5

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

为?

7 2 。 5

2、解: (1)由 A1 、 A2 为双曲线的左右顶点, A1 (? 2, 0) , A2 ( 2, 0) 。

A1 P : y ?

y1 ? 0 ?y ? 0 ( x ? 2) , A2Q : y ? 1 ( x ? 2) ,两式相乘得: x1 ? 2 x1 ? 2

y2 ?

? y12 y2 1 x2 ( x 2 ? 2) ,而点 P ? x1 , y1 ? 在双曲线上,所以 1 ? y12 ? 1 ,即 2 1 ? , 2 x1 ? 2 x1 ? 2 2 2

故 y2 ? ?

x2 1 2 ( x ? 2) ,即 ? y 2 ? 1 。 2 2

(2)设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h。 k

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
2 2 由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k 2h2 ? 4(1? 2k 2 )(2h2 ? 2) ? 0 ,即 1 ? 2k ? h 。

同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ?

1 1 ? h 2 ,消去 h 2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 ,从而 2 k k

h 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 。
考点五: 1、解:(1) 设圆 C 的圆心为 ? m, n ? ,则 ?

? ?

m ? ?n

? n? 2 ? 2 2 ?

,解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

所求的圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 。 (2) 由已知可得: 2a ? 10 ,∴ a ? 5 椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,右焦点为 F ? 4,0 ? ; 25 9

假设存在 Q 点 ?2 ? 2 2 cos? , 2 ? 2 2 sin ? 使 QF ? OF ,

?

?

? ?2 ? 2

2 cos ? ? 4 ? 2 ? 2 2 sin ?

? ?
2

?

2

?4

2 2 整理得: sin ? ? 3cos? ? 2 2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 ,

得: 10cos

2

? ? 12 2 cos? ? 7 ? 0 , cos ? ?

?12 2 ? 8 ?12 2 ? 2 2 ? ? ?1 10 10

因此不存在符合题意的 Q 点。 2、解: (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,∴ G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

y' ?

1 x , y ' |x?4 ? 1,过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 4

令 y ? 0 得: x ? 2 ? b ,∴ F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) , 由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,∴ 2 ? b ? b 即 b ? 1, 即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1 和 x2 ? 8( y ?1) 。 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P , ∴以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个,同理,∴以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x, x 2 ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 ( ? 2, 0) 和

??? ??? ? ? 1 1 4 5 2 ( 2, 0) , PA?PB ? x2 ? 2 ? ( x2 ? 1)2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4 关于 x 的二次方程有一大于零的解,∴ x 有两解,即以 ?APB 为直角 Rt ?ABP 有两个,因 此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。
考点六:1、B 2、B
2
2 3、解: (1)设过 C 点的直线为 y ? kx ? c ,所以 x ? kx ? c ? c ? 0 ? ,即 x ? kx ? c ? 0 ,

1 8

??? ? ??? ??? ? ? ? x , y ? , B ? x2 , y2 ? , OA = ? x1 , y1 ? , OB ? ? x2 , y2 ? ,因为 OA ? OB ? 2 ,所以 设A 1 1
2 2 x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ,即 x1 x2 ? ? kx1 ? c ??kx2 ? c ? ? 2 , x1 x2 ? k x1 x2 ? kc ? x1 ? x2 ? ? c ? 2
2 2 k 所以 ?c ? k c ? kc? ? c ? 2 ,即 c ? c ? 2 ? 0, 所以 c ? 2 ( 去c ? ?1舍)

??? ?

2

(2)设过 Q 的切线为 y ? y1 ? k1 ? x ? x1 ? , y ' ? 2 x ,所以 k1 ? 2x1 ,即

y ? 2 x1 x ? 2 x12 ? y1 ? 2 x1 x ? x12 ,它与 y ? ?c 的交点为 M ?

? x1 c ? ? , ?c ? ,又 ? 2 2 x1 ?

? c ? x ? x y ? y2 ? ? k k 2 ?k ? P? 1 2 , 1 ? ? ? 2 , 2 ? c ? ,所以 Q ? 2 , ?c ? ,因为 x1 x2 ? ?c ,所以 ? x ? x2 , 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1 ?x x ? ?k ? 所以 M ? 1 ? 2 , ?c ? ? ? , ?c ? ,所以点 M 和点 Q 重合,也就是 QA 为此抛物线的切线。 ? ?2 2 ? ?2

(3) (2)的逆命题是成立,由(2)可知 Q ?

?k ? ?k ? , ?c ? ,因为 PQ ? x 轴,所以 P ? , yP ? ?2 ? ?2 ?

因为

x1 ? x2 k ? ,所以 P 为 AB 的中点。 2 2

4、解:由条件知 F (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 0) 0) 1 (I)设 M ( x,y ) ,则 则 F1M ? ( x ? 2,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) ,

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1B ? FO 得 FO 0) 1 1

? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? y ? y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 ? y
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y ? , ?. ? 2 2?

y y ? y2 y y 2 ? ? 当 AB 不与 x 轴垂直时, 1 ,即 y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 x ?8 2
2 2 2 2 又因为 A B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得 ,

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y2 ? 4 . x ?8

0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程.
所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y2 ? 4 .

0) CB (II)假设在 x 轴上存在定点 C ( m, ,使 CA? 为常数.
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y2 ? 2 有 (1? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k 2 ?1 k ?1

CB 于是 CA? ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2

??? ??? ? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m 2

?

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1

?

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1

因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1,此时 CA? = ? 1 . CB CB

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ,
CB (1 ? 此时 CA? ? (1,2)? , 2) ? ?1 . ??? ??? ? ?

, 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数. CB
5、解: (1)由题意, F F2 ? 2c ? 2 ,∴ A(a2 ,0) , 1

??? ??? ? ?

???? ?

???? ???? ? AF1 ? 2 AF2 ,∴ F2 为 AF1 的中点 ∵
2 2 ∴ a ? 3 , b ? 2 ,即:椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2

(2)当直线 DE 与 x 轴垂直时, DE ? 2 ?

b2 4 ,此时 MN ? 2a ? 2 3 ,四边形 ? a 3

DMEN 的面积 s ?
的面积 s ?

DE ? MN 2 ?4.

? 4 .同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN

DE ? MN 2

当直线 DE , MN 均与 x 轴不垂直时,设 DE : y ? k ? x ? 1? ,代入消去 y 得:

(2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ,设
D ? x1 , y1 ? , E ? x2 , y2 ? ,则

? ?6k 2 x1 ? x2 ? ? ? 2 ? 3k 2 。所以, ? 3k 2 ? 6 ?x x ? ? 1 2 2 ? 3k 2 ?

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
, 所以, DE ?

4 3 ? k 2 ?1 3k 2 ? 2

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 3 ? (k 2 ? 1) , 3k 2 ? 2

1 1 4 3 ? [(? ) 2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k ? 同理 MN ? ,所以四边形的面积 1 2 3 2 ? 3(? ) 2? 2 k k

s?

DE ? MN 2

1 4 3 ? (k ? 1) ? ? ? 2 3k 2 ? 2
2

4 3(

1 1 ? 1) 24( k 2 ? 2 ? 2) 2 k k ? 3 1 2? 2 6(k 2 ? 2 ) ? 13 k k

令u ? k2 ?

24 ? 2 ? u ? 4 1 ? 4? ? 2 ,得 s ? 2 13 ? 6u 13 ? 6u k

1 96 , ? 2 ,当 k ? ?1 时, u ? 2 , s ? 2 k 25 96 且 s 是以 u 为自变量的增函数,所以 ? s ? 4. 25 96 96 综上可知, ? s ? 4 .故四边形 DMEN 面积的最大值为 4 ,最小值为 . 25 25
因为 u ? k 2 ? 6、(Ⅰ)证明 设点 Pn 的坐标是 ( xn , yn ) ,由已知条件得 点 Qn , Pn?1 的坐标分别是:

1 1 1 1 ( xn , xn ? ),( xn?1 , xn ? ) 。 2 2 2 2
由 Pn ?1 在直线 l1 上,

1 1 xn ? ? kxn?1 ? 1 ? k. 2 2 1 1 所以 ( xn ? 1) ? k ( xn?1 ? 1) ,即 xn?1 ? 1 ? ( xn ? 1), n ? N ? 。 2 2k 1 1 1 (Ⅱ)解: 由题设知 x1 ? 1 ? , x1 ? 1 ? ? ? 0 , (Ⅰ) xn?1 ? 1 ? ( xn,)? 又由 知 1 k k 2k 1 所以 数列 ?xn ? 1?是首项为 x1 ?1,公比为 的等比数列。 2k 1 1 1 ? 从而 xn ? 1 ? ? ? ( ) n?1 , 即 xn ? 1 ? 2 ? ( ) n , n ? N 。 k 2k 2k


n? N? ,

? y ? kx ? 1 ? k ? (Ⅲ) 解:由 ? 1 1 ,得点 P 的坐标为 ?1,1? 。 ?y ? 2 x ? 2 ?
所以 2 PP n
2

? 2( xn ?1)2 ? 2(kxn ? 1 ? k ? 1)2 ? 8 ? (

1 2n 1 ) ? 2( )2 n?2 , 2k 2k

1 2 4k 2 PP ? 5 ? 4k 2 [(1 ? ?1)2 ? (0 ? 1)2 ] ? 5 ? 4k 2 ? 9 。 1 k 1 1 1 2 ( i ) 当 k ? ,即 k ? ? 或 k ? 时, 4k 2 PP ? 5 ? 1? 9 ? 10 。 1 2 2 2
而此时 0 ?

1 ? 1, 所以 2 PP n 2k

2

? 8 ?1 ? 2 ? 10.故 2 PP ? 4k 2 PP ? 5 。 n 1
2 2

(ii ) 当 0 ?

1 1 1 1 2 ? , 即 k ? (? ,0) ? (0, ) 时, 4k 2 PP ? 5 ? 1? 9 ? 10 。 1 2k 2 2 2

而此时

1 2 2 2 ? 1 ,所以 2 PP ? 8?1? 2 ? 10 ,故、 2 PP ? 4k 2 PP ? 5 。 n n 1 2k

例 1:分析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征; (2)要把握好直线与椭圆的位置关系,弦长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 解析: (1)设 C ? x, y ? ,∵ GA ? GB ? ?2GO 由①知 GC ? ?2GO , ∴ G 为 ?ABC 的重心,∴ G( , ) ,由②知 M 是 ?ABC 的外心,∴ M 在 x 轴上。 由③知 M ( , 0) ,由 MA ? MB 得 ( )2 ? 1 ? ( x ? )2 ? y 2 ,化简整理得:

??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

x y 3 3

x 3

????

????

x 3

x 3

x2 ? y 2 ? 1? x ? 0 ? 。 3
(2)F

?

2, 0 恰为

?

x2 2 ? y 2 ? 1 的右焦点, PQ 的斜率为 k ? 0 且 k ? ? 设 , 则直线 PQ 3 2

的方程为 y ? k x ? 2 ,由 ?

?

?

?y ? k x ? 2 ?
2 2

?

?

?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

2 2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 6 2k x ? 6k ? 3 ? 0

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

6k 2 ? 3 6 2k 2 , x1 x2 ? ,则 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

PQ ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 2 3(k 2 ? 1) ) ?4 2 ? 。 3k 2 ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1

2 3(k 2 ? 1) 1 ∵ RN ? PQ ,把 k 换成 ? ,得 RN ? , 3? k2 k
∴S ?

1 6(k 2 ? 1)2 8 PQ RN ? ? 2? 2 2 1 2 (3k ? 1)(3 ? k ) 3(k 2 ? 2 ) ? 10 k

∴ 3(k 2 ? ∴

1 8 1 8 。∵ k 2 ? 2 ? 2 ,∴ ) ? 10 ? ? 16 , 2 k 2?S k 2?S

3 。又当 k 不存在或 k ? 0 时 S ? 2 ? S ? 2 (当 k ? ?1 时取等号) 2 3 3 综上可得 ? S ? 2 ,∴ Smax ? 2 , Smin ? 。 2 2
点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系及 不等式,转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 例 2:分析:因为 O 为 AB 的中点,所以 PA ? PB ? 2PO ,故可利用向量把问题转化为求向 量 OP 的最值。 解析:设已知圆的圆心为 C ,由已知可得: OA ? ? ?1,0? , OB ? ?1,0? ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴ OA ? OB ? ? 0,0? , OA? OB ? ?1 ,又由中点坐标公式得 PA ? PB ? 2PO , 所以 PA ? PB ? ( PA ? PB) ? 2 PA?PB ? (2 PO) ? 2(OA ? OP) ?(OB ? OP)
2 2

??? ??? ? ?
??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? ? 4 PO ? 2OA? ? 2 OP ?(OA ? OB) ? 2 OP ? 2 。 OB
又因为 OC ? ? 3, 4? ,点 P 在圆 ? x ? 3? ? ? y ? 4? ? 4 上,
2 2

??? ?

所以 OC ? 5 , CP ? 2 ,且 OP ? OC ? CP 所以 OC ? CP ? OP ? OC ? CP ? OC ? CP ,即 3 ? OP ? 7 。 故 20 ? PA ? PB ? 100 。所以 PA ? PB 的最大值为 100 ,最小值为 20 。
2 2 2 2

????

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决, 也会显得自然、简便、而且易入手。
2 例 3: (Ⅰ)解:函数 y ? x 2 ? 2x 的导数 y ' ? 2 x ? 2 ,曲线 C1 在点 P x1 , x1 ? 2x1 的切线

?

?

方程是:

y ? ?x12 ? 2x1 ? ? ?2x1 ? 2??x ? x1 ? ,即 y ? ?2x1 ? 2?x ? x12 ①
2 函数 y ? ?x 2 ? a 的导数 y ' ? ?2 x , 曲线 C2 在点 Q x2 ,?x2 ? a 的切线方程是 2 2 y ? ??? x2 ? a? ? ?2x2 ?x ? x2 ? ,即 y ? ?2x2 x ? x2 ? a

?

?



如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线,则①式和②式都是 l 的方程, 所以 ?

? x1 ? 1 ? ? x2 ?? x ? x ? a
2 1 2 2

2 ,消去 x 2 得方程 2x1 ? 2x1 ? 1 ? a ? 0

若判别式 ? ? 4 ? 4 ? 2?1 ? a? ? 0 时,即 a ? ?

1 1 时解得 x1 ? ? ,此时点 P 与 Q 重合。 2 2 1 1 即当 a ? ? 时 C1 和 C2 有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为 y ? x ? 。 2 4 1 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知.当 a ? ? 时 C1 和 C2 有两条公切线 2
设一条公切线上切点为: P?x1 , y1 ? , Q?x2 , y 2 ? 。 其中 P 在 C1 上, Q 在 C2 上,则有 x1 ? x2 ? ?1,
2 y1 ? y 2 ? x12 ? 2 x1 ? ? x 2 ? a ? x12 ? 2 x1 ? ?? x1 ? 1? ? a ? ?1 ? a 2

?

?

线段 PQ 的中点为 (?

1 ?1? a , )。 2 2

同理,另一条公切线段 P'Q' 的中点也是 (? 所以公切线段 PQ 和 P'Q' 互相平分。

1 ?1? a , )。 2 2

例 4:分析: (1)由抛物线的方程和斜率公式得到

2 2 1 xn ?1 ? xn 1 1 ? n ? xn ?1 ? xn ? n ?1 ,从 3 xn ?1 ? x2 3 3

而求出 ?bn ? 的通项公式; (2)用数学归纳法证明。
2 2 解析(1)因为 Pn ? xn , yn ? 、 Pn ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? 在抛物线上,故 xn ? 3 yn ,① xn ?1 ? 3 yn ?1 ②又

因为直线 P P ?1 的斜率为 n n

y ? yn 1 1 ,即 n?1 ? ,①、②代入可得: n xn?1 ? xn 3n 3

2 2 1 xn ?1 ? xn 1 1 ? n ? xn ?1 ? xn ? n ?1 , 3 xn ?1 ? x2 3 3

∴ an ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) ? 故

1 3
2 n ?1

?

1 3
2 n ?2

??

2 3
2 n ?1



an?1 1 2 1 ? ,所以数列 ?an ? 是首项为 ? ,公比为 的等比数列。 an 9 3 9
?

2 1 1 4 n (2) S n ? 3 (1 ? n ) ? n ? S n ? 1,故只要比较 9 与 8n ? 65 的大小。 1 9 9 3 1? 9
方法一:
1 2 9n ? ?1 ? 8 ? ? 1 ? Cn 8 ? Cn 82 ? ? ? 1 ? 8n ? n

n ? n ? 1? 2 8 ? 1 ? 8n ? 64 ? 8n ? 65 ? n ? 3 ? , 2

当 n ? 1 时,

4 1 4 1 ;当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? ;当 n ? 3 时, Sn ? 1 ? 3 8n ? 65 3 8n ? 65 4 1 。 Sn ? 1 ? 3 8n ? 65

k 方法二:用数学归纳法证明,其中假设 n ? k ? k ? 3, k ? N ? 时有 9 ? 8k ? 65 ,

那么当 n ? k ?1 , 9

k ?1

? 9? k ? 9 ?8k ? 65? ? [8 ? k ? 1? ? 65] ? 64k ? 512 ? 8 ? k ? 1? ? 65 。 9

点评:本题考查了解析几何与递推数列、数学归纳法的综合应用,其中(2)的方法 1 用到 了二项式展开式以及放缩法,这个方法很重要,要引起重视。 变式练习:解析: (1)∵ xn ? ? ∴ P (?n ? n

5 3 13 5 ? ? n ? 1? ? ? ?1? ? ?n ? 。∴ yn ? 3xn ? ? ?3n ? , 2 2 4 4

3 5 , ?3n ? ) 。 2 4

(2)∵ cn 的对称轴都垂直于 x 轴,且顶点为 P ,设 cn 的方程为: n

y ? a( x ?

2n ? 3 2 12n ? 5 ,把 Dn 0, n2 ? 1 代入上式,得 a ? 1 , ) ? 2 4

?

?

∴ cn 的方程为 y ? x ? ? 2n ? 3? x ? n ? 1 。 kn ? y '
2 2

x ?0

? 2n ? 3 ,



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), kn?1kn ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] k1k2 k2 k3 kn?1kn 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3



1 1 1 1 1 。 ? ( ? )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
点评:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大, (2)两问运用几何知识算出 kn 。 (1) 例 5:解析:主要到以形助数的特点,借助平面几何知识的最值构建使问题简单化,由于线

c 段 OM 的垂直平分线经过点 F ,则 MF ? OF ? ,利用平面几何折线段大于或等于直线
段(中心到准线之间的距离) ,则有 2c ?

a2 2 ,∴ e ? ,选 A 。 c 2

点评: 离心率的范围实质为一个不等式关系, 如何构建这种不等关系?可以利用方程和垂直 平分线性质构建。 利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化, 回味本题 的探究过程,认识解析几何中“以形助数”简化运算途径。 例 6:分析:设椭圆上动点坐标为 ( x, y) ,用该点的横坐标将距离 d 表示出来,利用求函数 最值的方法求 d 的最小值。解析: (1)由已知可得点 A ? ?6, 0 ? 、 F ? 0, 4 ? ,设点 P ? x, y ? ,

? x2 y 2 ??? ? ??? ? ?1 ? ? 则 AP ? ? x ? 6, y ? , FP ? ? x ? 4, y ? ,由已知可得 ? 36 20 ,则 ?? x ? 6 ?? x ? 4 ? ? y 2 ? 0 ?
2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0 , x ?

5 3 3 3 或 x ? ?6 。由于 y ? 0 ,只能 x ? ,于是 y ? , 2 2 2

∴点 P 的坐标是 ( ,

3 5 3 (2) 设点 M ? m,0 ? , M 则 ) 。 直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 2 2
m?6 m?6 ? 6 ? m ,又 ?6 ? m ? 6 ,解得 m ? 2 。椭圆上 ,于是 2 2

2

到直线 AP 的距离是 的

? x, y ?
2? ? x
2





M





离 ,? x

d


2



d2 ? ?

?y

42 ? x

5 4 4 ? x 2 ?0 2 9 9

9 2

? (

x

) ?

1 ? 5

?

由于 ?6 ? m ? 6 ,∴当 x ?

9 时, d 取得最小值 15 。 2

点评:解决有关最值问题时,首先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等) ,建立目 标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解。 例 7:分析: (1)待定系数法; (2)利用夹角公式将 ?F PF2 的正切值用 y0 表示出来,利用基本不等式求其最值。 1

解析: 1)设椭圆方程为 (

x2 y 2 a2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , 半 焦 距 为 c , 则 MA ? ? a, 1 a2 b c

A1 F1 ? a ? c ,

? 2a ? 4 ? 2 x2 y 2 ?a ? ? 1。 由题意,得 ? ? c ? 2 ? a ? c ? 解得 a ? 2 , b ? 3 , c ? 1 ,故椭圆方程为 4 3 c ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
(2)设 P ? m, y0 ? , m ? 1,当 y0 ? 0 时, ?F PF2 ? 0 ; 1 当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1PF2 ? ?PF1M ? 直线 PF 的斜率 k1 ? 1 ∴ tan ?F1 PF2 ?

?
2

,∴只需求 tan ?F PF2 的最大值即可。 1

y0 y0 ,直线 PF2 的斜率 k2 ? , m ?1 m ?1

2 y0 k1 ? k2 1 ? ? 。 1 ? k1k2 2 m2 ? 1 y0 m2 ? 1

当且仅当 m ? 1 ? y0 时, ?F PF2 最大。 1
2

点评: (1)利用椭圆的有关知识和方法联立关于 a 、 b 、 c 的方程组,然后求解; (2)注意对 y0 是否等于 0 要进行讨论,再运用均值不等式求解。


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