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第3章 复习与小结


高中数学

选修2-1

姓名:孟



单位:姜堰市蒋垛中学

复习回顾
1.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向 量 p,存在有序实数组{x,y,z},使 p=xa+yb+zc. 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间

任一点 P,都存在惟一的有序实数组{x,y,z},使
OP=xOA +yOB+zOC .

2.向量法求空间角的方法 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称 这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α. 如果 a⊥α,那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. (1)异面直线所成角的求法: 从两异面直线上分别取与之共线的两向量 n1, n2, 如图①, |n1· n2 | cosθ= . |n1|· |n2|

(2)线面角的求法: 设 n 是平面 α 的法向量, AB 是直线 l 的方向向量,
AB n

如图②,则直线 l 与平面 α 所成的角满足 sinα= AB n .
(3)二面角的求法: ①如图①,AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与 l 垂
AB CD

直的异面直线, 则二面角 α-l-β 的平面角 θ 满足 cosθ= AB CD .

②设 n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个 角 α,β 的法向量,在图②中二面角 α-l-β n1· n2 的平面角 θ 满足 cosθ= . |n|1· |n2| 在图③中二面角 α-l-β 的平面角 θ 满足 n1· n2 cosθ= . |n1|· |n2|

热点突破
题型一
例1

利用空间向量证明空间位置关系

如图,正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平

面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,

∠AEF=45°.
(1)求证:EF⊥平面BCE; (2)设线段CD,AE的中点分别为P,M,

求证:PM∥平面BCE.

知识点总结:

空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路:
一是利用相应的判定定理和性质定理去解决; 二是利用空间向量来论证.即证直线的方向向量和平面

法向量间的关系.要注意体会运用向量解决问题的优越性.

题型二
例2

利用空间向量求空间角

如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是

BC的中点,平面B1EDF交A1D1于点F.
(1)指出F在A1D1上的位置,并说明理由; (2)求直线A1C与DE所成角的余弦值; (3)求直线AD与平面B1EDF所成角的正弦值.

知识点总结: 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1)建立恰当的空间直角坐标系. (2)求出相关点的坐标. (3)写出向量坐标. (4)结合公式进行论证、计算. (5)转化为几何结论.

回顾小结
本节课学习了以下内容: 1.复习了空间向量的各个知识点 2.熟悉用向量来判断空间线线、线面、面面关系 及用向量的空间的角的距离;

3.熟练掌握各类思想方法和解题技巧.


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