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炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷(一)理科数学(学生)


炎德英才大联考〃长沙一中 2015 届高三月考试卷(一) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。 ) 1、若集合 M= ?1, 2? ,N= ?1, 2,3? ,P= x x ? ab, a ? M , b ? N ,则集合 P 的元素个数为 (

?

?



A、3 B、4 C、5 D、6 2、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次。设命题 p 是“甲落地站稳” ,q 是“乙 落地站稳” ,则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为( ) G A、 p ? q B、 p ? ? ?q ? F· · C、 ? ?p ? ? ? ?q ? D、 ? ?p ? ? ? ?q ? E· 3、如右图所示方格纸中有定点 O、P、Q、E、F、G、H,则 OP ? OQ 等于( ) A、 OG C、 EO B、 OH D、 FO O · P· )
开始

·Q
H

·

4、复数 m ?3 ? i ? ? ? 2 ? i ? ( m ? R , i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入某个正整数 n 后, 输出的 S ? ? 31,72? ,则 n 的值为( A、5 C、7
x



S=0, k=1
输入 n

B、6 D、8

?1? 1 6、若 f ? x ? ? ? ? ? , x0 是 f ? x ? ? 0 的一个实根, x1 ? ? ??, x0 ? , ?2? x ) x2 ? ? x0 ,0? ,则(
A、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 B、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 C、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 D、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0

S=1+2S k=k+1 k>n?
是 输出 S 结束 否

7、若将函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位得到 g ? x ? 的图象,若函数 g ? x ? 为偶函数,则 ? 的最小值为( ) D、 )

? ? 3? A、 B. C、 8 8 4 8、设 x, y ? R ,p: x ? y ,q: x ? y ? sin ? x ? y ? ? 0 ,则 p 是 q 的(
A、充分不必要条件 C、充要条件

3? 4

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 9、当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) ?x ? 1 ? ? 1 ? ?3 5? ? 3 1? ? 3? A、 ? ? , ? ? B、 ? ? ,1? C、 ?1, ? D、 ? , ? ? 2 ? ?2 2? ? 2 2? ? 2? 1 10、已知 A ?1,0 ? ,点 B 在曲线 G: y ? ln ? x ?1? 上,若线段 AB 与曲线 M: y ? 的交点恰好为 AB 的中点, x
则称 B 为曲线 G 关于 M 的一个关联点,记曲线 G 关于 M 的关联点的个数为 a,则( ) a ? 0 a ? 1 a ? 2 a ? 2 A、 B、 C、 D、
-1-

请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置: 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 ) ?? ? 11、已知角 ? 的终边经过点 ? ?4,3 ? ,则 sin ? ? ? ? = ; ?2 ? 1 a 12、已知 4 ? , lg x ? a ,则 x ? ; 2
13、若 f ? x ? = x 3 ? x 2 ,则满足 f ? x ? ? 0 的 x 取值范围为
2 1



14、已知 a, b, c 均为单位向量,且满足 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? c ? a ? c 的最大值是

?

??

?



15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,?其中从第三 个数起,每一个数都等于它前面两个数的和。该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性。 比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越接近黄金分割比 0.6180339887?,人们称该数列 ?an ? 为“斐波那契数列” 。

若把该数列 ?an ? 每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 ?bn ? ,则: (1)在数列 ?bn ? 中,第 2014 项的值是 (2)数列 ?bn ? 中,第 2014 个值为 1 的项的序号是 ; 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? =2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R 。 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 有零点,求实数 a 的取值范围。

17、 (本小题满分 12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2。 (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径。

B A

D C
-2-

18、 (本小题满分 12 分)某工厂的统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n(千件) ( n ? N? ,且 1 ? n ? 98 ) 的关系表如下: n p 1 2 3 4 ? ? 98 1

2 99

1 49

2 97

1 48

又知每生产 1 千件正品盈利 a 千元,每生产 1 千件次品损失 a 千元。 (Ⅰ )将该厂日盈利额 T(千元)表示为日产量 n(千件)的函数关系式; (Ⅱ )为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少千件?

19、 (本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? ?1 ? cos (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

? ?

2

n? 2

? 2 n? , n ? N? 。 ? an ? sin 2 ?

a2 n?1 , Sn ? b1 ? b2 ? a2 n

。 ? bn ,证明: Sn ? 2 ( n ? N? )

-3-

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与一等轴双曲线相交,M 是其中一个交点,并 a 2 b2 且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1 , F2 ,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,△ MF1F2 的周长为 4 2 ? 1 。
20、 (本小题满分 13 分)如图,椭圆

?

?

设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,且直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点 分别为 A、B 和 C、D。 (Ⅰ )求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ ) (ⅰ)证明: k1k2 ? 1 ; (ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 A B ? C D?? 的值;若不存在,请说明理由。
y P A M C F1 O F2 x

? 恒成立?若存在,求 AB ? C D

B

D

21、 (本小题满分 13 分)已知 x ? a 、 x ? b 是函数 f ? x ? ? ln x ? 若

1 2 x ? ? m ? 2 ? x ( m ? R )的两个极值点, 2

b ?4。 a

(Ⅰ )求实数 m 的取值范围;

(Ⅱ)求 f ?b? ? f ? a ? 的最大值;

-4-


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