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2014浙江理科数学试卷答案

时间:2014-07-13


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)设全集 U ? ?x ? N | x ? 2?,集合 A ? x ? N | x ? 5 ,则 CU A ? (
2

?
<

br />?



A. ? 【答案】B 【解析】

B. {2}

C. {5}

D. {2,5}

?U = {2,3,4??}, A = {3, ,4??},∴Cu A = {2}, 选B.

(2)已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ (a ? bi ) ? 2i ”的(
2



A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? (a + bi) 2 = a 2 - b 2 + 2abi= 2i ∴ a 2 - b 2 = 0,2ab = 2. ∴ a = b = 1, 或a = b = -1. ? a = b = 1, ∴ (a + bi) 2 = 2i, 是充分条件, ? (a + bi) 2 = 2i,∴ a = b = 1, 或a = b = -1.∴ 不是必要条件, 综上,是充分不必要条 件.选A.

(3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是 A. 90 cm 2 B. 129 cm 2 C. 132 cm 2 D. 138 cm 2

【答案】D 【解析】

几何体下底面面积 S下 = 3 * 4 * 3 = 36,上底面面积 S上 = 6 * 4 + 3 * 5 = 39. 前后面面积S前后 = 3 * 4 * 3 = 36.右面面积S右 = 3 * 6 = 18.左面面积S左 = 3 * 3 = 9. ∴几何体表面面积 S = S下 + S上 + S前后 + S右 + S右 = 138 。选D.
4.为了得到函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图像,可以将函数 y ? A.向右平移 C.向右平移 【答案】C 【解析】

2 sin 3 x 的图像(



?

?
12

4

个单位 个单位

B.向左平移 D.向左平移

?
?
4

个单位 个单位

12

π π π ? y = sin 3x + cos3x = 2 sin(3x + ) = 2 sin 3( x + ) ∴把y = 2 cos3x = 2 sin(3x + ) 4 12 2 π π = 2 sin 3( x + )右移 可以得到。选 C. 6 12

5.在 (1 ? x) (1 ? y )
6

4

的 展 开 式 中 , 记 x y

m

n

项 的 系 数 为

f (m, n) , 则
( )

f (3,0) ? f (2,1) ? f (1,2) ? f (0,3) ?
A.45 【答案】C 【解析】 B.60 C.120 D. 210

? ( 1+ x)6 (1+ y) 4 = (?+ 20x3 + 15x 2 + 6 x + 1)(?+ 4 y 3 + 6 y 2 + 4 y + 1) ∴f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3)= 20+ 15* 4 + 6 * 6 + 1* 4 = 120. 选C.

6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 且0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3, 则(
3 2



A. c ? 3 【答案】C 【解析】

B. 3 ? c ? 6

C. 6 ? c ? 9

D. c ? 9

.由题知, 0 < -1+ a - b + c = -8+ 4a - 2b + c = -27+ 9a - 3b + c ≤ 3.解得a = 6, b = 11,0 < -6 + c ≤ 3 ∴c ∈(6,9],选C.

7.在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? x a ( x ? 0), g ( x) ? log a x 的图像可能是(



【答案】D 【解析】

y = x a,y′= axa-1,y′′= a(a - 1) x a -2 . 当a > 0, a ≠ 1为单调递增的,且过 (1,1)点.当a ∈ (0,1)时, ? y′′< 0,∴图像是凸的; 当a ∈ (1, +∞ )时, ? y′′> 0,∴图像qq373780592 凹是的. 当a > 1时,y = loga x递增;当a ∈ (0,1)时,y = loga x递减. ∴只有D正确 : a ∈ (0,1), y = loga x递减, y = x a 过(1,1)点、递增、且是凸的 所以,选D.

8.记 max{x, y} ? ?

? x, x ? y ? y, x ? y , min{x, y} ? ? ,设 a, b 为平面向量,则( y , x ? y x , x ? y ? ?



A. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} B. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} C. min{| a ? b |
2

,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2 ,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2

D. min{| a ? b | 【答案】D 【解析】

2

? (a ±b) 2 = a + b ±2ab, ∴不论ab正负零, a + b + 2ab和a + b - 2ab中总有一个≥ a + b .即max{(a + b) 2 , (a - b) 2 } ≥ a + b .其它都不对 .选D.
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

9.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 ? m ? 3, n ? 3? ,从乙盒中 随机抽取 i ? i ? 1, 2 ? 个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?
i

? i ? 1, 2 ? ;

(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi ? i ? 1, 2 ? .

则 A. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ?? 2 ? C. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ?? 2 ? 【答案】A 【解析】 B. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ?? 2 ? D. p1 ? p2 , E ??1 ? ? E ?? 2 ?

令m = 3, n = 3 1 3 (1)从乙中取 1个后,甲中的红球可能 是1,2,概率均为 ,∴ Eξ1 = . 2 2 从乙中取2个后,甲中的红球可能 是3,2,1 ,概率qq373780592 分别 p(3) =
1 1 C32 6 C3 C3 18 C32 6 3 * 6 + 2 *18+ 1* 6 = , p ( 2 ) = = , p ( 1 ) = = ,∴ Eξ 2 = =2 2 2 2 C6 30 C6 30 C6 30 30

∴ Eξ 2 > Eξ1 (2)从乙中取 1个后,再从甲中取 1个,是红球的概率 p1 = 11 1 3 + = 22 2 4 6 18 2 6 1 20 从乙中取2个后,再从甲中取 1个,是红球的概率 p2 = + + = 30 30 3 30 3 30 ∴ p1 > p2 .选A.
2 2

10.设函数 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? 2( x ? x ), f 3 ( x) ?

1 i | sin 2?x | , ai ? , i ? 0,1,2,? ,99 ,记 3 99

I k ?| f k (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ? ? ? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , k ? 1,2,3. 则
A. I1 ? I 2 ? I 3 【答案】 【解析】 B B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

ai+1 - ai =

i+1 i 1 2i + 1 - = , ai+1 + ai = 99 99 99 99 1 2i + 1 2 2 f1 (ai+1 ) - f1 (ai ) = ai+1 - ai = ? 99 99 1 1+ 3+ ?+ 2 ? 98+ 1 ( )=1 99 99

I1 =| f1 (a1 ) - f1 (a0 ) | + | f1 (a2 ) - f1 (a1 ) | + ?+ | f1 (a99 ) - f1 (a98 ) |=

2 2i + 1 2(98- 2i ) (1 ) = 99 99 99? 99 I 2 =| f 2 (a1 ) - f 2 (a0 ) | + | f 2 (a2 ) - f 2 (a1 ) | + ?+ | f 2 (a99 ) - f 2 (a98 ) | f 2 (ai+1 ) - f 2 (ai ) = 2[(ai+1 - ai ) - (ai+1 - ai )] =
2 2

=

2 2 200? 49 (98+ 96+ ?+ 0 + 2 + ?+ 98) = ? (2 + 98) ? 49 = <1 99? 99 99? 99 99? 99

1 i+1 i f 3 (ai+1 ) - f 3 (ai ) = [sin(2π ? ) - sin(2π ? )] 3 99 99 I 3 =| f 3 (a1 ) - f 3 (a0 ) | + | f 3 (a2 ) - f 3 (a1 ) | + ?+ | f 3 (a99 ) - f 3 (a98 ) | 1 25 74 8 25 = [2 sin(2π ? ) - 2 sin(2π ? )] = sin(2π ? ) > 1 3 99 99 3 99 所以,I 3 > I1 > I 2,选B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出的结果是________.

【答案】 【解析】

6

变量变化情况如下 (n = 50, s = 2 s + i ): S i 0 1 4 11 26 57 1 2 3 4 5 6 所以,i = 6
1 , E ?? ? ? 1 ,则 D ?? ? ? ________. 5

12.随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P ?? ? 0 ? ?

【答案】 【解析】

2 5

1 4 3 设p(ξ = 1 ) = p, 则p(ξ = 2) = 1 - - p,E (ξ) = 0 + p + 2( - p) = 1, 解得p = 5 5 5 1 3 1 2 2 ∴ Dξ = (1- 0)2 + (1- 1)2 + (1- 2)2 = .所以,Dξ = 5 5 5 5 5

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 13.当实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ? x ? 1, ?
________.

【答案】 【解析】

3 [1, ] 2

计算三条直线x + 2 y - 4 = 0, x - y - 1 = 0, x = 1的三角形区域的顶点, 3 分别是(1,0), (1, ), (2,1).代入目标函数 1 ≤ax+ y ≤4, 解得1 ≤a ≤4, 2 1 5 3 3 - ≤a ≤ 4,0 ≤a ≤ .所以, a ∈][1, ] 2 2 2 2

14.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答). 【答案】 60 【解析】
2 1 5张空奖券分配情况有: 2,2,1,0,或2, 1,1,1.第一种情况: A4 , 第二种情况: C4 2 1 1 3 接着分配3张有奖券,第一种情况: A4 ? C3 = 36, 第二种情况: C4 ? A3 = 24

所以, 共有60种 情 况
2 ? ? x ? x, x ? 0 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是______ 2 ? ? x , x ? 0 ?

15.设函数 f ? x ? ? ?

【答案】 【解析】

(- ∞ ,2 ]

(1)设f (t ) ≤2, 则t 2 + t ≤ 2, 且t < 0, 解得t ∈[-2,0) ;或 - t 2 ≤ 2, 且t ≥0, 解得t ∈[0,+ ∞) ;∴t ∈[-2,+ ∞ ) (2)设f ( x) ∈[-2,+ ∞ ) , 解得x ∈ (- ∞ ,2 ].此题用图像法解更简洁 . 所以,a的取值范围为( -∞ ,2 ]

16.设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )两条渐近线分别交于点 a2 b2

A, B ,若点 P(m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________

【答案】 【解析】

5 2

b b b ? 渐近线方程为y = ± x, 设A( x1 , x1 ), B ( x2 ,- x2 ), P (m,0), a a a 且A, B也在直线x - 3 y + m = 0上 b ma ma ∴ x1 - 3 x1 + m = 0, 解得x1 = ,同理解得x2 = a 3b - a - 3b - a x1 + x2 bx1 - bx2 1 ∴ AB中点D( , ), 且K AB = , K PD = -3 2 2a 3 bx1 - bx2 1 ∴ ? = -3,联立得bx1 - bx2 + 3a ( x1 + x2 - 2m) = 0, x1 + x2 2a -m 2 ma ma (b + 3a ) x1 + (3a - b) x2 - 6am = 0, (b + 3a ) + (3a - b) - 6am = 0, 3b - a - 3b - a b + 3a b - 3a b x+ 3 x - 3 1 + - 6 = 0,令x = , 则 + - 6 = 0, x 2 = 3b - a 3b + a a 3x - 1 3x + 1 4 c2 a2 + b2 5 c 5 5 ∴ 2= = 1+ x 2 = ∴ = .所以, 离心率为 2 a a 4 a 2 2

17、如图,某人在垂直于水平地面 为 ,某目标点 沿墙面的射击线 的仰角 的大小.若

的墙面前的点 处进行射击训练.已知点 到墙面的距离 移动,此人为了准确瞄准目标点 ,需计算由点 观察点 则 的最大值

【答案】 【解析】

5 3 9

? AB = 15, AC = 25,∴ BC = 20.设P点到地面垂足为 N , h = PN , 则 PC = 2h, NC = 3h, NB =| NC - BC |=| 3h - 20 | ,AN = NB 2 + AB2 = ( 3h - 20) 2 + 152 = 3h 2 - 40 3h + 252, tanθ = PN h = = AN 3h 2 - 40 3h + 252 1 340 3 252 + 2 h h

?3 -

40 3 252 20 3 20 3 2 27 25 5 + 2 ≥ 3 - 40 3 + (25 ) = ∴ tanθ ≤ = 3 2 2 h h 25 25 25 27 9 5 所以, tanθ的最大值为 3 9

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。

c ? 3, 18. (本题满分 14 分) 在 ? ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 a ? b ,
cos 2 A - cos 2 B = 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(I) 求角 C 的大小; 4 (II) 若 sin A ? , 求 ? ABC 的面积。 5
【答案】

(1) 【解析】 (1)

π 3

(2)

1 8+ 8 3 25

? c o 2s A - c o 2s B = 3 s i n Ac o s A- 3s i n Bc o B s ,∴ 3 s i n 2A - c o 2 s A= 3 s i n 2B - c o 2 s B, π π π π π π ∴ s i( n2B - ) = s i( n2 A - ) ∴ 2 B - = 2 A - , 或2 B - + 2 A - = π. 6 6 6 6 6 6 2 π ?a ≠ b ∴ A ≠B,∴ 解得A + B = π,所以C = . 3 3
(2)

π 4 3 3 ?C = , sin A = ∴ cosA = , 或 3 5 5 5 ? sin B = sin( A + C ) = sin A cosC + cos A sin C = c a = ∴a = sin C sin A 1 1 8 ∴ S ΔABC = ac sin B = ? ? 2 2 5 ? c = 3, 8 . 5 3? 4 + 3 3 18+ 8 3 18+ 8 3 = .所以,三角形面积为 10 25 25 4+ 3 3 4-3 3 ,或 < 0(舍去) 10 10

19(本题满分 14 分) 已 知 数 列 ?an ? 和 ?bn ? 满 足 a1a2 ? an ?

? 2 ? ?n ? N ? . 若 ?a ? 为 等 比 数 列 , 且
bn ?
n

a1 ? 2, b3 ? 6 ? b2 .

(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ?
1 1 ? n ? N ? 。记数列 ?cn ?的前 n 项和为 S n . an bn

?

?

(i)求 S n ; (ii)求正整数 k ,使得对任意 n ? N ? ,均有 S k ? S n .
【答案】 (1) 省略 【解析】 (1)

(2)

4

设公比为q,? a1a2 a3 ? an = a1 q
b3 1 b2

n

n -1 n 2

= 2 2 ∴ ( 2q 2 ) n = 2 2

bn

n -1

bn

∴(2q)3 = 2 2 , (2q 2 ) 2 = 2 2 , 解得3b2 = b3 + 6 ?,3b2 = b3 + 6, b3 = b2 + 6,∴b2 = 6, b3 = 12, q = 2. ∴ 2 所以an = 2 n , bn = n(n + 1)
(2)
n+1 n 2 bn

=22

cn =

1 1 1 1 1 1 1 - = n= n+ an bn 2 n(n + 1) 2 n + 1 n

1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (i ) S n = ? 2 + ( - + - + - + ?+ - ) = 1- n + - = - n 1 2 2 1 3 2 4 3 n+1 n 2 n+1 1 n+1 2 12 1 1 所以,S n = - n ,n ∈ N * n+1 2 1 1 1 1 1 1 (n + 1)(n + 2) - 2 n+1 (ii )令S n+1 - S n = + = = n + 2 2 n+1 n + 1 2 n 2 n+1 (n + 1)(n + 2) 2 n+1 (n + 1)(n + 2) ? 指数函数2 n+1比二次函数(n + 1)(n + 2)变化快, ∴ 令S n+1 - S n > 0, 解得n < 4. ∴ S1 , S 2 , S3 , S 4递增.S 4 , S5 , S 6 ,? S n递减, S 4最qq373780592 大 所以,当k = 4时,S k ≥S n .

20. ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 A ? BCDE 中 , 平 面 ABC ? 平 面

BCDE , ?CDE ? ?BED ? 900 , AB ? CD ? 2, DE ? BE ? 1, AC ? 2 .
(1)证明: DE ? 平面 ACD ; (2)求二面角 B ? AD ? E 的大小

【答案】

[ Ⅰ ] 省略 【解析】 [ Ⅰ ]

[ Ⅱ ]

π 6

在平面四边形BCDE中,BC = 2. 在三角形ABC中,AB = 2,BC = 2 , AC = 2 , 符合勾股定理, AC ⊥ BC. ? 面ABC ⊥ 面BCDE, 面ABC ∩ 面BCDE = BC, AC ⊥ BC,∴ AC ⊥ 面BCDE ?AC ⊥ DE, ? AC ⊥ DE, DE ⊥ DC, 且AC ∩DC = C ,∴ DE ⊥ 面ACD.

[ Ⅱ ]

由(1)知,分别以 CD, CA为X , Z轴正向,以过 C平行DE为X轴正向建立坐标系 .则 B(1,1,0), A(0,0, 2 ), D(2,0,0), E (2,1,0).∴ AB = (1,1,- 2 ), AD = (2,0,- 2 ), DE = (0,1,0) 设面ABD法向量n1 = ( x1 , y1 , z1 ),则n1 AB = n1 AD = 0,解得n1 = (1,1, 2 ). 设面ADE法向量n2 = ( x2 , y2 , z 2 ),则n2 AE = n2 AD = 0,解得n2 = (1,0, 2 ). 设面ABD与面ADE夹角为θ,则cosθ =| cos< n1 , n2 >|= π 所以,面ABD与面ADE夹角为 . 6 1+ 0 + 2 3 = 2 1+ 1+ 2 1+ 0 + 2

21(本题满分15分)

如图, 设椭圆 C : 在第一象限.

x2 y2 且点 P ? ? 1?a ? b ? 0 ?, 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P , a2 b2

(1)已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

【答案】

P(
[ Ⅰ ] 【解析】 [ Ⅰ ]

- a 2k a 2k 2 + b2

,

b2 a 2k 2 + b2

)
[ Ⅱ ] 省略

由题知k < 0,设P (x0 , y 0 ) x 2 y2 2x 2yy′ 对 2 + 2 = 1求导得 : 2 + 2 = 0 a b a b 2 2 2x 2y0 k x y ∴ 20 + 2 = 0, 02 + 02 = 1,联立求得: a b a b 2 -a k b2 - a 2k b2 x0 = ,y 0 = ,所以, P( 2 2 , ) a 2k 2 + b2 a 2k 2 + b2 a k + b2 a 2k 2 + b2
[ Ⅱ ]

设直线l斜率为k < 0,直线l1方程qq3737380592 为x + ky = 0. 点P( - a 2k a 2k 2 + b2 - a 2k , b2 a 2k 2 + b2 kb2 )到直线l1的距离

d =| =

+ 2 2 a 2k 2 + b2 a k + b2 |= k2 +1 (a 2 - b 2 ) ≤

- k(a2 - b 2 ) (k 2 + 1)a2 k 2 + b 2 (a 2 - b 2 ) = (a 2 - b 2 ) 2ab+ a 2 + b 2 = a -b

b2 2 a 2k 2 2 + a 2 + b2 k 所以,点P到直线l1的距离最大值为 a - b.
2 2

b2 a k + 2 + a 2 + b2 k

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? a (a ? R ).
3

(1)若 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a ), m(a ) ,求 M (a ) ? m(a ) ; 设 b ? R, 若 ? f ? x ? ? b? ? 4 对 x ? ?? 1,1? 恒成立,求 3a ? b 的取值范围.
2

【答案】 [ Ⅰ ]

1 1 M (a ) - m(a ) = 4,a ≥ 1; 或8,a ≤ -1;或4 - 3a - a 3, - 1< a < ; 或2 + 3a - a 3, ≤ a<1 3 3
[ Ⅱ ] [-2, 0] 【解析】 [ Ⅰ ]

f ( x) = x 3 + 3 | x - a | ,x ∈[-1,1]. 若f ( x) = x 3 + ( 3 x - a) , 则f ′( x) = ( 3 x 2 + 1) ≥ 0,f ( x)递增 ↑ . 若f ( x) = x 3 - ( 3 x - a) , 则f ′( x) = ( 3 x 2 - 1) ≤ 0,f ( x)递减 ↓ . 讨论如20140619 qq373780592 下. ( 1)当a ≥ 1时,f ( x) = x 3 - ( 3 x - a) ,由前知,M (a ) = f (-1) = 2 + 3a, m(a ) = f (1) = 3a - 2,M (a ) - m(a ) = 4. (2)当a ≤ -1时,f ( x) = x 3 + ( 3 x - a) ,由前知,M (a ) = f (1) = 4 - 3a, m(a ) = f (-1) = -4 - 3a,M (a ) - m(a ) = 8. (3)当 - 1< a < 1时, (3 - 1)当 - 1 ≤x ≤a时,f ( x) = x 3 - ( 3 x - a) ,由前知,f ( x) ∈[ f (a ), f (-1)]. (3 - 2)当a < x ≤ 1时,f ( x) = x 3 + ( 3 x - a) ,由前知,f ( x) ∈ (f (a ), f (1)]. ∴ m( a ) = f ( a ) = a 3 1 f (1) = 4 - 3a, f (-1) = 2 + 3a, 令f (1) - f (-1) = 2 - 6a > 0,解得a < , 所以 3 1 (3 - 3)当 - 1< a < 时,M (a ) = f (1) = 4 - 3a, M (a ) - m(a ) = 4 - 3a - a 3 . 3 1 (3 - 4)当 ≤ a < 1时,M (a ) = f (-1) = 2 + 3a, M (a ) - m(a ) = 2 + 3a - a 3 . 3 4,a ≥ 1 8,a ≤ -1 综上, M (a ) - m(a ) = 4 - 3a - a 3, - 1< a < 1 3

1 2 + 3a - a 3, ≤ a<1 3
[ Ⅱ ]

?[ f ( x) + b]2 ≤4, x ∈[-1,1],∴ -2 ≤f ( x) + b ≤2 ∴ 3a + b ≥ 3a - 2 - m(a), 且3a + b ≤ 3a + 2 - M (a ),由qq373780592 上知, ( 1)当a ≤ -1时, 3a + b ≥ 3a - 2 - m(a)= 3a - 2 + 4 + 3a = 6a + 2, 3a + b ≤ 3a + 2 - M (a ) = 3a + 2 - 4 + 3a = 6a - 2, ∴ 3a + b ≥ 6a + 2, 且3a + b ≤ 6a - 2, 显然空集. (2)当a ≥ 1时, 3a + b ≥ 3a - 2 - m(a)= 3a - 2 - 3a + 2 = 0. 3a + b ≤ 3a + 2 - M (a ) = 3a + 2 - 3a - 2 = 0. ∴ 3a + b ≥ 0, 且3a + b ≤ 0,∴ 3a + b = 0. 1 (3)当 - 1< a < 时, 3a + b ≥ 3a - 2 - m(a)= 3a - 2 - a 3 . 3 3a + b ≤ 3a + 2 - M (a ) = 3a + 2 - 4 + 3a = 6a - 2. 令3a - 2 - a 3 ≤ 6a - 2, 解得a ≥ 0, 1 3 ∴当0 ≤a < 时, 3a + b ≥ 3a - 2 - a(递增 ↑ ) ≥ -2 3 且3a + b ≤ 6a - (递增 2 ↑ ) <0 ∴ 3a + b ≤ [-2,0) 1 (4)当 ≤a < 1时, 3a + b ≥ 3a - 2 - m(a)= 3a - 2 - a 3 . 3 3a + b ≤ 3a + 2 - M (a ) = 3a + 2 - 2 - 3a = 0. 1 令3a - 2 - a 3 ≤ 0, 解得 ≤a < 1, 3 1 28 3 ∴当 ≤a < 1时, 3a + b ≥ 3a - 2 - a(递增 ↑ ) ≥ 3 27 且3a + b ≤ 0 ∴ 3a + b ≤ [28 ,0] 27 28 ,0]. 所以, 3a + b ∈[-2,0]. 27

综上, 3a + b ∈{0}∪[-2,0 ) ∪[-


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