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高三数学期中考试试卷(6)


江苏省西亭高级中学 2103 届高三期中复习(6)
一.填空题: 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则集合

CU ( A ? B) ? ___________.
2. 函数 f ( x) ?

/>3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是__________.

3.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 3 ,前三项的和为 21 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? 4. 曲线 C: f ( x) ? sin x ? e x ? 2 在 x=0 处的切线方程为 .

.

? ? ? ? ? ? 5.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a ? b 与向量 ka ? b 垂直,则 k= .
6. 已知定义在 R 上的偶函数 f(x),且 f(1)=0, x>0 时, 当
xf ? ? x ? ? f ? x ? x2 ? 0 ,则不等式 xf(x)>0 的解

集为 . 7.下列命题中,真命题是______________(写出所有真命题的序号) . ①方程错误! 未找到引用源。 有一个正实根, 一个负实根, 则错误! 未找到引用源。 ② ?x ? R , ;

2x ? x2 ;
③曲线错误!未找到引用源。和直线错误!未找到引用源。的公共点个数是错误!未找到引 用源。,则错误!未找到引用源。的值不可能是 1; ④b ?

ac 是 a , b , c 成等比的既不充分又不必要条件.
.

8.已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是

9. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数,②存在 [a, b] ? D 使

f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [?b,?a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k
是对称函数,那么 k 的取值范围是______________. 10.已知关于 x 的不等式 (ax ? a ? 4)( x ? 4) ? 0 的解集为 A ,且 A 中共含有 n 个整数,则当 n
2

最小时实数 a 的值为

.

1

??? ? ??? ? ??? ? ???? 11. 平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120° OA 与 OC 的夹角为 150° , ,
??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 . OC ? ?OA ? ?OB(?,? ?R) , ? ? ? 的值为 若 则



12.设数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1, 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m, bm 是使得不

1 . (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2012 ) ? 2012 1 ?1 ? 13. 已知函数 f ( x) ? x ? ? a 2 , g ( x) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 ,若存在 x1 , x2 ? ? , a ? (a ? 1) ,使得 x ?a ?
等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值,则

| f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 9 ,则 a 的取值范围是



14. 已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2 +x),若 f(x)≤g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 二.解答题:
15. (本小题满分 14 分))已知函数 f(x)=x +(a+1)x+lg|a+2|(a∈R 且 a≠-2).(1)若 f(x)能表
2

示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)的和,写出 g(x),h(x)的解析式(不需证明);(2)命题 p: 函数 f(x)在区间[(a+1)2,+∞]上是增函数,命题 q:函数 g(x)是减函数.如果 p∨q 为真,p∧q 为假,求 a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,比较 f(2)与 3-lg2 的大小.

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 16.(本小题满分 14 分)设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0) ?x ? 0 ?y ? 0 ?

的最大值为 12. (1)求 M=2ab 的最大值; (2)求

a 2 b2 ? 的最小值. 36 9

2

? ? ?? ? ? 17(本小题满分 15 分)已知向量 a =(1,2), b =(cosα ,sinα ),设 m ? a ? tb (t 为实数).

(1)若 ? ?

?

4 ? ? ? ? ?? ? (2)若 a ? b ,问是否存在实数 t,使得向量 a ? b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求出 t; 4
若不存在,请说明理由.

?? , 求当 | m | 取最小值时实数 t 的值;

18(本小题满分 15 分)某风景区有 40 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用 是每日 72 元。根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租 出;若超出 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行 车就增加 3 辆。为了便于结算,每辆 自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一 日的管理费用,用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收 入减去管理费用后的所得) 。 (1)求函数 y=f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

3

19(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x)e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R . (1) 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) 若 f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3) 当 a ? 0 时,求整数 k 的所有值,使方程 f(x)=x+2 在[k,k+1]上有解.

20(本小题满分 16 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 且对任意的 k ? N * , a2k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比 数列, 其公比为 qk . (1)若 qk ? 2(k ? N * ) , 求 a1 ? a3 ? a5 ???? ? a2k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N * , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列, 其公差为 dk , 设 bk ? ① 求证: {bk } 成等差数列, 并指出其公差; ② 若 d1 ? 2 , 试求数列 {d k } 的前 k 项和 Dk .
1 . qk ? 1

4

江苏省西亭高级中学 2103 届高三期中复习(6) 数学(理科)附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 已知直角坐标平面 xOy 上的一个变换是先绕原 点逆时针旋 转

? ,再作关于 x 轴反射变换,求这个变换的逆变换的矩阵. 4

22.坐标系与参数方程

已知 A 是曲线 ? ? 12sin ? 上的动点, B 是曲线

? ? ? 12cos(? ? ) 上的动点,试求线段 AB 长的最大值.
6

23.一个口袋装有 5 个红球,3 个白球,这些球除颜色外完全相同,某人一次从中摸出 3 个 球,其中白球的个数为 X . ⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率; ⑵求 X 的分布列及 X 的数学期望.

5

24.在各项均为正数的数列{an}中,数列的前 n 项和为 Sn,满足 Sn ?

1 1 (an ? ). 2 an

(1)求 a1,a2,a3 的值; (2)由(1)猜想出数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

6

参考答案 一、填空题:
1 1、 {3,5} ;2、 (? ,1) ; 3、168;4、 y=2x+3;5、1;6、(-1,0)∪(1,+∞); 3
9 7、①、③、④;8、10;9、 [2, ) ;10、-2;11、-6;12、504 ; 4

13、 (1, 4] ;14、[1,+∞). 二、解答题 15

16 解:(1)作出可行域如图所示,由图可知当目标函数过 A 点时 z 最大…………………4 分
?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 由? 得? , ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? y ? 4

故 2a+4b=12 即 a+2b=6, ∴ 2 2ab ≤a+2b=6,∴2ab≤9,…………………6 分 等号当且仅当 a=2b=3 时取得. 故 Mmax=9.…………………………………8 分 (2)由(1)可知 a+2b=6,即

a b ? ?1, 6 3

a b ( ? )2 a 2 b2 1 3 ∴ ? ? 6 3 ? . 等号成立的条件是 a=3,b= , 36 9 2 2 2

7

1 a 2 b2 ? 的最小值为 .…………………………………14 分 36 9 2 ? 2 2 ? ? 3 2 ? , ), a ? ? b , 17 解:(1)因为 ? ? , 所以 b ? ( ………………………………3 分 2 2 2 4


?? ? ? ?? 3 2 2 1 则 | m |? (a ? tb)2 ? 5 ? t 2 ? 2ta? = t 2 ? 3 2t ? 5 ? (t ? ) ? , b 2 2
?? 3 2 2 时, | m | 取到最小值,最小值为 .……………………………7 分 2 2 ? ? ? ? ? (a ? b)?(a ? tb) (2)假设存在实数 t 满足条件.由条件得 cos ? ? ? ? ? , ……………………9 分 4 | a ? b || a ? tb |
所以当 t ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又因为 | a ? b |? (a ? b)2 ? 6,a ? tb |? (a ? tb)2 ? 5 ? t 2 , (a ? b)? a ? tb) ? 5 ? t, | (
则有
5?t 6? 5 ? t
2

?

2 2 且 , t<5,整理得 t +5t-5=0, 2

所以存在 t ?

?5 ? 3 5 满足条件.…………………………………15 分 2

18 解: (1)当 x ? 6时, y ? 40 x ? 72,由40 x ? 72 ? 0, 解得x ? 1.8
? x ? N * ,? x ? 2,? 2 ? x ? 6, x ? N *
2

………………………………2 分

………………4 分 当x ? 6 时,y ? [40 ? 3( x ? 6)]x ? 72 ? ?3x ? 58x ? 72 4 由y ? 0, 有3x2 ? 58x ? 72 ? 0,即 ? x ? 18 x ? N *) ( 3 ?6 ? x ? 17 ( x ? N * ) , ……………………………………………6 分
?40 x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N * ) ? 故y?? …………………8 分 2 * ??3x ? 58 x ? 72 (6 ? x ? 17, x ? N ) ?

(2)对于 y ? 40x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N * ) , 显然当 x ? 6 时, ymax ? 168 (元) …………………………………10 分 , 29 625 对于y ? ?3x2 ? 58x ? 72 ? ?3( x ? )2 ? (6 ? x ? 17, x ? N * ) 3 3 当x ? 10 时, ymax ? 208 (元) ? 208 ? 168 ………………………14 分 ∴当每辆自行车的日租金定在 10 元时,才能使一日的净收入最多. ………15 分 19 解:⑴ 因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 ,

8

1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a 1 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0, ? ) .…………………………………4 分 a
⑵ f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
1] ① a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时 当

取等号,故 a ? 0 符合要求;…………………………………6 分 ② a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 , 当 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值.
1) 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ?1, 内有极值点,

故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调.…………………………………8 分 1? 若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,
1] 因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [?1, 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 ,

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 必须满足 ? 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . 3 ? g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0.

2 综上可知, a 的取值范围是 [? ,0] .…………………………………10 分 3
⑶ a ? 0 时, 方程即为 xe x ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解, 当 2 2 所以原方程等价于 e x ? ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 , x x 因为 h?( x) ? ex ?

2 ? 0 对于 x ? ? ??,0? ? ? 0, ?? ? 恒成立, x2

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,…………………………………13 分

1 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 , 3
2 ? 所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2? 上,

所以整数 k 的所有值为 ??3,1? .…………………………………16 分 20 解: (1)因为 qk ? 2 , 9

所以

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1, a3 , a5 , ???, a2k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, a2 k ?1
1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1) ………………………………… 4 分 1? 4 3

所以 a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 k ?1 ?

(注: 讲评时可说明, 此时数列 ?ak ? 也是等比数列, 且公比为 2) (2)①因为 a2k , a2k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,所以 2a2k ?1 ? a2 k ? a2 k ?2 ,

a2 k ?1 q ?1 1 …………… 7 分 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? k qk qk qk q 1 1 1 1 得 ? k ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1
而 a2 k ? 所以 ?bk ? 是等差数列,且公差为 1……………………………………9 分
2 ②因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,则由 a2 ? 1? a3 ? a2 ? 2 ,解得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1……10 分

(ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,所以 b1 ? 1 ,则 bk ? 1 ? (k ?1) ?1 ? k ,即 所以:

k ?1 1 , ? k ,得 qk ? k qk ? 1

a2 k ?1 (k ? 1)2 , ? a2k ?1 k2 a a a a2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ????? 3 ? a1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1
?

(k ? 1)2 k2 22 ? ????? 2 ?1 ? (k ? 1)2 ………………………12 分 k2 (k ? 1)2 1 2 a (k ? 1) ? k (k ? 1) ,则 dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1 , 所以 a2 k ? 2 k ?1 ? k ?1 qk k k (k ? 3) 故 Dk ? ………………………14 分 2 (ⅱ)当 a2 ? ?1时, q1 ? ?1 ,
1 1 1 3 1 3 2, 所以 b1 ? ? ,则 bk ? ? ? ( k ? 1) ? 1 ? k ? ,即 ? k ? ,得 qk ? 3 2 2 2 qk ? 1 2 k? 2 1 2 3 2 1 2 (k ? ) (k ? ) ( ) a2 k ?1 a2 k ?1 a3 2 ? 2 ????? 2 ?1 ? 4(k ? 1 )2 , 所以 a2 k ?1 ? ? ????? ? a1 ? 3 5 1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 (k ? ) 2 (k ? ) 2 (? ) 2 2 2 2 k?
10

a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,所以 dk ? a2k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k 2 . qk k (k ? 3) 综上所述, Dk ? 或 Dk ? 2k 2 ……………………………………16 分 2
则 a2 k ?

附加题答案
C 解:曲线 ? ? 12sin ? 的直角坐标方程为 x2 ? ? y ? 6? ? 36 ,
2

其圆心为 ? 0, 6 ? ,半径为 6…………3 分; 曲线 ? ? 12cos(? ? ) 的直角坐标方程为 x ? 3 3 6 其圆心为 3 3,3 ,半径为 6.…………6 分

?

?

?

2

? ? y ? 3? ? 36 ,
2

?

?

? AB 的最大值

?3

3 ? 0 ? ?3 ? 6 ? ? 6 ? 6 ? 18 .…………10 分
2 2

?

22.解: (1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件 A,依题意知
P( A) ?
1 2 1 C5C 32 ? C C 3 45 5 ? C83 56

所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为

45 .…………4 分 56

(2) P( X ? 0) ?

3 0 C5 C3 10 C 2C1 30 C1C 2 15 , P( X ? 1) ? 5 3 3 ? , P( X ? 2) ? 5 3 3 ? , ? 3 C8 56 C8 56 C8 56

P( X ? 3) ?

0 3 C5 C3 1 ? 3 C8 56

所以 X 的分布列为 X P 0
10 56

1

2

3
1 56

30 15 56 56

所以 X 的数学期望 EX ?

9 .…………10 分 8

11

1 1 23.解: ?1? a1 ? S1 ? (a1 ? ), 2 a1

1 1 ? a12 ? 1, a1> ? a1 ? 1, S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ? (a2 ? ), ? 0, 2 a2 得a2 2 ? 2a2 ? 1 ? 0,? a2> ? a2 ? 2 ? 1, 0,

同理可求得 a3 ? 3 ? 2. …………4 分 (2)由(1)猜想 an ? n ? n ? 1(n ? N * ) 用数学归纳法证明如下: ①当 n=1 时,由(1)知猜想正确. ②假设当 n=k 时, ak ? k ? k ? 1(k ? N * ), …………6 分 那么当 n=k+1 时,
1 1 1 1 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) 2 ak ?1 2 ak 1 1 1 1 ? (ak ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) 2 ak ?1 2 k ? k ?1 1 1 ? (ak ?1 ? )? k 2 ak ?1 ? ak ?12 ? 2 kak ?1 ? 1 ? 0, ? ak ?1>0,? ak ?1 ? k ? 1 ? k ,

即当 n=k+1 时,猜想也成立, 由①②可知,对一切 n∈N ,猜想都成立.…………10 分
*

12


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