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谈高考中的周期函数

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新校园 XinXiaoYuan 教学实践 谈高考中的周期函数 王卫学 (安丘市第一中学, 山东 潍坊 262100) 周期性是函数的一个重要性质, 也是高考中每年必考的知 识。掌握到何种程度, 才能在高考中游刃有余呢?对此, 笔者就 自己的一点认识与大家共勉。 一、 定义 函数 f(x)定义在数集 A 上, 如果存在正数 T, 对任意 x∈A 有 x+T∈A, 且 f(x+T)=f(x), 称函数 f(x)是周期函数, T 称为函数 f(x)的 一个周期。 二、 几点注意事项 1.如果 T 是函数 f(x)的周期, 则 2T 也是它的周期 事实上, f(x+2T)=f(x+T+T)=…=f(x)=f(x-2T).显然, 如果 T 是 函数 f(x)的周期, 则 nT(n 是整数)也是它的周期。 如果函数 f(x)有 最小的正周期, 通常将这个最小正周期称为函数 f(x)的周期。 2.周期函数不一定有最小正周期 对一般函数而言, 都可求出最小正周期。这一规律从图象 上看更为直观, 且图象还具有一定的对称性。但一些特殊周期 函数并没有最小正周期。 0 x∈R-Q 如: f(x)=a(a 为常数)或 D(x)= ; 1 x∈Q 函数 f(x)=sinx, 再如: x∈(-∞,0),是周期函数, 其最大负周期 为 -2π; 3.周期函数的定义域至少一端趋向 ∞ 由周期函数的定义可知, 若 x∈M, 只需 x+T∈M, 当然有 (x+T)+T∈M, …, x+kT∈M。因此, 周期函数的定义域一定是无 限集, 即定义域与区间的一端无界, 但不要求定义域两端无界。 4.几个重要结论 (1) f(x+a)=-f(x), 则最小正周期为 |2a|; (2) f(x+a)=+1/f(x), 则最小正周期为 |2a|; (3) f(a+x)=f(a-x), f(b+x)=f(b-x), 则最小正周期为 2|a-b| 三、 最小正周期的求法 ⒈定义法 例 1.求函数 y=|sinx|+|cosx| 的最小正周期。 解:∵=|sinx|+|cosx| =|-sinx|+|cosx| =|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)| =|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)| =f(x+π/2) 对定义域内的每一个 x, 当 x 增加到 x+π/2 时, 函数值重 复出现, 因此函数的最小正周期是 π/2. 2.公式法 这类题目是通过三角函数的恒等变形, 转化为一个角的一 其中 Asin(ωx+φ)、 种函数的形式, 用公式去求。 Acosωx+φ 正余 弦型函数求最小正周期的公式为 T=2π/|ω|, Aant(ωx+φ)正切 型函数 T=π/|ω|.y=f(kx+b)型类似正切型函数。若 y=f(x)最小 正周期为 T, 则 y=f(kx+b)最小正周期为 T/|k|. 例 2.求函数 y=cotx-tanx 的最小正周期。 解: y=1/tanx-tanx=(1-tanx^2)/tanx=2* (1-tanx^2)/ (2tanx) =2cot2x ∴T=π/2 3.最小公倍数法 设 f(x)与 g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数, T1、 T2 分别是它们的周期, 且 T1≠T2, 则 f(x)±g(x)的最小正周期 T1、 T2 的最小公倍数。 例 3.求函数 y=sin3x+cos5x 的最小正周期。 解: 设 sin3x、 cos5x 的最小正周期分别为 T1、 T2, 则 T1=2π/3, T2=2π/5, 所以 y=sin3

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