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4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征及直线与 圆锥曲线的交点


选修 2-1

第三章

编写 蒋兴安

班级

姓名

课题 :§4.2-4.3

圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点

学习目标: 1.掌握圆锥曲线的共同特征. 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系,掌握判断直线与圆锥曲线的位置关系

的方法. 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关综合问题的方法. 学习重点:圆锥曲线统一定义及直线与圆锥曲线的位置关系。 学习难点:直线与圆锥曲线的综合问题.

【自主学习】
1.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e,当__________时, 圆锥曲 线是椭圆;当________时,圆锥曲线是双曲线;当________时,圆锥曲线是抛物线. 2.圆锥曲线的统一定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离的比等于常数 e 的点的集合叫作圆锥曲线, 这个 定点 F 叫作圆锥曲线的焦点,这条定直线 l 叫作圆锥曲线的准线,常数 e 叫作圆锥曲线的离心率. 3.曲线的交点 在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1,C2,它们由如下方程确定:C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y) =0,求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点.因为点 M 在曲线 C1 上,所以它的坐标满足方程 f(x,y)= 0;因为点 M 在曲线 C2 上,所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的
?f?x,y?=0 ? 坐标都满足方程组? 反过来,该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的 ?g?x,y?=0 ?

坐标. 由此可知:方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有_______不同交点.若方程组无实数解,则这 两条曲线就_______交点。

【合作探究】
1、圆锥曲线的共同特征 探究 1 曲线上的点 M(x,y)到定点 F(0,3)的距离和它到定直线 l:y=-3 的距离的比是常数 1,求曲线 方程。

2、直线与圆锥曲线的位置关系 探究 2

x2 y2 已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: + =1.试问当 m 取何值时,直线 l 与椭圆 C: 4 2

(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.

3、圆锥曲线的弦长问题 y2 探究 3 已知椭圆 C:x + =1,过点 M(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B,若|AB|< 3, 4
2

试求直线 l 斜率的变化范围.

4、圆锥曲线的中点弦问题 探究 4 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-1,点 M(2,1). (1)求以 M 点为中点的弦 AB 所在直线 l 的方程; (2)若抛物线上存在关于过点 M 的直线 l2 对称的两点 P、Q,求直线 l2 的斜率的取值范围.


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