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【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 3二倍角的三角函数 第2课时半角公式及其应用


第 2 课时

半角公式及其应用

,

)

1.问题导航 (1)如何理解“半角”? (2)利用半角公式求值时,如何确定符号? 1-cos 30° (3)等式 sin 15°=± 成立吗? 2 2.例题导读 P125 例 5.通过此例学习,学会运用二倍角公式推导半角公 式,掌握半角公式. 试一试:教

材 P128 习题 3-3 A 组 T9 你会吗? P127 例 6,例 7.通过此两例学习,学会利用半角公式解决给 值求值问题. 试一试:教材 P127 练习 2T1 你会吗?

正弦、余弦和正切的半角公式 正弦的半角公式 余弦的半角公式 α sin =±_ 2 α cos =±_ 2 tan 正切的半角公式 1-cos α 2 1+cos α 2

α 1-cos α =±_ 2 1+cos α sin α 1-cos α = = 1+cos α sin α

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) α 1+cos α (1)cos = .( ) 2 2 α 1 (2)存在 α ∈R,使得 cos = cos α .( ) 2 2 α 1 (3)对于任意 α ∈R,sin = sin α 都不成立.( 2 2

)

α 1-cos α (4)若 α 是第一象限角,则 tan = .( ) 2 1+cos α π α π 解析:(1)错误.只有当- +2kπ ≤ ≤ +2kπ (k∈Z),即-π +4kπ ≤α ≤π + 2 2 2

1

α 4kπ (k∈Z)时,cos = 2

1+cos α . 2

(2)正确.当 cos α =- 3+1 时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)错误.当 α =2kπ (k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立. α α (4)正确.若 α 是第一象限角, 则 是第一、 三象限角,此时 tan = 2 2 立. 答案:(1)? (2)√ (3)? (4)√ 2 α 2.已知 cos α = ,270°<α <360°,那么 cos 的值为( ) 3 2 A. C. 6 6 B.- 6 6

1-cos α 成 1+cos α

30 30 D.- 6 6 解析:选 D.因为 270°<α <360°, α α 所以 135°< <180°,所以 cos <0. 2 2 α 故 cos =- 2 =- 1+cos α =- 2 2 1+ 3 2

5 30 =- . 6 6 1-cos(α -π ) 的结果是( 2 α B.cos 2 α D.-sin 2 )

5π 3.设-3π <α <- ,化简 2 α A.sin 2 α C.-cos 2 解析:选 C.原式=

1+cos α α =|cos |, 2 2

5 因为-3π <α <- π , 2 3π α 5 所以- < <- π . 2 2 4 α 所以 cos <0. 2 α 因此原式=-cos . 2 4.若 cos 22°=a,则 sin 11°=________,cos 11°=________(用 a 表示). 解析:sin 11°>0,cos 11°>0, 1-a 1+a 所以 sin 11°= ,cos 11°= . 2 2 答案: 1-a 2 1+a 2

对半角公式的四点认识 (1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
2

α (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道 cos α 的值及 2 α α α 相应 α 的条件,便可求出 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin α α 1-cos α (3)由于 tan = 及 tan = 不含被开方数, 且不涉及符号问题, 所 2 1+cos α 2 sin α α 以求解关于 tan 的题目时,使用相对方便,但需要注意该公式成立的条件. 2 1-cos α 2α 2α (4) 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目,常用 sin = , cos = 2 2 2 1+cos α 求解. 2

给值求值 4 12 α -β 已知 α 为钝角,β 为锐角,且 sin α = ,sin β = ,求 cos 的值. 5 13 2 (链接教材 P127 例 6,例 7) 4 12 [解] 因为 α 为钝角,β 为锐角,sin α = ,sin β = , 5 13 3 5 所以 cos α =- ,cos β = , 5 13 所以 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 3 5 4 12 33 =- ? + ? = , 5 13 5 13 65 π π 又因为 <α <π ,0<β < ,所以 0<α -β <π , 2 2 α -β π 所以 0< < , 2 2 α -β 所以 cos = 2 = 7 65 . 65 1+cos(α -β ) = 2 1+ 33 65 2

α -β 把本例中的条件“α 为钝角”改为“α 为锐角”, 求 cos 的值. 2 4 12 解:因为 α 为锐角,β 为锐角,sin α = ,sin β = , 5 13 3 5 所以 cos α = ,cos β = , 5 13 3 5 4 12 63 所以 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = ? + ? = , 5 13 5 13 65
3

π π 又因为 0<α < ,0<β < , 2 2 π π 所以- <α -β < , 2 2 π α -β π 所以- < < , 4 2 4 1+cos(α -β ) = 2 方法归纳 利用半角公式求值的思路 (1)看角.若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助 半角公式求解. (2)明范围.由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出 相应半角的范围. α sin α 1-cos α (3)选公式.涉及半角公式的正切值时,常用 tan = = ,其优点 2 1+cos α sin α 是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用 1-cos α 1+cos α 2α 2α sin = ,cos = 计算. 2 2 2 2 (4)下结论.结合(2)求值. α -β 所以 cos = 2 1+ 63 65 8 65 = . 2 65

3 5π θ θ θ 1.(1)已知|cos θ |= ,且 <θ <3π ,则 sin ,cos ,tan 的值分别为( 5 2 2 2 2 2 5 5 A.- , ,2 5 5 C. 2 5 5 ,- ,2 5 5 2 5 5 B.- ,- ,2 5 5

)

2 5 5 D.- ,- ,-2 5 5 α 1+tan 2 4 (2)若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 1 A.- B. 2 2 C.2 D.-2 1-cos α (3)若 =2,则 cos α -sin α =________. sin α 3 5π 解析:(1)因为|cos θ |= , <θ <3π , 5 2 3 5π θ 3π 2θ 所以 cos θ =- , < < .由 cos θ =1-2sin , 5 4 2 2 2 θ 得 sin =- 2 1-cos θ =- 2 3 1+ 5 2 5 =- . 2 5

)

4

又 cos θ =2cos 2.

2

θ θ -1, 所以 cos =- 2 2

θ sin 2 1+cos θ 5 θ =- , 所以 tan = = 2 5 2 θ cos 2

4 (2)因为 α 是第三象限角,cos α =- , 5 α sin α 1+tan 1+ 2 1 + cos α 3 所以 sin α =- , = 5 α sin α 1-tan 1- 2 1+cos α 1+cos α +sin α 1+cos α 1+cos α +sin α = = 1+cos α -sin α 1+cos α -sin α 1+cos α 4 3 2 1- - - 5 5 5 1 = = =- . 4 3 4 2 1- + 5 5 5 2α ? ? 1-?1-2sin ? 2? 1-cos α ? (3) = sin α α α 2sin cos 2 2 α α 2 2sin sin 2 2 = = α α α 2sin cos cos 2 2 2 α =tan =2. 2 α α 2α 2α cos -sin -2cos sin 2 2 2 2 所以 cos α -sin α = 2α 2α cos +sin 2 2 α 2α 1-tan -2tan 2 2 1-22-2?2 7 = = =- . 2 α 1 + 2 5 2 1+tan 2 7 答案:(1)B (2)A (3)- 5

利用半角公式化简求值

5

(1)计算:tan

π 1 + . 8 π tan 12

α ? ? α (1-sin α -cos α )?sin +cos ? 2 2? ? (2)化简 (-π <α <0). 2-2cos α (链接教材 P128 习题 3-3 A 组 T1) π 1 [解] (1)法一:tan + 8 π tan 12 π 1-cos 4 + π 1+cos 4 1- = 1+ = 2- 2 2 2 2 2 2 π 1+cos 6 π 1-cos 6 1+ + 3 2 = 3 1- 2 2- 2 2+ 3 2- 3



+ 2+ 2

+2+ 3=1+ 2+ 3. π + 8 1 tan π 12

法二:tan

π π 2 3 1-cos 1+cos 1- 1+ 4 6 2 2 = + = + π π 1 2 sin sin 4 6 2 2 = +2+ 3=1+ 2+ 3. 2 (2)原式= ?2sin2α -2sinα cosα ??sinα +cosα ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ? 2?2sin
2

2- 2

α 2

α ?? α α ? α ? α 2sin ?sin -cos ??sin +cos ? 2 2 2 2? 2? ?? = α 2|sin | 2 α ? 2α 2α ? sin ?sin -cos ? 2 2? 2? = α |sin | 2 α -sin cos α 2 = . α |sin | 2

6

π α 因为-π <α <0,所以- < <0, 2 2 α 所以 sin <0, 2 α -sin cos α 2 所以原式= =cos α . α -sin 2 方法归纳 (1)利用半角公式进行化简与计算时,应正确选用升、降幂公式:当待化简式中含有根 式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量, 注意隐含条件中角的范围. (2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式,前者有正负号选取,其符号 由角的范围确定,必要时需要讨论,后者没有符号选取,其结果的符号由 sin α 确定,应 用十分方便.

1+tan α 1 2.(1)若 =2 015,则 +tan 2α =________. 1-tan α cos 2α (2) 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________. cos 70° (3)化简(tan 5°-tan 85°)? . 1+sin 70° 2 1 1 sin 2α (sin α +cos α ) 解 : (1) + tan 2 α = + = = 2 2 cos 2α cos 2α cos 2α cos α -sin α sin α +cos α tan α +1 = =2 015,故填 2 015. cos α -sin α 1-tan α (2)原式= 4cos 4+2 1-2sin 4cos 4 2 =2|cos 4|+2 (sin 4-cos 4) =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|. 5π 3π 因为 <4< , 4 2 所以 cos 4<0,sin 4<cos 4<0, 所以 sin 4-cos 4<0. 从而原式=-2cos 4-2sin 4+2cos 4=-2sin 4. 故填-2sin 4. 1 ? sin 20° ? (3)原式=?tan 5°- ? ? tan 5°? 1+cos 20° ? 2 tan 5°-1 2sin 10°?cos 10° = ? 2 tan 5° 2cos 10° 2 tan 5°-1 = ?tan 10° tan 5° 2 tan 5°-1 2tan 5° = ? =-2. 2 tan 5° 1-tan 5°
2

证明三角恒等式

7

1 1 求证:(1)tan α + = . π α ? cos α ? + tan? ? ?4 2? 2 cos α 1 (2) = sin 2α . 1 α 4 -tan α 2 tan 2 (链接教材 P128 例 5)

?π ? 1+cos? +α ? sin α ?2 ? [证明] (1)左边= + cos α ?π ? sin? +α ? ?2 ? sin α 1-sin α = + cos α cos α sin α +1-sin α = cos α 1 = =右边. cos α 故等式成立. 2 2 cos α cos α (2)左边= = α α 2α 2α cos sin cos -sin 2 2 2 2 - α α α α sin cos sin cos 2 2 2 2
α α α α 2 2 cos α sin cos cos α sin cos 2 2 2 2 α α 1 1 = = =cos α sin ? cos = cos α sin α = sin cos α 2 2 2 4 2α 2α cos -sin 2 2 2α =右边. 方法归纳 证明三角恒等式的常用方法 (1)直接法:直接从等式的一边开始转化到等式的另一边,一般是按照由繁到简的原则 进行,依据是相等关系的传递性. (2)综合法:由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式. (3)中间量法:通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明.

3.(1)求证:2(1+cos α )-sin α =4cos 3x x 2sin x (2)求证:tan -tan = . 2 2 cos x+cos 2x 证明:(1)左边=2?2cos =4cos
2 2

2

4

α . 2

α α ?2 α ? -?2sin cos ? 2 2? 2 ?

α 2α 2α -4sin cos 2 2 2 2α ? 2α ? 4α =4cos ?1-sin ?=4cos 2? 2? 2 =右边.

8

3x x sin sin 2 2 3x x (2)法一:tan -tan = - 2 2 3x x cos cos 2 2 3x x 3x x sin cos -cos sin 2 2 2 2 = 3x x cos cos 2 2 ?3x x? sin? - ? sin x ? 2 2? = = 3x x 3x x cos cos cos cos 2 2 2 2 2sin x = ?3x x? ?3x x? cos? + ?+cos? - ? ? 2 2? ? 2 2? 2sin x = . cos x+cos 2x 2sin x 法二: cos x+cos 2x ?3x x? 2sin? - ? ? 2 2? = ?3x x? ?3x x? cos? - ?+cos? + ? ? 2 2? ? 2 2? 3 x x 3x x? ? 2?sin cos -cos sin ? 2 2 2 2? ? = 3x x 2cos cos 2 2 3x x sin sin 2 2 3x x = - =tan -tan . 3x x 2 2 cos cos 2 2

三角恒等变形的综合应用 sin 2x(sin x+cos x) (本题满分 12 分)已知函数 f(x)= . cos x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 4? π [解] (1)因为 cos x≠0,所以 x≠kπ + ,k∈Z, 2 ? ? π 所以函数 f(x)的定义域为?x|x≠kπ + ,k∈Z?, 2 ? ? 2分 sin 2x(sin x+cos x) f(x)= cos x 2 =2sin x(sin x+cos x)=2sin x+sin 2x =1-cos 2x+sin 2x
9

规范解答

π? ? = 2sin?2x- ?+1, 4 分 4? ? 所以 f(x)的最小正周期为 T=π .6 分 π π (2)因为- ≤x≤ , 6 4 7π π π 所以- ≤2x- ≤ , 8 分 12 4 4 π π 当 2x- = , 4 4 π 即 x= 时,f(x)的最大值为 2;10 分 4 π π 当 2x- =- , 4 2 π 即 x=- 时,f(x)的最小值为- 2+1.12 分 8 [规范与警示] (1)在 处,直接求函数的定义域,若对函数先化简,则导致分母不存 在,再求定义域就出错,此为失分点. 处,正确地使用降幂公式将函数化为 f(x)= π? ? 2sin?2x- ?+1 是解题的关键. 4? ? π 在 处,容易将 2x- 的范围算错或忽略,都将导致 f(x)的最值求错造成失分. 4 (2)解答此类问题的两个注意点 ①定义域求解时的保原性 定义域是使函数有意义的自变量的取值范围, 故求解时, 应保证函数的原解析式有意义, π? ? 不可随便化简,如本例不可求 f(x)= 2sin?2x- ?+1 的定义域. 4? ? ②提高公式的辨析和识记能力 2 2 sin x 与 cos x 的降幂公式非常相似, 解题时务必细心, 谨防混淆, 可采用先写出 cos 2x 2 的公式,再对其变形分别记忆,如本例求解中若把 sin x 的公式用错,会导致该题基本不得 分. 在

1-cos(π +α ) 等于( 2 α α A.sin B.cos 2 2 α α C.-sin D.-cos 2 2 α ?π ? 解析:选 D.因为 α ∈(π ,2π ), ∈? ,π ?, 2 ?2 ? 1.已知 α ∈(π ,2π ),则 所以 1-cos(π +α ) = 2

)

1+cos α α α =|cos |=-cos . 2 2 2 24 α 2.已知 α 是第三象限角,且 sin α =- ,则 tan 等于( ) 25 2 3 3 A.- B. 4 4 4 4 C. D.- 3 3
10

24 7 解析:选 D.由 α 为第三象限角,且 sin α =- 知 cos α =- . 25 25 24 25 α sin α 4 所以 tan = =- =- . 2 1+cos α 7 3 1- 25 α 1 α 3.已知 cos = ,540°<α <720°,则 sin =________. 2 3 4 α α α 解析: 因为 540°<α <720°, 所以 270°< <360°, 所以 135°< <180°, 因为 cos 2 4 2 1 α = ,所以 sin = 3 4 答案: 3 3 α 1-cos 2 3 = . 2 3

2θ 2cos -sin θ -1 2 3 π 4.已知 sin 2θ = ,0<2θ < ,则 =________. 5 2 π 2sin(θ + ) 4 2θ ?2cos2θ -1?-sin θ 2cos -sin θ -1 ? ? 2 2 ? ? 解析: = π π π? ? ? ? 2sin?θ + ? 2?sin θ cos +cos θ sin ? 4 4 4? ? ? ? sin θ 1- cos θ 1-tan θ cos θ -sin θ 3 π = = = .因为 sin 2θ = ,0<2θ < , sin θ +cos θ sin θ tan θ +1 5 2 +1 cos θ 3 5 4 sin 2θ 1 所以 cos 2θ = ,所以 tan θ = = = , 5 1+cos 2θ 4 3 1+ 5 1 1- 3 1 1-tan θ 所以 = = , tan θ +1 1 2 +1 3 2θ 2cos -sin θ -1 2 1 即 = . π 2 ? ? 2sin?θ + ? 4? ? 1 答案: 2

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标]

11

3 θ 1.已知 cos θ =- ,且 180°<θ <270°,则 tan =( 5 2 A.2 B.-2 1 1 C. D.- 2 2 解析:选 B.因为 180°<θ <270°, θ 所以 90°< <135°, 2 θ 所以 tan <0, 2 θ 所以 tan =- 2 1-cos θ =- 1+cos θ

)

? 3? 1-?- ? ? 5? =-2. 3? ? 1+?- ? ? 5?
)

2.若 sin(π -α )=- A.- C. 6 6 6 3

3π ? 5 ? ?π α ? 且 α ∈?π , ?,则 sin? + ?等于( 2 ? 3 ? ?2 2? B.- D. 6 3 6 6

解析:选 B.由题意知 sin α =- 2 所以 cos α =- , 3 α ?π 3 ? 因为 ∈? , π ?, 2 ?2 4 ? α ?π α ? 所以 sin? + ?=cos =- 2 ?2 2?

3 ? 5 ? ,α ∈?π , π ?, 2 ? 3 ?

1+cos α 6 =- .故选 B. 2 6 )

θ 2 3.已知 θ 为第二象限角,25sin θ +sin θ -24=0,则 cos 的值为( 2 3 3 A.- B.± 5 5 C. 2 2 4 D.± 5

24 2 解析: 选 B.由 25sin θ +sin θ -24=0 得 sin θ = 或 sin θ =-1(因为 θ 为第二 25 7 θ 2θ 象限角,故舍去),所以 cos θ =- ,且 为第一或者第三象限角,所以 2cos -1=- 25 2 2 7 θ 3 ,故 cos =± . 25 2 5 4.化简 2+cos 2-sin 1等于( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. 3cos 1 D.- 3cos 1 2 2 2 解析:选 C.原式= 2+2cos 1-1-(1-cos 1)= 3cos 1= 3cos 1,故选 C.
2

12

5.已知 450°<α <540°,则

1 1 + 2 2

1 1 + cos 2α 的值是( 2 2

)

α α A.-sin B.cos 2 2 α α C.sin D.-cos 2 2 解析:选 A.因为 450°<α <540°, α 所以 225°< <270°. 2 α 所以 cos α <0,sin <0. 2 所以原式= = = 1 1 + 2 2 1+cos 2α = 2 1 1 - cos α 2 2 1 1 + 2 2 cos α
2

1 1 + |cos α |= 2 2 sin
2

α α α =|sin |=-sin .故选 A. 2 2 2 θ θ 6.设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sin 的值等于________. 2 4 5π θ 3π 解析:因为 5π <θ <6π ,所以 < < , 4 4 2 θ 所以 sin =- 4 =- 2-2a . 2 2-2a 2 θ 1-cos 2 =- 2 1-a 2

答案:-

1 2 sin 35°- 2 7.求值: =________. cos 10°cos 80° 1 1-cos 70° 1 2 sin 35°- - 2 2 2 解析: = cos 10°cos 80° cos 10°?sin 10° 1 - cos 70° 2 = =-1. 1 sin 20° 2 答案:-1 3 7 ?π π ? 8.若 θ ∈? , ?,sin 2θ = ,则 tan θ =________. 8 ?4 2? ?π π ? ?π ? 解析:因为 θ ∈? , ?,则 2θ ∈? ,π ?, 4 2 ? ? ?2 ? 所以 sin θ >0,cos θ >0. 3 7 1 因为 sin 2θ = ,所以 cos 2θ =- , 8 8

13

所以 sin θ =

1-cos 2θ = 2

? 1? 1-?- ? ? 8? 3 = , 2 4 ? 1? 1+?- ? 7 ? 8? = , 2 4

1+cos 2θ = 2 3 4 3 7 sin θ 所以 tan θ = = = . cos θ 7 7 cos θ = 4 3 7 答案: 7

24 9.已知 sin φ =- ,且 φ 是第三象限角,求下列各三角函数的值: 25 π? ? (1)sin?φ + ?; 6? ? (2)sin 2φ ; φ (3)cos ; 2 φ (4)tan . 2 解:因为 φ 是第三象限角, 7 2 所以 cos φ =- 1-sin φ =- . 25 π π π ? ? (1)sin?φ + ?=sin φ cos +cos φ sin 6? 6 6 ? 7+24 3 =- . 50 336 (2)sin 2φ =2sin φ cos φ = . 625 (3)因为 φ 是第三象限角,所以 2kπ +π <φ <2kπ + π φ 3π 所以 kπ + < <kπ + (k∈Z). 2 2 4 π φ 3π 当 k=2m 时,2mπ + < <2mπ + (m∈Z), 2 2 4 φ cos =- 2 1+cos φ 3 =- . 2 5 3π φ 7π 当 k=2m+1 时,2mπ + < <2mπ + (m∈Z), 2 2 4 φ 1+cos φ 3 cos = = . 2 2 5 φ 1-cos φ 4 (4)tan = =- . 2 sin φ 3 θ cos 2 θ ? -tan 1+tan 10.化简: θ 2 ? ? sin 2 3π . 2

? ? ?

? ? ?

θ ?tan

θ ? . 2? ?

14

解:法一:(半角正切公式) θ sin θ 1-cos θ 因为 tan = = , 2 1+cos θ sin θ θ cos 2 1 sin θ 1+cos θ 则有 = = = . θ θ 1-cos θ sin θ sin tan 2 2 θ cos 2 θ 1+cos θ 1-cos θ 2cos θ 所以 -tan = - = . θ 2 sin θ sin θ sin θ sin 2 θ sin θ 1-cos θ 1+tan θ ?tan =1+ ? 2 cos θ sin θ 1-cos θ 1 =1+ = , cos θ cos θ θ cos 2 θ ? θ ? -tan 1+tan θ ?tan 所以 ? θ 2 ? 2? ? sin 2 2cos θ 1 2 = ? = . sin θ cos θ sin θ 法二:(切化弦) θ θ 2θ 2θ cos sin cos -sin 2 2 2 2 cos θ 2cos θ - = = = , θ θ θ θ 1 sin θ sin cos sin cos sin θ 2 2 2 2 2 θ sin 2 θ sin θ 1+tan θ ?tan =1+ ? 2 cos θ θ cos 2 θ θ θ 2sin ?cos sin 2 2 2 =1+ ? cos θ θ cos 2 θ 2 2sin 2 =1+ cos θ 1-cos θ 1 =1+ = . cos θ cos θ θ cos 2 θ ? θ ? -tan 1+tan θ ?tan 所以 θ 2 ? 2? ? ? sin 2 2cos θ 1 2 = ? = . sin θ cos θ sin θ [B.能力提升] 4 β 1.已知 sin(α -β )cos α -cos(α -β )sin α = ,且 β 是第三象限角,则 cos 5 2 的值等于( )

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

15

A.± C.-

5 5 5 5

B.± D.-

2 5 5 2 5 5

4 4 解析:选 A.由已知,得 sin[(α -β )-α ]=sin(-β )= ,得 sin β =- . 5 5 3 β 因为 β 在第三象限,所以 cos β =- , 为第二、四象限角, 5 2 1+cos β 1 5 =± =± . 2 5 5 α α 2.设π <α <3π ,cos α =m,cos =n,cos =p,则下列各式正确的是( 2 4 所以 cos A.n=- C.p=- 1+ m 2 β =± 2

)

B.n= D.p=

1+m 2 1+n 2

1+ n 2 解析:选 A.因为π <α <3π , π α 3π 所以 < < , 2 2 2 cos

α 1+cos α =- ,即 n=- 2 2 π α 3π 因为 < < , 2 2 2 π α 3π α 所以 < < ,cos =± 4 4 4 4 所以 p=± 3.定义运算? 1+n .故选 A. 2

1+m , 2

α 1+cos 2 , 2

3 ?sin α ?a b? ?=ad-bc,若 cos α =5,? ?c d? ?cos α

sin β ? 5 π ?=13,0<β <α < 2 ,则 cos β ?

α +β sin =________. 2 解析:由题意可知,? 5 = , 13 π π 因为 0<β <α < ,所以 0<α -β < , 2 2 12 3 所以 cos(α -β )= ,又 cos α = , 13 5 4 所以 sin α = , 5 7 24 2 2 所以 cos 2α =cos α -sin α =- ,sin 2α = , 25 25 所以 cos(α +β )=cos[2α -(α -β )]=cos 2α cos(α -β )+sin 2α sin(α -β ) 7 12 24 5 36 =- ? + ? = , 25 13 25 13 325

?sin α ?cos α

sin β ? ?=sin α cos β -sin β cos α =sin(α -β ) cos β ?

16

所以 sin

α +β = 2

1-cos(α +β ) 17 26 = . 2 130

17 26 答案: 130 4.若 sin α +sin β = 3 (cos β -cos α ),且 α ∈(0,π ),β ∈(0,π ),则 α 3

-β =________. 解析:因为 α ,β ∈(0,π ),所以 sin α +sin β >0, 所以 cos β -cos α >0,cos β >cos α , 又因为在(0,π )上,y=cos x 是减函数, 所以 β <α ,所以 0<α -β <π , α +β β -α ? α +β α -β 3? sin 由原式知 2sin cos = ?-2sin ?, 2 2 ? 2 2 3? α -β α -β π 所以 tan = 3,所以 = , 2 2 3 2π 所以 α -β = . 3 2π 答案: 3 12 4 β 5.已知 sin α = ,sin(α +β )= ,α 与 β 均为锐角,求 cos . 13 5 2 π 5 2 解:因为 0<α < ,所以 cos α = 1-sin α = . 2 13 π π 又因为 0<α < ,0<β < ,所以 0<α +β <π . 2 2 π 若 0<α +β < , 2 因为 sin(α +β )<sin α ,所以 α +β <α 不可能. π 3 故 <α +β <π .所以 cos(α +β )=- . 2 5 3 所以 cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )?sin α =- 5 5 4 12 33 ? + ? = , 13 5 13 65 π β π 因为 0<β < ,所以 0< < . 2 2 4 故 cos β = 2 1+cos β 7 65 = . 2 65

5 sin θ 2 1 6.(选做题)已知函数 f(θ )=- + (0<θ <π ). 2 θ 2sin 2 (1)将 f(θ )表示成关于 cos θ 的多项式; (2)试求使曲线 y=acos θ +a 与曲线 y=f(θ )至少有一个交点时 a 的取值范围. θ θ sin 2θ cos +cos 2θ sin 2 2 1 解:(1)f(θ )=- + 2 θ 2sin 2

17

θ θ θ cos θ sin +cos 2θ sin 2 2 2 1 =- + 2 θ 2sin 2 2θ 4cos cos θ +cos 2θ 2 1 =- + 2 2 1+cos θ 2 4cos θ ? +2cos θ -1 2 1 =- + 2 2 2 =2cos θ +cos θ -1. 2 (2)由 2cos θ +cos θ -1=acos θ +a, 得(cos θ +1)(2cos θ -1)=a(cos θ +1). a+1 所以 cos θ = , 2 a+1 所以-1< <1, 2 即-3<a<1. 4cos
2

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