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从有效教学看数学教学设计——以人教A版直线与平面垂直的判定为例


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数学通报

2008年

第47卷

第5期

从有效教学看数学教学设计①
——以人教A版“直线与平面垂直的判定’’为例
张曜光
(浙江省金华市教育局教研室
321017)

随着新一轮高中课程改革的推进,我国数学

课堂教学改革取得了一些实质性进展.广大教师 逐渐意识到:提升课堂教学的有效性是当前深化 课程改革的关键和根本要求,而“有效性”的根本 衡量标准是学生的发展.但从面上来看,多数教师 对新课程理念的理解仍在表面化状态,缺乏将理 念落实在教学实践中的经验和能力.对比传统教 学,不少教师囿于教条地讲背景,讲过程,讲应用, 讲历史,讲思想,讲文化,反而使得课堂教学形式 化、低效化现象加重. 课堂教学环境是由教师为学生的有效学习创 设的,而这种创设主要是通过教学设计来完成的. 教学设计是教学的预设,是教学的一个关键环节, 我们说好课是备出来的,大概可以这样认为,教学 设计的好坏基本决定了教学生成的质量和教学的 有效性. 1有效教学观下的数学教学设计‘ 教学设计是一个复杂的系统工程,既要备课 标,也要备教材;既要备内容,也要备学生;既要备 过程,也要备方法;既要备知识,也要备能力;..…?. 为了保证学生学习的有效性,还必须综合考虑三

数学能力,提高数学素养①. 2有效教学观下的数学教学设计的两个关键操
作点

从教学实践看,教师首先应明确所授课的相 关的核心概念、思想方法,以及涉及的概念的核 心.它们往往会成为教学设计中所表述的重点和 难点,对它们的认识达到应有的水平,才能为这一 节课的教学设计找到数学本质,解决“干什么”的

问题.如果还能做到“见解深刻、独具慧眼”,那么
就为高水平的教学设计奠定了基础. 其次,要对概念的核心进行解构.概念是思维 的细胞.数学概念是数学的逻辑起点,是学生学习 数学知识的基石,也是数学思维的出发点,在数学 教学中具有重要地位.把握概念的核心就是把握 教学的重点和难点:重点就是在数学知识结构中 处于核心地位的那些概念及其所反映的思想方 法,具体落实在一节课上时,就是相应概念的核 心;难点就是难于解构的内容,表现为难于理解或 难于掌握,或较抽象、或较复杂.难点和重点,有时 兼备,有时不同.难,包括学生难学和教师难教,究 其本质应该还是难于解构.而难点的解构正是要 解决“怎么干”的问题.如果说“教学设计是使天才 能够做到的事一般人也能去做②”,那么对重难点 的解构应该成为教学设计的核心之一.良好的解 构,若再有教师旁征博引、循循善诱、精益求精、深 入浅出的教学,学生也就能真正体验概念形成的

个要素——提高学习效率、增进学习结果、强化学
习体验. 这就要求我们的教学设计要构建一个反映数 学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学 数学核心概念、思想方法结构体系,并使核心概 念、思想方法在数学课堂中得到落实,这是提高数 学课堂教学质量和效益的突破口,同时也是数学 课堂教学改革的抓手,因为在双基的教学中,使学 生真正领会和把握数学概念的核心,领悟概念所 反映的数学思想方法的真谛,学会数学地思维,这 样才能形成功能强大的数学认知结构,切实发展

①卒文为“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研 究”课题成果. ②章建跃.“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研 究”课题简介,中学数学教学参考(高中),2007,5 ⑦列夫?兰达语.列夫?兰达“Lev 1999.05.29”,前苏联教育心理学家
N.Landa

1927~

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“心路历程”. 3操作案例 “直线与平面垂直的判定”一课,由于《普通高 中数学课程标准(实验)》明确提出要“通过直观感 知、操作确认”进行归纳,而不要求进行“思辨论 证”,因此与以往的教学要求有较大的不同.但是, 我们认为,如果只局限于“直观”“操作”,不在说理 (逻辑思维)上提出要求,本节课的思维价值将受 到较大损害,不能全面体现高中几何教育的价值 (合情推理与逻辑推理并重,几何直观能力与抽象 思维能力并重),同时也与学生的思维发展水平不 适应.因此,教学设计中;如何把具体与抽象、直观 与逻辑、感性与理性、动手与动脑有机地结合起 来,成为我们思考的重点.这也使得本节课的教学 设计具备典型意义、值得深入研究. 这节课的两个重要概念是:“直线与平面垂直 的定义”和“直线与平面垂直的判定定理”.在近期 的教研活动中,通过听课,我们了解到,教师对这 两个重要概念的认识是到位的,他们意识到: “直线与平面垂直是直线和平面相交中的一 种特殊情况,它是空间中线线垂直位置关系的拓 展,又是面面垂直的基础,是空间中垂直位置关系 问转化的重心,同时它又是直线和平面所成的角 等内容的基础,因而它是点、直线、平面间位置关 系中的核心概念之一.在这一内容中包含了很多 重要的数学思想,如空间问题平面化、线线垂直与 线面垂直相互转化、无限转化为有限的化归思想, 合情推理思想…….” 但在课堂教学中,对概念的核心的解构上存 在很多问题,引出较多异议.由这些争议得到启 发,产生了如下一些思考. 3.1对定义教学的理解和“直线与平面垂直的定 义”教学的解构与设计 “下定义”是揭示概念的内涵或语词意义的方 法.揭示概念内涵的称为实质定义,揭示语词意义 的称为语词定义.定义的规则有:(1)应相称,即定 义概念和被定义概念的外延相等.(2)不应循环. (3)_般不应是否定判断.(4)应清楚确切.辩证逻 辑对定义要求从某一概念所反映的对象的发展变 化中,全面地研究对象的一切联系①. 直线与平面垂直的定义是一实质定义,“必须

物同人所需要它的哪一点的联系的实际确定

者——包括到事物的完整的‘定义’中去②”.所以
在这一定义的教学中应注意概念的发生发展,应 让学生从生活经验来感知直线与平面垂直,挖掘 深层次的数学思维活动.教会学生思考,有什么? 干什么?怎么干?全面展开直观感知、操作确认 的过程,即以“情境”为中心,让学生基于情境、始 于情境地去探究,争取通过探究达到超越并改变
情境的目的.

学生对直线与平面垂直定义的理解有以下三 个要注意的问题: 1.学生在本课教学前具有的垂直概念,一是 平面内的直线与直线垂直,二是异面直线的垂直. 直线与平面垂直与直线与直线垂直是有距离的, 把这两者联系起来,对学生有一定的困难.笔者认 为,学生对直线与平面垂直感知的基础来自“悬挂 铅垂”和“直立”的感觉. 2.如何把空间垂直问题化归为平面垂直 问题. 3.为什么直线与平面垂直的定义要求“直线 与平面内任意一条直线都垂直”. 从对课堂教学的观察看,教师一般都能考虑 到这些问题,操作时加上一些实例观察后,引用教 材的旗杆与影子的案例来加以说明.这个说明用 来让学生感性认识还可以,但由此马上给出直线 与平面垂直的定义就欠妥了.因为此说明的立论 基础是:旗杆与地面是垂直的,由此“反推”出“直 线与平面内任意直线垂直”显得不自然、不合情 理.为了达到“自然、亲切而合理”的效果,笔者建 议在此增加一个简单的动手实验:“竖立铅笔”. 实验材料:一支未削的新铅笔,一条直铁 丝段. 实验步骤:①在平整桌面上歪放铅笔,放手; ②在平整桌面上竖立铅笔,放手. 实验现象:①铅笔向某一方向歪,就向那个方 向倒;②竖直了铅笔,放手铅笔竖立. 问题探究:实验现象反映了什么数学问题? 问题1:铅笔向某一方向歪,为什么就会向那 个方向倒?



上海辞书出版社.《辞海》(1999年版)第355页

把人的全部实践——作为真理的标准,也作为事

②《列宁全集》第40卷第291~292页

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数学通报 在这里学生的第一感觉是物理的重力问题,

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判定定理”的教学要求、认知要求发生了较大变 化——通过直观感知、操作确认的方式认知判定 定理.如何通过恰当的教学设计,组织学生的认知 活动,在“直观感知、操作确认”中不降低学生的思 维水平,不仅体现合情推理,而且体现逻辑推理, 就是一个非常值得研究的问题.教材提供了一个 折纸探究实验①. 课堂观察表明,教师对折纸实验的用法不同, 有的用来“直观感知”,有的用来“操作确认”.折纸 实验提供的教学情景是优质的,但许多教师的教 学设计都未能挖掘其蕴含的深层次数学思维,学

需要把它引导到数学的问题上来,向某一方向歪, 原位与倒位之间的夹角(把原位与倒位的铅笔抽 象为数学意义上的线段)就不是90。.

问题2:竖立在水平面上的铅笔是与平面垂 直的,怎样才能“竖立铅笔”? 铅笔不向任一方向歪.

生的探究未能达到超越并改变情境的目的.折纸 实验应该可以发挥更大的教学作用,使对直线与 平面垂直的判定定理的“直观感知”“操作确认”的 过程中,融人逻辑推理的成分,且与定义建立更加 光滑的联系,达到合情推理与逻辑推理并重的 效果. 笔者认为,可以考虑适当改造教科书设计的 实验,并配合相应的问题串,以更好地实现上述
目的.

实验1:当AD与BC不垂直时,固定BD,折 纸的CAD部分绕着AD旋转,保持BD与DC紧 贴桌面,观察AD的变化.

问题3:怎样才能使铅笔不向任一方向歪? 增加一参照物:在平整桌面上过铅笔底端。 放一铁丝段. 铅笔应与任意放置的过铅笔底端0的铁丝 段垂直(让任意与任一方向对应). 问题4:在平整桌面上移动铁丝段,使铁丝段 不过0,铅笔所在直线和铁丝段所在直线还应该 垂直吗? 应该垂直(由异面直线的角的定义). 问题5:你认为怎样的直线是与平面垂直的? 直线与平面垂直当有直线与平面内任一直线 垂直. 接下去就可以比较自然地得到了直线与平面 垂直的定义了.
3.2

直线与平面垂直的判定定理教学的解构与
①人教版普通高中课程标准实验教科书?数学-必修2,

设计

与传统教学比较,《课标》对“直线与平面垂直

2005年第2版。第72页

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问题1:在旋转过程中,AD在动吗?——AD
在动. 问题2:在AD运动的过程中,有可能与平面 垂直吗?——不可能垂直.

平面a垂直吗?它与直线与平面垂直的定义符合

吗?——因为DC在桌面上是绕着点D任意旋
转的,并且在旋转过程中,AD与DC始终保持垂 直,这就说明AD与平面a内任意一条过点D的 直线都垂直,而平面口内任意一条直线都可以平 移成平面a内一条过点D的直线,所以AD与平 面口内任意一条直线都垂直,符合直线与平面垂 直的定义.故有AD与平面口垂直. 问题5:到此我们可以说:“一条直线与一个 平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直”了吗?

f/

/ 。\\

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.?

心?

问题3:为什么不可能垂直?——因为当AD
与BC不垂直时,么ADB与么ADC都不是直角, 而折纸的CAD部分绕AD旋转时,么ADB与 么ADC保持不变(可单独设问),即不论怎么旋转 AD都不可能与BD或DC垂直,由直线与平面垂 直的定义知,AD不可能与平面口垂直. 实验2:当AD与BC垂直时,折纸的CAD部 分绕着AD旋转一个角度后,放置到桌面上,然后 固定BD,保持BD与DC紧贴桌面,让折纸的 CAD部分继续绕着AD旋转,观察AD的变化.

——可以了.一条直线相当于AD,平面内的
两条相交直线中的一条相当于是BD,那么另一 条就相当于是DC,AD与任意确定的DC垂直, 由问题4的解决,就会有AD与平面内的任何一 条直线都垂直.所以“一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直。则该直线与此平面垂直.” 这就是直线与平面垂直的判定定理.这样的 设计注意了判定定理与定义的联系性,也注意了 判定定理对定义的依赖性,可以有效地克服学生 学了判定定理有“为什么不直接就把判定定理作 为定义”之类的疑惑. 值得注意的是,有效教学只是对教学的基本 要求,优质教学才是我们的追求目标.作为教师, 在教学中关注学生发展的同时,还应关注自身的 发展.我们期待这样的教学:见解深刻、深入浅出; 旁征博引、循循善诱;充满智慧、精益求精.只有这 样才能做到“教师在教学过程中应与学生积极互 动,共同发展”,也就是孑L子倡导的“教学相长”.而 教学设计正是通达这种境界的重要载体.

问题1:在旋转过程中,AD在动吗?——AD
不动.

伺题2:在旋转过程中,AD与平面垂直 吗?——垂直(“直观感知”).
问题3:旋转过程中AD始终与平面垂直,那 么AD与BD、DC的垂直关系是否发生变

化?——因为当AD与BC垂直时,么ADB与
么ADC都是直角,而折纸的CAD部分绕AD旋 转时,么ADB与么ADC保持不变(可单独设问), 即不论怎么旋转,AD都与BD、DC保持垂直. 问题4:AD与BD、DC都垂直,就有AD与 (上接第17页) 想、方法就比较困难.在一定程度上,这些都影响 着教师在教学中对数学史料的运用.因此,在编 写教材中的数学史料时,不应像介绍历史一样平 铺直叙,既要注意科学性,更应该注意其实用性和 趣味性,同时还可以附一些参考文献,以方便学生 的研读. .总之,将数学史融于数学课程,特别是融于日 常课堂教学,发挥数学史的教育功能,是数学教育 改革的一项重要任务,需要数学史家、教材编写者

和广大一线数学教师的共同努力才能完成.
◆考文棘

1九年制义务教育教材《数学》(七√、、九年级),北京:人民教育 出版社 2张楠,罗增儒.对数学史与数学教育的思考[.,].数学教育学 报,2006,15(3):72—74 3张小明,汪晓勤.HPM的实践和若干思考[.,].中学数学教 学参考,2006,1~2:117—120

4王颖,古效鸣.高中生数学史学习状况的调查与分析[力.株
洲师范高等专科学校学报2005,4(2):109—111

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