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湖南师大附中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)


湖南师大附中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 P={y|y≥0},P∩Q=Q,则集合 Q 不可能是() A.{y|y=x }
2

B.{y|y=2 }

x<

br />
C.{y|y=lgx}

D.?

2. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

3. (5 分)下列结论中错误的是() A.设命题 p:?x∈R,使 x +x+2<0,则¬P:?x∈R,都有 x +x+2≥0 B. 若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≤( ) 取到等号”的充要条件
2 2 2

C. 已知命题 p 和 q,若 p∧q 为假命题,则命题 p 与 q 都为假命题 D.命题“在△ ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为真命题 4. (5 分)执行图题实数的程序框图,如果输入 a=2,b=2,那么输出的 a 值为()

A.44

B.16

C.256

D.log316 )图象的一部分.为了得到这

5. (5 分)如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A<0,ω>0,|φ|≤ 个函数的图象,只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点()

A.向左平移 B. 向左平移 C. 向左平移 D.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

6. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的焦点为 F1、F2,渐近线为 l1,l2,过点 F2

且与 l1 平行的直线交 l2 于 M,若 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆上,则双曲线的离心率为() A.2 B. C. D.

7. (5 分)已知 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值是 () A.2+2 B.2+ C.3+ D.1+2

8. (5 分)某市政府调查市民收入增减与旅游欲望的关系时,采用独立性检验法抽查了 3000 2 人,计算发现 K =6.023,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入培养与旅游欲望有 关系的可信程度是() P(K ≥k) … k … A.90%
2

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

… …

B.95%

C.97.5%

D.99.5%
x

9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式 e f(x) x >e +3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C. (﹣∞, 0) ∪ (0, +∞) D.(3,+∞) 10. (5 分)若存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列{an}为周期数列, 周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0) ,an+1= ,关于下列命题:

①当 m= 时,a5=2 ②若 m= ,则数列{an}是周期为 3 的数列; ③对若 a2=4,则 m 可以取 3 个不同的值; ④?m∈Q 且 m∈[4,5],使得数列{an}是周期为 6. 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c﹣1) ,则 c=. 12. (5 分)已知二项式(ax+ ) 展开式中各项的系数和为 64,则 a=.
3

13. (5 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 P﹣BCE 的体积为.

14. (5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为. 15. (5 分)已知函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则 t 的 取值范围.
x 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)某学校为准备参加市运动会,对本校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二 两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试, 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 (单 位:cm) .跳高成绩在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“合格”,成绩在 175cm 以下定义为“不 合格”.

(1)如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共 10 人,问就抽取“合格” 人数是多少? (2)若从所有“合格”运动员中选取 2 名,用 X 表示所选运动员来自 2014-2015 学年高一队的 人数,试写出 X 的分布图,并求 X 的数学期望. 17. (12 分) 在△ ABC 中, 三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C, 设函数 ( f x) = 且 f( )=2. (1)若 acosB+bcosA=csinC,求角 B 的大小; (2)记 g(λ)=| +λ |,若| |=| |=3,试求 g(λ)的最小值. sin2x+cos2x,

18. (12 分)如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,对角线 AC 与 BD 交于点 O,OA=3,OD=1,CD= ,SO⊥底面 ABCD. (1)求证:SA⊥BD; (2)若四棱锥 S﹣ABCD 的体积 V=8,求二面角 A﹣SB﹣C 的平面角的正弦值.

19. (13 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4 且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成 * 等比数列(n∈N ) (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4;由此归纳出{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论. (2)若 cn=log2( 的正整数 m. ) ,Sn=c1+c2+…+cn,试问是否存在正整数 m,使 Sm≥5,若存在,求最小

20. (13 分)如图所示,已知椭圆 C1:

+

=1,C2:

+

=1(a>b>0)有相同的离心

率,F(﹣ ,0)为椭圆 C1 的左焦点,过点 F 的直线 l 与 C1、C2 依次交于 A、C、D、B 四 点. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)求证:无论直线 l 的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|; (3)若|AC|=1,求直线 l 的斜率.

21. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+ ,g(x)=x+lnx,其中 a>0,且 x∈(0,+∞) . (1)若 a=1,求 f(x)的最小值; (2)若对任意 x≥1,不等式 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)已知数列{an}满足:a1∈[1,2],且对任意正整数 n,有 an+1=an+2n+2,求证: + +…+ ≤ .

湖南师大附中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 P={y|y≥0},P∩Q=Q,则集合 Q 不可能是() 2 x A.{y|y=x } B.{y|y=2 } C.{y|y=lgx} D.? 考点: 专题: 分析: 解答: ∴Q?P 对数函数的值域与最值. 计算题. 先根据 P∩Q=Q 可得 Q?P,然后分别求出选项的值域,进行判定即可. 解:∵P∩Q=Q

选项 A,Q={y|y≥0}=P,满足 Q?P 选项 B,Q={y|y>0},满足 Q?P 选项 C,Q={y|y=lgx}=R,不满足 Q?P 选项 D,Q=?,满足 Q?P 故选 C. 点评: 本题主要考查了二次函数、指数函数、对数函数的值域,同时考查了集合的交集, 属于基础题.

2. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 题设条件用意不明显,本题解题方法应从选项中突破,由于四个选项中有两个选项 是与奇偶性有关的,故先验证奇偶性较好, 解答: 解: ,

∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 D. 点评: 考查函数的对称性,宜从奇偶性入手研究. 3. (5 分)下列结论中错误的是() 2 2 A.设命题 p:?x∈R,使 x +x+2<0,则¬P:?x∈R,都有 x +x+2≥0 B. 若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≤( ) 取到等号”的充要条件
2

C. 已知命题 p 和 q,若 p∧q 为假命题,则命题 p 与 q 都为假命题 D.命题“在△ ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为真命题 考点: 特称命题;复合命题的真假. 专题: 综合题. 分析: A 写出命题 p 的否定¬P 即可判断正误; B 判断充分性与必要性是否成立; C 根据复合命题的真假性判断即可; D 根据△ ABC 中,A>B?sinA>sinB,即可判断正误. 解答: 解:对于 A,命题 p:?x∈R,使 x +x+2<0,它的否定¬P:?x∈R,都有 x +x+2≥0, 是正确的; 对于 B,若 x,y∈R,则“x=y”时,“xy≤( 当“xy≤(
2 2 2

) 取到等号”,

2

) 取到等号时”,“x=y”成立,∴是充要条件,命题正确;

对于 C,当命题 p∧q 为假命题时,命题 p、q 有 1 个为假命题,或者都是假命题,∴命题 C 错 误; 对于 D,“在△ ABC 中,A>B?sinA>sinB”,∴原命题的逆命题是真命题,是正确的. 故选:C. 点评: 本题通过命题真假的判断,考查了四种命题之间的关系,充分与必要条件的应用问 题,复合命题的真假性以及解三角形的知识,是基础题.

4. (5 分)执行图题实数的程序框图,如果输入 a=2,b=2,那么输出的 a 值为()

A.44

B.16

C.256

D.log316

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,依次运行,直到满足条件即可得到结论. 解答: 解:若 a=2,则 log3a=log32>4 不成立,则 a=2 =4, 2 若 a=4,则 log3a=log34>4 不成立,则 a=4 =16, 2 若 a=16,则 log3a=log316>4 不成立,则 a=16 =256 若 a=256,则 log3a=log3256>4 成立,输出 a=256, 故选:C 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,根据程序直接运行判断即可得到结论.
2

5. (5 分)如图是函数 y=Asin(ωx+φ) (A<0,ω>0,|φ|≤ 个函数的图象,只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点()

)图象的一部分.为了得到这

A.向左平移 B. 向左平移 C. 向左平移 D.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 先根据函数的周期和振幅确定 w 和 A 的值,再代入特殊点可确定 φ 的一个值,进而 得到函数的解析式,再进行平移变换即可. 解答: 解:由图象可知函数的周期为 π,振幅为 1, 所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+φ) . 代入(﹣ ,0)可得 φ 的一个值为 , ) ,

故图象中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ 即 y=sin2(x+ ) ,

所以只需将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变.

个单位长度,

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识,属于基础题题.根据图象求 函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 φ.三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的

6. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的焦点为 F1、F2,渐近线为 l1,l2,过点 F2

且与 l1 平行的直线交 l2 于 M,若 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆上,则双曲线的离心率为() A.2 B. C. D. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 已知得出过 F 且与双曲线 C 的一条渐近线平行的直线方程,与另一条渐近线方程联 立即可解得交点 M 的坐标,代入以线段 F1F2 为直径的圆的方程,即可得出离心率 e. 解答: 解:不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y= 与 y=﹣ 联立,可得交点 M( ,﹣ ) , ,

∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上, ∴ ∴b= ∴c= ∴e= =2. 故选:A. a, =2a, =c ,
2

点评: 本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,熟练掌握双曲线的渐近线及离 心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键.

7. (5 分)已知 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0,则( + + )?( + )的最大值是 () A.2+2 B.2+ C.3+ D.1+2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先将已知等式展开,得到( + + )?( + )=2+ ?(2 + ) ,再利用向量的数 量积转为关于向量夹角的式子,求最值. 解答: 解:∵ 、 、 均为单位向量,且满足 ? =0, ∴( + + )?( + )= =2+ ?(2 + )=2+| |?|2 =2+ cos< ,2 >, >=1 时, ( + + )?( + )的最大值是 2+ . + +2 |cos< ,2 + + >

∴当 cos< ,2

故选 B. 点评: 本题考查了向量的数量积的定义以及运用,当向量的夹角为 0°时,数量积最大. 8. (5 分)某市政府调查市民收入增减与旅游欲望的关系时,采用独立性检验法抽查了 3000 人,计算发现 K =6.023,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入培养与旅游欲望有 关系的可信程度是() 2 P(K ≥k) … 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 … k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 … A.90% B.95% C.97.5% D.99.5%
2

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 根据所给的这组数据的观测值,把观测值同临界值进行比较,6.023>5.024,得到市 民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是 1﹣0.025. 2 解答: 解:∵做出 K =6.023, 6.023>5.024, ∴市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是 1﹣0.025=97.5%, 故选 C. 点评: 本题考查独立性检验,本题不用自己运算,只要把所给的事件和所给的表格进行检 验即可,注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系.

9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式 e f(x) x >e +3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0)∪(3,+∞) C. (﹣∞, 0) ∪ (0, +∞) D.(3,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. x x 分析: 构造函数 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质 和函数值,即可求解 x x 解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g′(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣1], ∵f(x)+f′(x)>1, ∴f(x)+f′(x)﹣1>0, ∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上单调递增, ∵e f(x)>e +3, ∴g(x)>3, 0 0 又∵g(0)═e f(0)﹣e =4﹣1=3, ∴g(x)>g(0) , ∴x>0 故选:A. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函 数的单调性是解题的关键. 10. (5 分)若存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列{an}为周期数列, 周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0) ,an+1= ,关于下列命题:
x x

x

①当 m= 时,a5=2 ②若 m= ,则数列{an}是周期为 3 的数列; ③对若 a2=4,则 m 可以取 3 个不同的值; ④?m∈Q 且 m∈[4,5],使得数列{an}是周期为 6. 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D.4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: ①,当 m= 时,分别求得 a2、a3、a4、a5、即可判断①; ②,若 m= ,可求得 a2、a3、a4,从而可判断②;

③,若 a2=4,依题意得



,可求得,a1=5 或 ,又 a1=m,从而可

判断③; ④,分 m=4 或 5 与 m∈(4,5)讨论,可判断④. 解答: 解:对于①,当 m=﹣ 时,a2= ,a3= ,a4=3,a5=2,故①为真; 对于②,当 m= 时,a2= ﹣1,a3= 或 +1,a4= =a1,故②为真;

对于③,由题意得

,∵a2=4,

∴a1=5 或 ,又 a1=m,∴m=5 或 ,故③假; 对于④,当 m=4 或 5 时,显然数列{an}不是周期数列,当 m∈(4,5)时,要使数列{an}是周 期数列,必须 a7=a1, 由 a2=m﹣1,a3=m﹣2,a4=m﹣3,a5=m﹣4,a6= 即 ﹣1=m,此时 m?Q,故④为假命题, ,a7= ﹣1,

故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查数列的递推关系的理解与应用,考查函 数的周期性与解方程的能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9) ,若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c﹣1) ,则 c=2. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题. 分析: 画正态曲线图,由对称性得 c﹣1 与 c+1 的中点是 2,由中点坐标公式得到 c 的值. 解答: 解:∵N(2,3 )? , ∴ 解得 c=2, 故答案为:2. ,
2



点评: 本题考查正态分布,正态曲线有两个特点: (1)正态曲线关于直线 x=μ 对称; (2) 在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 12. (5 分)已知二项式(ax+ ) 展开式中各项的系数和为 64,则 a=3.
3

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 令 x=1 可得二项式开式中各项的系数和为(a+1) =64,由此求得 a 的值. 解答: 解:令 x=1 可得二项式(ax+ ) 展开式中各项的系数和为(a+1) =64,求得 a=3,
3 3 3

故答案为:3. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果, 选择合适的数值代入,属于基础题. 13. (5 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 P﹣BCE 的体积为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 根据四棱锥的特点求出三角形 BCE 的面积,即可根据锥体的体积公式计算体积. 解答: 解:∵侧棱 PA⊥底面 ABCD, ∴PA 是四面体 P﹣BCE 的高, ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°, ∴AB=BC=2,∠EBC=120°, ∵E 为 AB 的中点, ∴BE=1,

∴三角形 BCE 的面积 S= ∴四面体 P﹣BCE 的体积为 故答案为: . ,



点评: 本题主要考查三棱锥的体积的计算,利用条件求出三棱锥的底面积和高是解决本题 的关键,要求熟练掌握锥体的体积公式. 14. (5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为﹣2. 考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 首先由 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,可得 2Sn=Sn+1+Sn+2,然后利用等比数列的求和 公式分别表示 Sn+1,Sn,Sn+2,注意分 q=1 和 q≠1 两种情况讨论,解方程即可. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 2Sn=Sn+1+Sn+2, 若 q=1,则 Sn=na1,式显然不成立, 若 q≠1,则为 故 2q =q +q , 2 即 q +q﹣2=0, 因此 q=﹣2. 故答案为﹣2. 点评: 涉及等比数列求和时,若公比为字母,则需要分类讨论. 15. (5 分)已知函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则 t 的 取值范围 .
x 2 n n+1 n+2



考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 函数 f(x)=|xe |是分段函数,通过求导分析得到函数 f(x)在(0,+∞)上为增函 数,在(﹣∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求得函数 f(x)在(﹣∞,0) 上,当 x=﹣1 时有一个最大值 ,所以,要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, f(x)的值一个要在 内,一个在 内,然后运用二次函数的图象及二次
2

方程根的关系列式求解 t 的取值范围. 解答: 解:f(x)=|xe |=
x

当 x≥0 时,f (x)=e +xe ≥0 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数; ′ x x x 当 x<0 时,f (x)=﹣e ﹣xe =﹣e (x+1) , ′ ′ x 由 f (x)=0,得 x=﹣1,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f (x)=﹣e (x+1)>0,f(x)为增函数, ′ x 当 x∈(﹣1,0)时,f (x)=﹣e (x+1)<0,f(x)为减函数, 所以函数 f(x)=|xe |在(﹣∞,0)上有一个最大值为 f(﹣1)=﹣(﹣1)e = , 要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 令 f(x)=m,则方程 m +tm+1=0 应有两个不等根,且一个根在 内, 再令 g(m)=m +tm+1, 因为 g(0)=1>0, 则只需 g( )<0,即
x 2 2 2 2 x
﹣1



x

x

内,一个根在

,解得:t<﹣



所以,使得函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的 t 的取值范围 是 故答案为 . .

点评: 本题考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了利用函数的导函数分析函数的单 2 调性,考查了学生分析问题和解决问题的能力,解答此题的关键是分析出方程 f (x)+tf(x) +1=0(t∈R)有四个实数根时 f(x)的取值情况,此题属于中高档题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)某学校为准备参加市运动会,对本校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二 两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试, 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 (单 位:cm) .跳高成绩在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“合格”,成绩在 175cm 以下定义为“不 合格”.

(1)如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共 10 人,问就抽取“合格” 人数是多少? (2)若从所有“合格”运动员中选取 2 名,用 X 表示所选运动员来自 2014-2015 学年高一队的 人数,试写出 X 的分布图,并求 X 的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图. 专题: 概率与统计.

分析: (1)运用分层抽样求解. (2)先确定 X 的值为:0,1,2.再求 P(X=0) ,P(X=1) , P(X=2) 列出概率分布,求出数学期望. 解答: 解: (1)根据茎叶图可得:“合格”的人数有 12,“不合格”人数有 18, 用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是 所以抽取“合格”人数是 12× =4 (2)以题意得:X 的值为:0,1,2. 则 P(X=0)= = = , = ,

P(X=1)=

=

=



P(X=2)= X 的分布: X P

=

=

0

1

2

X 的数学期望:0×

=

=

点评: 本题考察了统计知识,茎叶图,离散型的数学期望,属于中档题. 17. (12 分) 在△ ABC 中, 三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C, 设函数 ( f x) = 且 f( )=2. (1)若 acosB+bcosA=csinC,求角 B 的大小; (2)记 g(λ)=| +λ |,若| |=| |=3,试求 g(λ)的最小值. sin2x+cos2x,

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用. 分析: (1)由两角和的正弦公式,即可化简 f(x) ,再由 f( )=2,即可得到 A,再由正 弦定理,即可化简 acosB+bcosA=csinC,求出 sinC,得到 C,从而得到 B; (2)运用向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,代入数据,得到 g(λ)的表达式, 配方即可得到最小值. 解答: 解: (1)函数 f(x)= =2sin(2x+ ) , sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)

且 f( )=2,即有 sin(A 则 A= ﹣ = ,

)=1,A 为三角形的内角,

又 acosB+bcosA=csinC, 由正弦定理,得 sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC, 即有 sin(A+B)=sinC=sin C, 即有 sinC=1,C 为三角形的内角,即有 C= 则 B=π﹣A﹣C= (2)| 而| 则| =3 则当 |=|
2 2



; | =| | +λ | ,
2 2

| +2λ|

2

||

|,

|=3,A= |=

, 时,g(λ)取得最小值 .

点评: 本题考查三角函数的求值和正弦定理及运用,考查平面向量的数量积及性质,考查 运算能力,属于中档题. 18. (12 分)如图所示,四棱锥 S﹣ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,对角线 AC 与 BD 交于点 O,OA=3,OD=1,CD= ,SO⊥底面 ABCD. (1)求证:SA⊥BD; (2)若四棱锥 S﹣ABCD 的体积 V=8,求二面角 A﹣SB﹣C 的平面角的正弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知条件推导出 OC⊥OD,AC⊥BD,从而 BD⊥SO,进而 BD⊥平面 SOA, 由此能证明 SA⊥BD. (2)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A﹣SB﹣C 的平面角的正弦值. 解答: (1)证明:∵OD=1,底面 ABCD 这等腰梯形, ∴OC=1,又 CD= ,∴OC⊥OD, ∴AC⊥BD,又 SO⊥底面 ABCD,∴BD⊥SO, ∵AC∩SO=0,

∴BD⊥平面 SOA, ∴SA⊥BD. (2)∵底面 ABCD 为等腰梯形,且 AC⊥BD, ∴梯形 ABCD 的面积 S= ∴四棱锥 S﹣ABCD 的体积 V=8= , ,解得 SO=3.

建立空间直角坐标系,如图所示, 则 O(0,0,0) ,A(3,0,0) , B(0,3,0) ,C(﹣1,0,0) ,S(0,0,3) , ∴ =(3,0,﹣3) , =(0,3,﹣3) , =(x,y,z) , =(﹣1,0,﹣3) ,

令平面 SAB 的法向量

则 取 x=1,得

, =(1,1,1) , =(x1,y1,z1) ,

设平面 SBC 的法向量

则 解得 =(﹣3,1,1) ,



设二面角 A﹣SB﹣C 的平面角为 θ, 则|cosθ|=|cos< ∴sinθ= >|=| = . |= ,

点评: 本题考查异面直线的证明,考查二面角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

19. (13 分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4 且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成 * 等比数列(n∈N ) (1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4;由此归纳出{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论. (2)若 cn=log2( 的正整数 m. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由题意,2bn=an+an+1,a n+1=bnbn+1,从而写出 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4;利用 数学归纳法证明通项公式; (2)由题意,cn=log2( (n+1) ,从而求 m. 解答: 解: (1)由条件可得,2bn=an+an+1,a n+1=bnbn+1, 则由 a1=2,b1=4,可得, a2=6,a3=12,a4=20; b2=9,b3=16,b4=25; 2 猜想:an=n(n+1) ,bn=(n+1) ; 证明如下: ①当 n=1 时,结论成立; 2 ②假设当 n=k 时成立,即 ak=k(k+1) ,bk=(k+1) ; 则当 n=k+1 时, ak+1=2bk﹣ak=2(k+1) ﹣k(k+1)=(k+2) (k+1) , 2 2 2 2 2 bk+1=a k+1÷bk=(k+2) (k+1) ÷(k+1) =(k+2) ; 2 故 an=n(n+1) ,bn=(n+1) 对一切正整数 n 都成立. (2)∵cn=log2( )=log2 ,
2 2

) ,Sn=c1+c2+…+cn,试问是否存在正整数 m,使 Sm≥5,若存在,求最小

)=log2

,化简 Sn=c1+c2+…+cn=log2 +log2 +…+log2

=log2

∴Sn=c1+c2+…+cn=log2 +log2 +…+log2

=log2(n+1) ,

则 Sm≥5 可化为 log2(m+1)≥5, 则 m≥31, 故存在正整数 m,且最小的正整数 m 为 31. 点评: 本题考查了合情推理及数学归纳法,同时考查了对数运算及数列的通项公式的求法, 属于中档题.

20. (13 分)如图所示,已知椭圆 C1: 率,F(﹣ 点.

+

=1,C2:

+

=1(a>b>0)有相同的离心

,0)为椭圆 C1 的左焦点,过点 F 的直线 l 与 C1、C2 依次交于 A、C、D、B 四

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)求证:无论直线 l 的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|; (3)若|AC|=1,求直线 l 的斜率.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求得椭圆 C1 的离心率,再由离心率公式和 a,b,c 的关系,即可得到椭圆椭圆 C2 的方程; (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,可得 A,B,C,D 的坐标,计算即可得到|AC|=|BD|;当 l 不垂 直于 x 轴时,设直线 l:y=k(x ) ,联立椭圆方程,消去 y,得到 x 的方程,运用韦达定理, 再由中点坐标即可得到|AC|=|BD|; (3)若|AC|=1,由(2)得,|AB|=|CD|+2,当直线 l 垂直于 x 轴时,不满足题意;当 l 不垂直 4 2 于 x 轴时,设直线 l:y=k(x ) ,由(2)运用弦长公式,化简整理,得到 8k ﹣2k ﹣1=0, 解方程即可得到. 解答: (1)解:椭圆 C1: + =1 的离心率为 = ,

对于 C2:

+

=1(a>b>0)的 c=
2

,由条件得, =

,则 a=2,b=1,

则椭圆 C2 的方程为:

+y =1; ,﹣ ) ,B(﹣ , ) ,C(﹣ ,

(2)证明:当直线 l 垂直于 x 轴时,可得 A(﹣ ﹣ ) ,D(﹣ , )

即有|AC|=|BD|; 当 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l:y=k(x
2 2

) ,
2 2



消去 y,得(1+4k )x +8

k x+12k ﹣10=0,



消去 y,得(1+4k )x +8

2

2

k x+12k ﹣4=0,

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,

则 x1+x2=x3+x4=﹣

,即有 AB,CD 的中点重合,则有|AC|=|BD|.

故无论直线 l 的倾斜角如何变化恒有|AC|=|DB|; (3)解:若|AC|=1, 由(2)得,|AB|=|CD|+2, 当直线 l 垂直于 x 轴时,不满足题意; 当 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l:y=k(x ) , 由(2)得,x1+x2=x3+x4=﹣ 则 |CD|= = ,x1x2= ,x3x4= ,

= 同理, |AB|=



=

=



则有

+2=



化简可得,8k ﹣2k ﹣1=0,解得 k = , 则有 k= .

4

2

2

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长 公式,考查直线方程的设法,以及化简整理的运算能力和推理能力,具有一定的运算量,属于 难题. 21. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+ ,g(x)=x+lnx,其中 a>0,且 x∈(0,+∞) . (1)若 a=1,求 f(x)的最小值;

(2)若对任意 x≥1,不等式 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)已知数列{an}满足:a1∈[1,2],且对任意正整数 n,有 an+1=an+2n+2,求证: + +…+ ≤ .

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,确定函数的单调性,即可求 f(x)的最小值; (2)对任意 x≥1,不等式 f(x)≤g(x)恒成立,即 h(x)=f(x)﹣g(x)=(a﹣1)lnx+ ﹣x≤0 恒成立,对 a 分类讨论,确定函数的单调性,即可求实数 a 的取值范围; (3)证明 明结论. 解答: 解: (1)a=1 时,f(x)=lnx+ ,f′(x)= , ≤ (1﹣ ) ,an=n(n+1)﹣2+a1≤n(n+1) ,结合累加法,裂项法,即可证

∴f′(x)<0,可得 0<x<1,f′(x)>0,可得 x>1, ∴函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1 时,f(x)的最小值为 1; (2)对任意 x≥1,不等式 f(x)≤g(x)恒成立,即 h(x)=f(x)﹣g(x)=(a﹣1)lnx+ ﹣x≤0 恒成立, ∴h′(x)=﹣ 0<a≤3 时,△ ≤0,则 h′(x)≤0,即 h(x)在[1,+∞)上单调递减, ∵h(1)=0,∴h(x)≤h(1)=0 恒成立; a>3 时,x ﹣(a﹣1)x+1=0 的两根满足 0<x1<1<x2, 2 ∴x∈(x2,+∞)时,x ﹣(a﹣1)x+1>0,则 h′(x)>0,即 h(x)在(x2,+∞)上单调递 增, ∵h(1)=0,∴存在 x∈(x2,+∞)使得 h(x)>h(1)=0,不合题意, 综上,0<a≤3; (3)由(2)知,令 a=3,则对任意 x≥1,有 2lnx+ ﹣x≤0,即 ≤ (1﹣ ) ,
2

令 x=

≤1,∴

≤ (1﹣

) ,

∵数列{an}满足:a1∈[1,2],且对任意正整数 n,有 an+1=an+2n+2, ∴由累加法可得 an=n(n+1)﹣2+a1≤n(n+1) ∴ ≤1﹣ ≤1﹣ =1﹣( ﹣ ) ,

累加,可得

+

+…+

≤n﹣(1﹣ + ﹣ +…+ ﹣

)=



点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,考查不等式的证明,难 度大.


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