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前三大题练习理科(2014)


前三大练习(理科) ? sin(? x ? ) ? 1(? ? 0) 的最小正周期是 ? . 1.已知函数 f ( x) ? 4 cos ? x? 6 ? 3? (I)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在[ , ]上的最大值和最小值. 8 8

2. 如图, 四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 底面 ABCD, AB//DC,

AD ? DC, AB=AD=1, DC=2, PD= 2 ,M 为棱 PB 的中点. (I)证明:DM ? 平面 PBC;(II)求二面角 A—DM—C 的余弦值.

3. 一个袋中装有形状大小完全相同的球 9 个,其中红球 3 个,白球 6 个,每次随机取 1 个,直到取出 次红球即停止. ....3 . ....... (I)从袋中不放回地取球,求恰好取 4 次停止的概率 P1; (II)从袋中有放回地取球. ①求恰好取 5 次停止的概率 P2; ②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=49,a4 和 a8 的等差中项为 11. (I)求 an 及 Sn; (II)证明:当 n≥2 时,有

1 1 1 7 ? ? ... ? ? . S1 S2 Sn 4

5.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 . 2

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f ( ) ? 小值.

A 2

1 ,bc=6,求 a 的最 2

6. 一个袋中装有 5 个形状大小完全相同的球,其中有 2 个红球,3 个白球. (I)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率; (II)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的 球中至少有一个红球的概率.

7. 如图,四边形 ABCD 是菱形,四边形 MADN 是矩形,平面 MADN ? 平面 ABCD,E, F 分别为 MA,DC 的中点,求证: (I)EF//平面 MNCB;(Ⅱ)平面 MAC ? 平面 BND.

8.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S,且 S3=2S2+4,a5=36. (I)求 an ,Sn; (Ⅱ)设 bn ? Sn ?1(n ? N * ) , Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ,求 Tn b1 b2 b3 bn

9.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x . (I)求函数 y ? f ( x) 在 x ? [0, 2? ] 上的单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 m=(a,b), n=(f(C),1)且 m//n,求 B.

10 如图, 底面是等腰梯形的四棱锥 E—ABCD 中, EA ? 平 ? 面 ABCD,AB//CD,AB=2CD, ? ABC= . 3 (I)设 F 为 EA 的中点,证明:DF//平面 EBC; (II)若 AE=AB=2,求三棱锥—CDE 的体积.

11 甲、 乙两家商场对同一种商品开展促销活动, 对购买 该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影 部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角 均为 l5 度,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场: 从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性 摸出 2 球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是 2 个红 球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

12. 已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和 Sn ? an ? n2 ?1 , 数 列 { bn } 满 足

3n ? bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ,且 b1 ? 3 .(I)求 an , bn ; (Ⅱ)设 Tn 为数列{ bn }的前 n
项和,求 Tn .

13. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? xcos? x ? cos ? x ?
2

1 (? ? 0) 的最小正周期是 ? ,将函数 2

f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变;再将所得函数图象向右平移

? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象. 6
(I) g ( x) 的解析式; ( Ⅱ ) 在△ ABC. 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若

g(

?
2

? A) ?

4 ,b ? 2,△ABC 的面积为 3,求边长 a 的值. 5

14.某工厂生产 A,B 两种元件,已知生产 A 元件的正品率为 75%,生产 B 元件的正品率 为 80%, 生产 1 个元件 A, 若是正品则盈利 50 元, 若是次品则亏损 10 元; 生产 1 个元件 B, 若是正品则盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元. (I)求生产 5 个元件 A 所得利润不少于 140 元的概率; (Ⅱ)设 X 为生产 1 个元件 A 和 1 个元件 B 所得总利润,求 X 的分布列和数学期望.

15.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 AA 1 ?4 1B 1B 为菱形, AA

AC ? 3, BC ? B1C ? 5, ?ABB1 ? 60? ,D 为 AB 的中点.
(I)求证: B1D ? B1C1 ; (Ⅱ)求直线 AA1 ,与平面 CB1D 所成角的正弦值.

16. 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2,4Sn ? an ? an ?1, n ? N ? . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?

? 1 ? n 1 ? Tn ? . 与的前 n 项和为 Tn ,求证: 2? 4n ? 4 2 ? an ?

17 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? a4 ? 8 ,且对任意的 n∈N*,都有 an ? an ? 2 ? 2an ?1 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn 。且满足 S1 ? Sn ? 2bn ? b1, n ? N ? ,b1 ? 0 ,求数列

?anbn? 的前 n 项和 Tn .

18. 2013 年 6 月“神舟 ”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、实 验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别 为

3 1 1 2 、 、 、 ,并且各个环节的直播收看互不影响. 4 3 2 3

(Ⅰ)现有该班甲、乙、丙三名同学,求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率; (Ⅱ)若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数,求 X 的分布列与期望.


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