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安徽省安庆一中、安师大附中、马鞍山二中2014届高三12月联考数学(文)试题


安徽省安庆一中、安师大附中、马鞍山二中 2014 届高三 12 月联考数学(文)试题
数学试卷(文科)
满分 150 分,考试时间为 120 分钟 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) 已知全集为实数 R, 若集合 M ? ? x | x ? 2? ,N ? x | x

2 ? 2 x ? 0 ,则 (C R M ) ? N ? (A){2} (B)[0,2] (C)(-∞,2) ( ). (D)(-∞,2] ( ).

?

?

(2) 已知 a, b 是实数, 则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (3)函数 y ? ln ?1 ? x ? 的图象大致为 (B)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 ( ).

(4) 双曲线 x ?
2

y2 斜率较小的一条渐近线的倾斜角是 ? 1 的渐近线中, 3
(B) 120? (C) 90? (D) 60?



) .

(A) 150?

(5)已知数列 {a n } 是等差数列,若 a1 ? a9 ? 10, a4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 ( (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 3

).

(6)如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120? ,点 C 在 ? AB 上,且 ?COB ? 30? ,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? ? ? ? ( (A) 3 (B)
3 3

uuu r

uur

uuu r

).

(C)

4 3 3

(D) 2 3

(7)函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是 ( (A) (??, 2] (B) (??, 2) (C) (2, ??) ).

(D) (0, ??)

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?x ? y ? 3 ? 0 ? (8)已知直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的取值范 ?x ? m ?
围是 (A) (??, ?1] ( (B) [?1, ??)
2

).

(C) [2, ??)
2 2

(D) (??,1]

(9)已知直线 3 x ? y ? 2m ? 0 与圆 x ? y ? n 相切,其中 m, n ? N * ,且 n ? m ? 5 , 则满足条件的有序实数对 (m, n) 共有的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( ).

(10)对于平面直角坐标系内任意两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“折线距 离”: d ( A, B ) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .则下列命题正确的个数是 ①若 A ? -1,3? , B ?1,0 ? ,则 d ( A, B ) ? 5 ; ②若点 C 在线段 AB 上,则 d ( A, C ) ? d (C , B ) ? d ( A, B ) ; ③在 ?ABC 中,一定有 d ( A, C ) ? d (C , B ) ? d ( A, B ) ; ④在 ? ABCD 中,一定有 d ( A, B ) ? d ( A, D) ? d (C , B ) ? d (C , D) . (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ( ).

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)命题“对 ?x ,都有 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ”的否定是 .

(12) 已知 200 辆汽车通过某一段公路的时速的频率分布直方图如上图所示, 求时速在[60, 70]的汽车大约有__________辆. (13)如图,直角 VPOB 中, ?PBO ? 90? ,以 O 为圆心、 OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点.若圆弧 ? 等分 VPOB 的面积,且 ?AOB ? ? 弧度,则 AB ( 14 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

?
tan ?

=

.

| x 2 ? 1| ? kx ? 2 恰 有 两 个 不 同 的 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 x ?1
第 2 页 共 8 页



.

(15)在 V ABC 中,内角 A, B, C 所对边的长为 a, b, c . 若 tan 正确的是______ ______ .(写出所有正确命题的序号)

A? B ? sin C ,则下列命题 2

① sin 2 A ? sin 2 B ? tan A tan B ; ② a cos B ? b cos A ? c ; ③ a cos A=b cos B ; ④ a cos B ? b cos A ; ⑤c ? a ?b ?

2c .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡上的指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ?

?
12

) ? 1 , g ( x) ? sin x ? cos x .

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 图象的对称轴方程; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.

(17) (本小题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜” ,芜湖成为本年 度安徽最“幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查 “阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录 了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸 福度为“极幸福” 若幸福度低于 7.5 , 分,则称该人的幸福度为“不幸福”. 现从这 16 人中感到“极幸福”和“不幸福”的调查人里随机选取 2 人,恰有 1 人是“极幸福”的概率.

第 3 页 共 8 页

(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n,点 Pn (n, S n ) 都在函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,且在点 Pn (n, S n ) 处的切线的斜率为 k n .
(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)若 bn ? 2 n a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
k

(19) (本小题满分 12 分) 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期 4,且 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的解析式; (Ⅱ)判断 f ( x) 在 (0, 2) 上的单调性,并给予证明; (III)当 ? 为何值时,关于方程 f ( x) ? ? 在 ? ?2, 2? 上有实数解?

3x . 3x ? 1

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? a ln x . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ?

3 2 x ? ?1 ? a ? x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 2

xi (i ? 1, 2,3) 使得 f ? xi ? ? g ? xi ? 的值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?

(21) (本小题满分 14 分) 如图,长为 m ? 1(m ? 0) 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点

uuur uuu r M 是线段 AB 上一点,且 AM ? mMB .
(Ⅰ)求点 M 的轨迹 ? 的方程,并判断轨迹 ? 为何种圆锥曲线; (Ⅱ)设过点 Q ( , 0) 且斜率不为 0 的直线交轨迹 ? 于 C , D 两点.试问在 x 轴上是否存在 定点 P ,使 PQ 平分 ?CPD ?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

1 2

第 4 页 共 8 页

文科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.

?x ,使得 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ;

12. 80;

13.

1 ; 2

14. (0,1) U (1, 4) ; 15. ①②③⑤.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题知

1 ? f ( x) ? [cos(2 x ? ) ? 1] , 2 6

????????3 分

1 ? k? ? ( k ? Z ) , 6 2 12 1 ? 1 (Ⅱ)由题知 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? [cos(2 x ? ) ? 1] ? sin 2 x 2 6 2
所以 2 x ?

?

? k? (k ? Z ) ,即 x ?

????????6 分

1 ? 1 1 3 1 1 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 6 2 2 2 2 2 1 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 2 3 2
所以 h( x ) 的值域为 [-1, 0] .

??????10 分

????????12 分

第 5 页 共 8 页

(17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 ; (Ⅱ)记“不幸福”2 人为 m、n ,记“极幸福”4 人为 A、B、C、D 则列举如下: mn, mA, mB, mC , mD, ????????4 分 ????????5 分

nA, nB, nC , nD, AB, AC , AD, BC , BD, CD,
其中恰有1人是“极幸福”的是8种

共15种 ????????10分 ????????12分

8 则 P (恰有一人感到“极幸福” ? ) 15

(18) (本小题满分 12 分) 解: .解: (I)∵点 Pn ( n, S n ) 在函数

f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图像上,
????1 分 ????3 分

? S n ? n 2 ? 2n( n ? N ? )
当n 当n

? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1,

? 1时, a1 ? S1 ? 3 满足上式,
? 2n ? 1

????4 分 ????5 分

所以数列 {a n } 的通项公式为 a n (II)由

f ( x) ? x 2 ? 2 x, 求导得 f ' ( x) ? 2 x ? 2.

????6 分

∵在点 Pn ( n, S n ) 处的切线的斜率为 k n ,

? k n ? 2n ? 2,
? bn ? 2 k n a n ? 4 ? (2n ? 1) ? 4 n

????7 分

????8 分

? Tn ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 4 ? 5 ? 4 2 ? 4 ? 7 ? 4 2 ? ? ? 4 ? (2n ? 1) ? 4 n
用错位相减法可求得 Tn

?

6n ? 1 n ? 2 16 ?4 ? . 9 9

????12 分

(19) (本小题满分 12 分) .解:⑴当 ?2 ?

x ? 0 时, 0 ? x ? 2 , 3? x 1 f (? x) ? ? x ? x , 3 ?1 3 ?1
第 6 页 共 8 页

1 ,, 3 ?1 当 x ? 0 时,由 f ( ?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0 ? f ( x ) 有最小正周期 4, ? f (?2) ? f (?2 ? 4) ? f (2) ? f (?2) ? f (2) ? 0 综上,


f ( x) 为奇函数, f ( x) ? ? f (? x) ? ?

x

?????????3 分

?????????4 分

? 3 ,0 ? x ? 2 ? x ?3 ?1 ? f ( x) ? ?0, x ? {?2, 0, 2} ? 1 ?? x , ?2 ? x ? 0 ? 3 ?1 ? x x x x ⑵设 0 ? x1 ? x2 ? 2, 则 3 1 ? 3 2 ? 0 , (3 1 ? 1)(3 2 ? 1) ? 0
x

?????????5 分

? f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为增函数。
⑶即求函数 当 x?

1 1 3x1 ? 3x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? ?0 3 ?1 3 ? 1 (3x1 ? 1)(3x2 ? 1) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
?????????8 分 ?????????9 分

f ( x) 在 ? ?2, 2? 上的值域。

? 0, 2 ? 时由⑵知, f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为增函数,
?????????10 分

1 9 ? ? f (0) ? f ( x) ? f (2) ? , 2 10 当 x ? ? ?2, 0 ? 时, 0 ? ? x ? 2 , ? f ( x) ? ? f (? x) ? (?

9 1 ?????????11 分 ,? ) 10 2 当 x ? {?2, 0, 2} 时, f ( x ) ? 0 9 1 1 9 ? f ( x) 的值域为 (? , ? ) ? ?0? ? ( , ) 10 2 2 10 9 1 1 9 ? ? ? (? , ? ) ? ?0? ? ( , ) 时方程方程 f ( x) ? ? 在 ? ?2, 2? 上有实数解。 10 2 2 10
?????????12 分

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (0, ??) ,由已知得

4 4( x 2 ? 1) , f ( x) ? 4 x ? ? x x
'

?????????2 分

则当 0 ? 当x

x ? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,

? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数,
f ( x) 的极小值为 f (1) ? 2 .
?????????????????6 分

故函数

(Ⅱ)若存在,设

f ? xi ? ? g ? xi ? ? m ? i ? 1, 2,3? ,

第 7 页 共 8 页

则对于某一实数 m 方程 设 F ( x)

f ? x ? ? g ? x ? ? m ? 0 在 (0, ??) 上有三个不等的实根,
3 2 x ? ?1 ? a ? x ? m , 2

? f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 x 2 ? a ln x ?

则函数 F ( x )

? f ( x) ? g ( x) ? m 的图象与 x 轴有三个不同交点,

即 F ?( x )

? 4x ?

x 2 ? ?1 ? a ? x ? a a 在 (0, ??) 有两个不同的零点. ? 3x ? 1 ? a ? x x

?????????9 分

显然 F ?( x )

?

x 2 ? ?1 ? a ? x ? a x

?

( x ? 1)( x ? a ) 在 (0, ??) 上至多只有一个零点 x

则函数 F ( x )

? f ( x) ? g ( x) ? m 的图象与 x 轴至多有两个不同交点,
????????13 分

则这样的 a 不存在。 (21) (本小题满分 14 分)

解: (1)设 A、B、M 的坐标分别为(x0,0)、(0,y0)、(x,y),则 x0+y0=(m+1) , → → 由AM=mMB,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y),

2

2

2



????1 分

?x =(m+1)x, ?0 ?x-x0=-mx, ∴? ∴? m+1 ?y=m(y0-y). ?y0= m y. ?



????????2 分

m+1 2 2 2 2 2 将②代入①,得(m+1) x +( m ) y =(m+1) , 2 y 2 化简即得点 M 的轨迹 Γ 的方程为 x +m2=1(m>0) . 当 0<m<1 时,轨迹 Γ 是焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m=1 时,轨迹 Γ 是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当 m>1 时,轨迹 Γ 是焦点在 y 轴上的椭圆. 1 (2)依题意,设直线 CD 的方程为 x=ty+2,

????????4 分

????????7 分

?x=ty+1, ? 2 由? 2 y ?x2+m2=1. ?
4 2 2

3 2 2 2 2 2 消去 x 并化简整理,得(m t +1)y +m ty-4m =0,
2 2

?????8 分

△=m t +3m (m t +1)>0,设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 2 2 mt 3m y1+y2=- 2 2 ,y1y2=- . ③ ????????9 分 2 2 m t +1 4(m t +1) 假设在 x 轴上存在定点 P(a,0),使 PQ 平分∠CPD,则直线 PC、PD 的倾斜角互补, ∴kPC+kPD=0, ??????????10 分 y1 y2 1 1 y1 y2 即 + =0,∵x1=ty1+2,x2=ty2+2,∴ + =0, 1 1 x1-a x2-a ty1+2-a ty2+2-a 化简,得 4ty1y2+(1-2a)( y1+y2)=0. ④ ????????12 分 2 2 m t(1-2a) 3m t 2 将③代入④,得- 2 2 - 22 =0,即-2m t(2-a)=0, m t +1 m t +1 ∵m>0,∴t(2-a)=0,∵上式对?t∈R 都成立,∴a=2. 故在 x 轴上存在定点 P(2,0),使 PQ 平分∠CPD. ????????14 分

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