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2015-2016学年浙江省杭州第二中学仿真模拟考试数学(理)试题(答案)


2015 学年浙江省杭州第二中学仿真模拟考试数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh
1 3 1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

锥体的体积公式

V=

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式 V ?

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式 S=4πR2
4 3

其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高

球的体积公式 V=

πR 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分 (共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求. ) 1. A ? {x A. R

1 ? 1} , B ? {x x ? 1} ,则 A U B ? x
B. (0, ??) C. {1} D. ?1, ?? ?

2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是 A.

7 cm 3 6

B.

4 cm 3 3

C.

3 cm 3 2

D. 2 cm

3

3.双曲线 率为 A.

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 上存在一点 P ,与坐标原点 O ,右焦点 F2 构成正三角形,则双曲线的离心 a 2 b2

5 +1 2

B. 3

C. 3 +1

D. 2

4. ΔABC 中, AB = 8, AC = 6 , AD 垂直 BC 于点 D , E , F 分别为 AB , AC 的中点,若 DE ? DF = 6 , 则 BC = A. 2 13 B. 10 C. 2 37 D. 14

5.设函数 f ( x) = a sin(x + α) + b sin(x + β) + c sin(x + γ) ,则 p : “ f ( ) ? 0 ”是 q : “ f ( x) 为偶函数” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
1

π 2

6.正项等比数列 {a n } 满足: 2a4 + a3 = 2a2 + a1 + 8 ,则 2a6 + a5 的最小值是 A. 64 B. 32 C. 16 D. 8

? ?ax ? 2 y ? 8 ? 0 ? ? ? ? 7.非空集合 A ? ?( x, y ) | ? x ? y ? 1 ? 0 ? ,当 ( x, y) ? A 时,对任意实数 m , 目标函数 z = x + my 的最大值 ? ?2 x ? ay ? 2 ? 0 ? ? ? ?
和最小值至少有一个不存在,则实数 a 的取值范围是 2) A. ( ??, B. [0,2) C. [2, D. (2, ? ?) ? ?) 8.记 M ( x, y, z ) 为 x, y, z 三个数中的最小数,若二次函数 f ( x) = ax2 + bx+ c(a, b, c > 0) 有零点,则

M(
A. 2

b+c c+a a +b , , ) 的最大值为 a b c
B.

3 2

C.

5 4

D. 1

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.函数 f ( x) = 2 sin x + cos x 的最小正周期是_________,值域是_________.
2

10.实数 a , b 满足: (2a)

ln 2

= (3b)ln 3 和 3ln a = 2ln b ,则 a = _________, b = _________.
(2n +1) Sn ,其中 S n 为 {a n } 的前 n 项和,则 3

11.数列 {a n } 满足: a1 = 2, a1 + 2a2 + ....+ nan =

an = _________, Sn = _________.
12.直角 ΔABC 中, C =

π 1 , AC = 2 。若 D 为 AC 中点, ABD = ,则 BC = ________;若 D 为 AC 且 sin ∠ 2 3

上靠近点 C 的三等分点,则∠ABD的最大值为________. 13. P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在第一象限 上的动点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点, M 是 ?F 1PF 2 的平分线上 .... 25 16
,则 OM 的取值范围是 .

的一点,且

14.正实数 x, y 满足:

1 1 + = 1 ,则 x2 ? y 2 ? 10 xy 的最小值为 x y

.

15.正四面体 A - BCD 中: E 为 BC 中点, F 为直线 BD 上一点,则平面 AEF 与平面 ACD 所成二面角的 正弦值 的取值范围是__________. ...

2

三.解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin (1)求函数 f ( x ) 图象对称中心的坐标; (2)如果 ΔABC 的三边 a , b, c 满足 b = ac ,且边 b 所对的角为 B ,求 f ( B ) 的取值范围。
2

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

17. (本题满分 15 分) 对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a , b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) ,那 么称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. (1)给出一组函数: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 则 h( x) 是否为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由。

1 ( x ? 0) , , b0 ? , 取a ? 0 生成函数 h( x) 图象的最低点坐标为 (2, 8) . x 若对于任意正实数 x1 , x2 且 x1 ? x2 ? 1 .试问是否存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立?如果存在, 求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由.
(2)设 f1 ( x) ? x ( x ? 0),

f 2 ( x) ?

18.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 , PC ? 平面ABCD ,
?

且 AB ? 2 , PC ?

6 , F 是 PA 的中点.
P

(1)求证: CF ? 平面PDB ; (2)求平面 ADP 与平面 BCP 所成锐二面角的余弦值.
F D A B

C

3

19 . ( 本题满分 15 分 ) 过直线 x + 2 y + 5 = 0 上一动点 A( A 不在 y 轴上 ) 作焦点为 F ( 2,0) 的抛物线

y 2 = 2 px 的两条切线, M , N 为切点,直线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C .
(1)求证: BF ⊥ AM ,并求 ?ABC 的外接圆面积的最小值; (2)求证:直线 MN 恒过一定点。

20. (本小题满分 15 分)设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N *. (1)求 a1, a2 , a3 ,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设
* ,是否存在 k ∈ N ,使 an ?1 ? S n ? (

1 1 , ) 对 n ∈ N * 恒成立?请说明理由。 k ?1 k

4

2015 学年浙江省杭州第二中学仿真模拟考试数学(理) 参考答案
一、选择题 BBCA CBAC 二、填空题 9 . 2π;[-2, 2] 10. ;

1 1 2 3
14.

11. 2n; n(n +1)

12. 2 ;

π 6

13. (0,3) 三、解答题

- 36

15. [

2 ,1] 3

16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 由 sin(

2x π 3k 1 2x ? ? ) =0 即 + = kπ(k ∈ z )得x = π, k ∈Z 3 3 2 3 3
3k - 1 π,0), k ∈Z 2

即对称中心为 (
2

a 2 + c 2 - b2 a 2 + c 2 - ac 2ac - ac 1 = ≥ = (Ⅱ)由已知 b =ac, cos B = 2ac 2ac 2ac 2
1 π π 2 B π 5π ∴ ≤cos B < 1, 0< B ≤ , < + ≤ 2 3 3 3 3 9 π π 5π π π 2B π 2B π 3 ?| - |>| - |∴ sin < sin( + ) ≤1, ∴ 3 < sin( + ) ≤1+ 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2
即 f ( B ) 的范围是 ( 3 ,1 ?

3 ]。 2
2 2 2 2

17.解: (Ⅰ)设 a( x ? x) ? b( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1 ,即 (a ? b) x ? (a ? b) x ? b ? x ? x ? 1,
2

?a ? b ? 1 ? 则 ?a ? b ? ?1 ,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?b ? 1 ?
(Ⅱ)由题意,得 h( x ) ? ax ?

b b ( x ? 0) ,则 h( x ) ? ax ? ? 2 ab x x

b ? ?a ? 2 8 ? 2a ? ? 8 ( x ? 0) 2 ,解得 ? ,所以 h( x ) ? 2 x ? ? x b ? 8 ? ? 2 ab ? 8 ? 假设存在最大的常数 m ,使 h( x1 )h( x2 ) ? m 恒成立.
5

于是设 u ? h( x1 )h( x2 ) ? 4( x1 ? = 4 x1 x2 ?

4 4 64 x x )( x2 ? ) ? 4 x1 x2 ? ? 16( 1 ? 2 ) x1 x2 x1 x2 x2 x1

2 x2 ? x2 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 64 64 80 ? 16 ? 1 ? 4 x1 x2 ? ? 16 ? 1 2 ? 4 x1 x2 ? ? 32 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2

令 t ? x1 x2 ,则 t ? x1x2 ? (

x1 ? x2 2 1 1 ) ? ,即 t ? (0, ] 2 4 4 80 1 ? 32 在 t ? (0, ] 上单调递减, 设 u ? 4t ? 4 t 1 u ? u( ) ? 289 ,故存在最大的常数 m ? 289 4

P

18. 解: (Ⅰ) 连接 AC ,交 BD 于点 O , 连接 PO , 由于 PO, CF ? 平面PAC , 所以 PO与CF 相交,设交点为 E ∵底面 ABCD 为菱形 ∴ AC ? BD ,又∵ PC ? 平面ABCD ∴ PC ? BD
A D
P

F E C O B

∴ BD ? 平面PAC ,又∵ CF ? 平面PAC ∴ BD ? CF 在△ PAC 中,∵ ?DAB ? 60 , AB ? 2 ∴ AC ? 2 3 , OC ? 3 ,
?

F E C

CF ? PF ?

3 2 , PO =3 , 2

A

O

3 2 2 3 2 2 ) ? ( 6) 2 ? ( ) 3 3 2 2 cos ? FCP ? ? ∴ , sin ? OPC ? 3 3 3 2 2g g 6 2 (
∴ cos ?FCP ? sin ? OPC ,又因为两个角都是锐角,∴ ?FCP ? ?OPC ? 90
o

则 ?PEC ? 90

o



PO ? CF


P


PO I BD ? E, PO、BD ? 平面PAC

G

CF ? 平面PDB
(Ⅱ)过点 P 作 PG ,使得 PG =BC ,则∵底面 ABCD 为 菱形 ∴ GP∥AD∥BC , 所 以 二 面 角 AD ? P ? BC 即 二 面 角

C ? PG ? D 在 YADGP 中 ,过 点 P 作 AD 的 垂 线,垂 足 为 H ,则 PH ? PG
又∵ PC ? 平面ABCD ∴ PC ? BC ∴ PC ? PG

D A

H B

C

6

∴ ?HPC 即所求二面角的平面角 ∵ AD ? PH , AD ? PC ∴ AD ? 平面HPC ∴ AD ? CH

o 又∵ ?HDC =60 , DC ? 2 ∴ HC ? CDg sin 60o =2g

3 = 3 2

在△ HPC 中, ?PCH ? 90 , PC ?
o

6 , HC = 3 ,∴ PH ? 3

∴ cos ?HPC ?

6 PC 6 ,即所求二面角的平面角的余弦值为 ? 3 PH 3

法 2: (Ⅰ)连接 AC,交 BD 于点 O,以 O 为原点,如图 建立空间直角坐标系 O-xyz

z

P

A( 3,0,0), B(0,1,0), C(? 3,0,0), D(0, ?1,0), P(? 3,0, 6)
则 F 作为 PA 的中点, F (0, 0,

F D x A O B y C

6 ) 2

uuu r uuu r uuu r 6 CF ? ( 3, 0, ) , DB ? (0, 2,0) , BP ? (? 3, ?1, 6) , 2
而 ∴ CF ? BD, CF ? BP ∴ CF ? 平面PDB (Ⅱ) (略写)求得平面 PAD 的法向量 m ? (1, ? 3, 2) 求得平面 PBC 的法向量 n ? (1, ? 3,0) , 且 BD, BP ? 平面PDB, BD I BP ? {B}

u r

r

19. 解:( I ) ? p = 4,∴ y = 8x
2

设 B(0, b) ,则直线 AM 为 y = k1 x + b ,与 y = 8x 联立,得: k1 x + (2k1b - 8) x + b = 0
2 2 2 2

因为相切,所以Δ 1 = (2k1b - 8) - 4k1 b = 0 ,得: k1 =
2 2 2

2 b-0 b = - ,所以 k1kBF = -1 ,又 k BF = b 0-2 2

7

即 BF ⊥ AM ,同理:CF ⊥ AN ,所以 AF 为 ?ABC 的外接圆,又因为: AF min =

7 ,所以 ?ABC 的 5

外接圆面积最小值为:

49 π 20

(Ⅱ)设点 A( x0 , y0 ), M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 易知:直线 AM 方程为: 4 x - y1 y + 4 x1 = 0 , 代入点 A 坐标得: 4 x0 - y1 y0 + 4 x1 = 0 ,同理: 4 x0 - y2 y0 + 4 x2 = 0 , 所以直线 MN 方程为: 4 x - y0 y + 4 x0 = 0 ,又点 A( x0 , y0 ) 满足: x0 + 2 y0 + 5 = 0 所以直线 MN 恒过定点 (5,-8)

20.解:(Ⅰ) a1 =

1 2 3 , a 2 = , a3 = 2 3 4

由:

Tn 1 - an a 1 1 1 得: n = ,所以: = an = = +1 Tn-1 1 - an-1 1 - an 1 - an-1 1 - an 1 - an-1
n 1 = n +1 ,所以: an = n +1 1 - an
1 1 1 1 ,所以 Sn = 2 + 2 + ...+ , n +1 2 3 (n +1)2
1 1 , ) 对 n ∈N * 恒成立 k ?1 k

故:

(Ⅱ) Tn =

? k = 2 ,使 an ?1 ? S n ? (
因为: Sn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n +1 1 1 + + ...+ = = - = an+1 2 + 2 + ...+ 2 > 2 3 (n +1) 2 × 3 3× 4 (n +1)(n + 2) 2 n + 2 n + 2 2 2

Sn =

1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 n +1 1 1 + 2 +...+ < + +...+ = < = - = an+1 2 2 1 3 3 3 n +2 n +2 3 2 3 (n +1) 22 - 1 32 - 1 3 (n +1)2 n+ 4 4 4 2
1 3 1 2

所以: < an+1 - Sn <

8


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