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第一章 1.1 1.1.1 算法的概念


第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图

1.1.1 算法的概念

1.算法的概念
12 世纪的 算法 数学中的 算法 现代算法 指的是用阿拉伯数字进行____________ 算法运算 的过程

一定规则 通常是指按照____________ 解决某一类问题的 明确 有限 的步骤 _______

_____ 和____________ 计算机程序 ,让计算机执行并解决 通常可以编成____________ 问题

注意:(1)组成算法的每个步骤是明确的和有效的.例如:把 一堆球分成两类,步骤“先把较轻的挑出来”是不确定的、无 效的.(2)组成算法的所有步骤是有限的.例如:将 2 表示成小数, 其不能在有限步骤内完成,故不能称为一个算法.

2.算法与计算机 算法 只有将解决问 计算机解决任何问题都要依赖于________. 明确的步骤 ,即______ 算法 ,并用计算 题的过程分解为若干个______________ 语言 机能够接受的“________” 准确地描述出来,计算机才能够解决 问题.

【问题探究】
? ?x-2y=-1,① 你能否给出一个不同于课本的解方程组? ? ② ?2x+y=1



步骤?

答案:第一步,由①,得 x=2y-1. 3 第二步,将 x=2y-1 代入②式,得 y=5. 3 1 第三步,将 y=5代入 x=2y-1,得 x=5. ? 1 ?x=5, 第四步,得到方程组的解为? ?y=3. ? 5

题型 1 算法的概念

【例 1】 下列关于算法的理解,不正确的是(
A.一个问题只能有唯一的算法 B.算法包含的步骤是有限的

)

C.算法中每一步骤应当明确有效,并得到确定的结果

D.一个算法中的某一步骤可以执行多次 思维突破:根据算法的概念判断,检查其是否满足有限性、 明确性、顺序性、可行性以及不唯一性. 答案:A

【变式与拓展】 1.计算下列各式中 S 的值,能设计算法求解的是( B ) ①S=1+2+3+4+…+1000;

②S=1+2+3+4+…+1000+…;
③S=1+2+3+4+…+n(n≥1,n∈N).

A.①②
C.②③

B.①③
D.①②③

题型 2 数值型求解问题的算法 【例 2】 写出求解方程 x2-2x-3=0 的一个算法.

思维突破:解答本题的方法很多,可以利用配方法、判别
式法或因式分解法写出这个问题的算法. 解:方法一:第一步,移项,得 x2-2x=3. ① 第二步,①两边同时加 1,并配方,得(x-1)2=4. ② 第三步,②两边同时开方,得 x-1=±2. ③ 第四步,解③,得 x=3 或 x=-1.

方法二:第一步,计算方程的判别式,

Δ=22+4×3=16>0.
第二步,将 a=1,b=-2,c=-3 代入求根公式.
-b± b2-4ac ,解得 x=3,或 x=-1. x= 2a

方法三:第一步,将方程左边因式分解,得 (x-3)(x+1)=0. ① 第二步,由①,得 x-3=0 或 x+1=0. ②

第三步,解②,得 x=3 或 x=-1.

(1)设计此类算法的步骤: ①弄清这个算法要解决的问题是什么,需要用到哪些公式. ②明确公式中需要哪些量,题目中已知什么量,还需知道 哪些中间量.

③优先解决中间量.
④套用公式,并用简洁的语言描述出来. (2)注意事项: 在设计算法时,只要有公式,则直接利用公式解决问题是

最理想、最方便的.

【变式与拓展】
?-x+1?x>0?, ? ?x=0?, 2.函数?0 ? ?x+1 ?x<0?,

写出给定自变量 x,求函数值的算法.

解:算法如下:第一步,输入 x. 第二步,若x>0,则令y=-x+1 后执行第五步,否则执行 第三步. 第三步,若x=0,则令y=0 后执行第五步,否则执行第四 步.

第四步,令 y=x+1.
第五步,输出 y 的值.

题型 3 非数值型求解问题的算法 【例 3】 对任意的 3 个整数 a,b,c,写出求其最大数的

算法.
思维突破:设 a 为最大数,与 b 比较,取较大者与 c 比较 即可. 解:第一步,令 max=a. 第二步,比较 max 与 b 的大小,若b>max,则令max=b. 第三步,比较 max 与 c 的大小,若c>max,则令max=c. 第四步,max 就是 a;b;c 中的最大数.

对于非数值型问题,应当先建立求解过程模型, 然后根据过程设计步骤,完成算法.算法要简练、清晰、严密, 并包含任何可能出现的情况.

【变式与拓展】

3.一位商人有 4 枚银元,其中有 1 枚略轻的是假银元,你
能用天平(无砝码)将假银元找出来吗?写出解决这一问题的一 种算法. 解:方法一:算法步骤如下: 第一步,任取 2 枚银元分别放在天平的两边,若天平左右 不平衡,则轻的那一边就是假银元;若天平平衡,则进行第二 步.

第二步,取下右边的银元,放在一边,然后把剩下的 2 枚 银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡,偏轻的那一边 就是假银元. 方法二:算法与步骤如下: 第一步,把 4 枚银元平均分成 2 组,每组 2 枚. 第二步,将 2 组分别放在天平两边,假银元在轻的那组. 第三步,将轻的那组的两枚银元各放天平一边,轻的为假 银元.

【例 4】 下列说法正确的是(

)

A.算法就是某一个问题的解答过程 B.算法执行后一定得到确定的结果

C.解决某一个具体问题的算法不同,其结果也不同
D.算法执行步骤的次数不能很大,否则不能实现 易错分析:由算法的确定性知,其每一步都是明确具体的. 当算法中出现类似步骤时,不能由省略号代替,可以给出判定 条件重复执行.

答案:B

[方法· 规律· 小结] 1.算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明 确的规则.通俗地说,就是计算机解题的过程.在这个过程中,无 论是形成解题思路还是编写程序,都是在实施某种算法,前者 是推理实现的算法,后者是操作实现的算法. 2.算法的基本思想就是探求解决问题的一般方法,并将解 决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述.

3.算法的特征. (1)概括性:写出的算法,必须能解决某一类问题,并且能 重复使用. (2)逻辑性:算法从初始步骤开始,分为若干个明确的步骤, 前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步, 而且每一步都是正确无误的,从而组成一个有着很强逻辑性的 步骤排列.

(3)有穷性:算法的有穷性是指一个算法必须能够在有限个 步骤之内把问题解决,不能无限地执行下去. (4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一 个,可以有不同的算法. (5)确定性:一个算法中的每一步操作都是明确的,不能模 糊或有歧义,算法执行后一定能产生明确的结果.


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