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2.1.4 两条直线的交点2


第2章 平面解析几何初步

2.1.4 两条直线的交点

复习
l1与l2平行
斜率均存在
斜率
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

l1 ? l2
k1 ? k2
要无都无

k1k2 ? ?1
一无一零

/>
A1B2 ? B1 A2 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 且B C ? C B 1 2 1 2
(C1 ? C )

A1 A2 ? B1B2 =0

Ax ? By ? C1 ? 0 Bx ? Ay ? C1 ? 0 Ax ? B y ? C ? 0

(或 ? Bx ? Ay ? C1 ? 0)

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 方程组 ? 的解 一 组 无 数 组 无 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0



两条直线l1、l2的公共点

一个 无数个

零个

直线l1、l2间的位置关系

相交

重合

平行

例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它 们的交点:

(1) l1 : 2 x - y ? 7, l2 : 3 x ? 2 y - 7 ? 0 (2) l1 : 2 x - 6 y ? 4 ? 0, l2 : 4 x -12 y ? 8 ? 0; (3) l1 : 4 x ? 2 y ? 4 ? 0, l2 : y ? -2 x ? 3.
2? x? y0 ?7 ? 0 ?y ?x ? 3 4? ?4 2x ? ?2 6 解:()因为方程组 1 的解为 ? l1 解:( 3 )方程组 ? 无解,这表明直线 2 有无数组解, ? x ? 2 y0 ?7 ? 0 y ? 3 ? 0 4x ? ? 12 y ? 8 ? ?3 ? y ? ?1 ?2
和 l2没有公共点,故 l1∥l2。 这表明直线 l1和l2重合。 因此直线 l1和l2相交,交点坐标为 ? 3, ?1?。

例2 直线

x ? y ? 1 ? 0的交点,求直线

l 经过原点,且经过另两条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

l的方程.

? 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, ? x ? -1 解:解方程组 ? 得? ? x - y -1 ? 0 ? y ? -2 所以两条直线2 x ? 3 y ? 8 ? 0和x - y - 1 ? 0

又直线经过原点,所以直线l的方程为 y-0 x-0 ? -2 - 0 -1 - 0 即 2x - y ? 0

的交点坐标为? -1, -2 ? .

例3 某商品的市场需求量(万件)、市场供求量(万 件)与市场价格(元/件)分别近似地满足下列关系: y =-x+70, y =2x-20 当y = y 时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求 量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量; (2)若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品应 给予多少元补贴? 分析:如图,市场平衡价格和 平衡需求量实际上就是直线 y=-x+70与y=2x-20交点的横 坐标和纵坐标,即为方程组
1

2

1

2

y

市场供应量 y2

70

平衡需求量

市场需求量 y1 x

? y = -x + 70 的解. ? ? y = 2x - 20

O

10 平衡价格 70

? y ? - x ? 70 ? x ? 30 解 : (1)解方程组 ? 得? ? y ? 2 x - 20, ? y ? 40 故平衡价格为30元 / 件,平衡需求量为40万件。

(2)设政府给予t元/件补贴,此时的市场平衡 价格(即消费者支付价格)为x元/件,则 供货者实际每件得到(x + t)元。 ?- x + 70 = 44 依题意得方程组 ? ?2( x + t ) - 20 = 44
解得x = 26,t = 6 因此,政府对每件商品应给予6元的补贴。

已知直线l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0相交, 那么方程 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (?为任意实数)表示的直线有什么特征 ?

该方程表示过直线l1和l2的交点的直线

对直线之间位置关系的研究可以转化为对 它们方程的研究。从两条直线的平行、相交、 重合问题转化为方程组是否有解、有唯一解、 有无数个解的问题。

小结
1.会求两条直线的交点. 2.理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、 重合)与相应的直线方程所组成的二元一 次方程组的解(无解、有惟一解、有无数个解) 的对应关系. 3.通过学习两直线得位置关系与它们所对应得 方程组的解的对应关系,渗透转化的数学思想.


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