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高一数学《第1-3章》全册同步练习(人教B版必修4)3-2-1


3.2.1
一、选择题 1.(2010· 四川绵阳市高一下学期期末测试)若 cosθ>0,sin2θ<0,则角 θ 是( A.第一象限角 C.第三象限角 [答案] [解析] D ∵cosθ>0,sin2θ=2sinθcosθ<0, B.第二象限角 D.第四象限角 )

∴sinθ<0, ∴角 θ 是第四象限角. cos2

x+sin2x 2.函数 y= 的最小正周期是( cos2x-sin2x A.2π C.π [答案] [解析] D cos2x+sin2x 1+tan2x π π y= = =tan(2x+ ),∴最小正周期 T= . 4 2 cos2x-sin2x 1-tan2x B.4π π D.2 )

3 1 3.(2010· 山东莱州市高一下学期期末测试)设 a=( ,sinα),b(cosα, ),且 a∥b,则 2 3 锐角 α 为( A.30° C.75° [答案] [解析] D 3 1 由题意,得2×3=sinαcosα, ) B.60° D.45°

1 ∴sinαcosα=2, 1 1 ∴2sin2α=2, ∴sin2α=1. ∴α 为锐角, ∴2α=90° ,∴α=45° . 5π 7π 4.若 α∈? 2 , 2 ?,则 1+sinα+ 1-sinα的值为(

?

?

)

α A.2cos2 α C.2sin2 [答案] [解析] D

α B.-2cos2 α D.-2sin2

5π 7π α 5π 7π ∵α∈? 2 , 2 ?,∴2∈? 4 , 4 ?,

?

?

?

?

α α α α ∴原式=?sin2+cos2?+?sin2-cos2?

?

? ?

?

α α α α α =-sin2-cos2-sin2+cos2=-2sin2. 5. 2sin2α cos2α · =( 1+cos2α cos2α )

A.tanα C.1 [答案] [解析] B

B.tan2α 1 D.2

2sin2α cos2α sin2α 原式=2cos2α· cos2α=cos2α=tan2α. )

2 3 6.设 a= 2 (sin17° +cos17° ),b=2cos213° -1,c= 2 , 则( A.c<a<b C.a<b<c [答案] [解析] A B.b<c<a D.b<a<c

2 2 a= 2 cos17° 2 cos17° + =sin(45° +17° )=sin62° ,b=2cos213° -1=cos26° =

sin(90° -26° )=sin64° , 3 c= 2 =sin60° . 由正弦函数单调性可知:b>a>c. 2 7.已知等腰三角形底角的余弦值为3,则顶角的正弦值是( 4 5 A. 9 4 5 C.- 9 [答案] [解析] A 2 令底角为 α,则顶角 β=π-2α,且 cosα=3, 2 5 B. 9 2 5 D.- 9 )

5 ∴sinα= 3 ,∴sinβ=sin(π-2α)=sin2α 5 2 4 5 =2sinαcosα=2× 3 ×3= 9 . 8.设 f(tanx)=cos2x,则 f(2)的值为( 4 A.5 2 C.-3 [答案] [解析] B f(tanx)=cos2x=cos2x-sin2x 3 B.-5 D.4 )

cos2x-sin2x 1-tan2x = 2 = cos x+sin2x 1+tan2x 1-4 3 ∴f(2)= =- . 5 1+4 二、填空题 1 1 9.若 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ=________. 6 [答案] 5 [解析] 1 cos2θ+2sin2θ

=cos2θ+sinθcosθ 1 1+3 cos θ+sinθcosθ 1+tanθ = = = 1 cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 1+9
2

4 9 6 =3· =5. 10 π 1 10.tan12- π 的值等于________. tan12 [答案] -2 3 π tan212-1 π 1 tan12- π = π tan12 tan12

[解析]

π 2?1-tan212? =- π 2tan12

π =-2cot6=-2 3. π 11.(2010· 浙江)函数 f(x)=sin2(2x-4)的最小正周期是________. [答案] π 2 π 1-cos?4x-2? π f(x)=sin2(2x-4)= 2

[解析]

1 1 =2-2sin4x, 2π π ∴T= 4 =2. 5 12.已知 θ 为第三象限角,sin4θ+cos4θ=9,则 sin2θ=________. [答案] [解析] 2 2 3 5 sin4θ+cos4θ=9,

5 ∴(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=9, 1 5 ∴1-2sin22θ=9, 8 ∴sin22θ=9. ∵θ 为第三象限角, 3π ∴2kπ+π<θ<2kπ+ 2 ,k∈Z, ∴4kπ+2π<2θ<4kπ+3π,k∈Z, 2 2 ∴sin2θ= . 3 三、解答题 sin2x+2sin2x π 3 17π 7π 13.若 cos(4+x)=5, 12 <x< 4 ,求 的值. 1-tanx [解析] 17π 7π 5π π 由 12 <x< 4 ,得 3 <x+4<2π,

π 3 又∵cos(4+x)=5, π 4 ∴sin(4+x)=-5,

π π ∴cosx=cos[(4+x)-4] π π π π =cos(4+x)cos4+sin(4+x)sin4 3 2 4 2 2 =5× 2 -5× 2 =- 10 . 17π 7π 又由 12 <x< 4 , 7 2 ∴sinx=- 1-cos2x=- 10 , ∴tanx=7, 2sinxcosx+2sin2x 28 ∴原式= =-75. 1-tanx 14.(2010· 荆州市高一下学期期末测试)已知向量 a=(sinx,2 3sinx),b=(2cosx, sinx),f(x)=a· b- 3. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; π (2)若 0<θ<2,且 y=f(x+θ)为偶函数,求 θ 的值. [解析] f(x)=a· b- 3=2sinxcosx+2 3sin2x- 3

π =sin2x+ 3(1-cos2x)- 3=sin2x- 3cos2x=2sin(2x- ). 3 π π 3π (1)令 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 (k∈Z), 5π 11π ∴kπ+12≤x≤kπ+ 12 (k∈Z), 5π 11π ∴函数 f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π (2)f(x+θ)=2sin(2x+2θ-3), ∵函数 y=f(x+θ)为偶函数, π π ∴2θ-3=kπ+2(k∈Z), kπ 5π ∴θ= 2 +12(k∈Z), π ∵0<θ< , 2 5π ∴θ= . 12

3 π π π π 3 5 3 15.已知-4<α<4,4<β<4π,sin?4π+α?=13,cos?4-β?=5,求 sin2(α-β)的值. ? ? ? ? [解析] π π π 3 ∵-4<α<4,∴2<4π+α<π,

3 ∴cos?4π+α?=-

?

?

3 1-sin2?4π+α?

?

?

=-

5 12 1-?13?2=-13.

? ?

π 3 3 π ∵4<β<4π,∴-4π<-β<-4, π π ∴- < -β<0, 2 4 π ∴sin?4-β?=-

?

?

π 1-cos2?4-β?

?

?

=-

3 4 1-?5?2=-5,

? ?

3π π ∴cos?? 4 π+α?+?4-β??

??

? ?

??

=cos[π+(α-β)]=-cos(α-β) 3π π 3π π =cos? 4 +α?cos?4-β?-sin? 4 +α?sin?4-β?

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?

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4 12 3 5 16 =- × - ×?-5?=- . 13 5 13 ? ? 65 16 ∴cos(α-β)= . 65 π π 3 π ∵-4<α<4,-4π<-β<-4, ∴-π<α-β<0, 63 ∴sin(α-β)=- 1-cos2?α-β?=-65, 63 16 2016 ∴sin2(α-β)=2sin(α-β)· cos(α-β)=2×?-65?×65=-4225.

?

?

π 1 16.已知 tan?4+α?=2.

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?

(1)求 tanα 的值; sin2α-cos2α (2)求 的值. 1+cos2α [解析] π 1 (1)解法一:变角:tan?4+α?=2

?

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??π ? π? tanα=tan ?4+α?-4 ? ?
1 2-1 1 = = =- . π 1 3 π 1+tan?4+α?tan4 1+2 ? ? π π tan?4+α?-tan4

?

?

解法二:利用两角和的正切公式展开: π tan4+tanα 1+tanα 1 π tan?4+α?= = = , π ? ? 1-tanα 2 1-tan4tanα 1 解得:tanα=-3. sin2α-cos2α 2sinαcosα-cos2α 2sinα-cosα (2) = = 2cosα 2cos2α 1+cos2α 1 1 1 5 =tanα- =- - =- . 2 3 2 6 17.若已知方程 x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有两个实根,且其中一个根是 2- 3.求 cos4θ 的值. [解析] ∵方程 x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 有两个实根,

sinθ cosθ ∴Δ=(tanθ+cotθ)2-4=?cosθ+ sinθ ?2-4 ? ? = 4 -4≥0 恒成立(∵sin22θ≤1). sin22θ

设另一个根为 m,则由根与系数的关系,得 1 (2- 3)m=1,于是 m= =2+ 3. 2- 3 故 tanθ+cotθ=(2+ 3)+(2- 3)=4, 2 1 即sin2θ=4.∴sin2θ=2(满足 sin22θ≤1). 1 ∴cos4θ=1-2sin22θ=2.


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