高一数学《第1-3章》全册同步练习(人教B版必修4)3-2-1

3.2.1
一、选择题 1．(2010· 四川绵阳市高一下学期期末测试)若 cosθ>0，sin2θ<0，则角 θ 是( A．第一象限角 C．第三象限角 [答案] [解析] D ∵cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0， B．第二象限角 D．第四象限角 )

∴sinθ<0， ∴角 θ 是第四象限角． cos2x＋sin2x 2．函数 y＝ 的最小正周期是( cos2x－sin2x A．2π C．π [答案] [解析] D cos2x＋sin2x 1＋tan2x π π y＝ ＝ ＝tan(2x＋ )，∴最小正周期 T＝ . 4 2 cos2x－sin2x 1－tan2x B．4π π D.2 )

3 1 3．(2010· 山东莱州市高一下学期期末测试)设 a＝( ，sinα)，b(cosα， )，且 a∥b，则 2 3 锐角 α 为( A．30° C．75° [答案] [解析] D 3 1 由题意，得2×3＝sinαcosα， ) B．60° D．45°

1 ∴sinαcosα＝2， 1 1 ∴2sin2α＝2， ∴sin2α＝1. ∴α 为锐角， ∴2α＝90° ，∴α＝45° . 5π 7π 4．若 α∈? 2 ， 2 ?，则 1＋sinα＋ 1－sinα的值为(

?

?

)

α A．2cos2 α C．2sin2 [答案] [解析] D

α B．－2cos2 α D．－2sin2

5π 7π α 5π 7π ∵α∈? 2 ， 2 ?，∴2∈? 4 ， 4 ?，

?

?

?

?

α α α α ∴原式＝?sin2＋cos2?＋?sin2－cos2?

?

? ?

?

α α α α α ＝－sin2－cos2－sin2＋cos2＝－2sin2. 5. 2sin2α cos2α · ＝( 1＋cos2α cos2α )

A．tanα C．1 [答案] [解析] B

B．tan2α 1 D.2

2sin2α cos2α sin2α 原式＝2cos2α· cos2α＝cos2α＝tan2α. )

2 3 6．设 a＝ 2 (sin17° ＋cos17° )，b＝2cos213° －1，c＝ 2 ， 则( A．c<a<b C．a<b<c [答案] [解析] A B．b<c<a D．b<a<c

2 2 a＝ 2 cos17° 2 cos17° ＋ ＝sin(45° ＋17° )＝sin62° ，b＝2cos213° －1＝cos26° ＝

sin(90° －26° )＝sin64° ， 3 c＝ 2 ＝sin60° . 由正弦函数单调性可知：b>a>c. 2 7．已知等腰三角形底角的余弦值为3，则顶角的正弦值是( 4 5 A. 9 4 5 C．－ 9 [答案] [解析] A 2 令底角为 α，则顶角 β＝π－2α，且 cosα＝3， 2 5 B. 9 2 5 D．－ 9 )

5 ∴sinα＝ 3 ，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α 5 2 4 5 ＝2sinαcosα＝2× 3 ×3＝ 9 . 8．设 f(tanx)＝cos2x，则 f(2)的值为( 4 A.5 2 C．－3 [答案] [解析] B f(tanx)＝cos2x＝cos2x－sin2x 3 B．－5 D．4 )

cos2x－sin2x 1－tan2x ＝ 2 ＝ cos x＋sin2x 1＋tan2x 1－4 3 ∴f(2)＝ ＝－ . 5 1＋4 二、填空题 1 1 9．若 tanθ＝3，则 cos2θ＋2sin2θ＝________. 6 [答案] 5 [解析] 1 cos2θ＋2sin2θ

＝cos2θ＋sinθcosθ 1 1＋3 cos θ＋sinθcosθ 1＋tanθ ＝ ＝ ＝ 1 cos2θ＋sin2θ 1＋tan2θ 1＋9
2

4 9 6 ＝3· ＝5. 10 π 1 10．tan12－ π 的值等于________． tan12 [答案] －2 3 π tan212－1 π 1 tan12－ π ＝ π tan12 tan12

[解析]

π 2?1－tan212? ＝－ π 2tan12

π ＝－2cot6＝－2 3. π 11．(2010· 浙江)函数 f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________． [答案] π 2 π 1－cos?4x－2? π f(x)＝sin2(2x－4)＝ 2

[解析]

1 1 ＝2－2sin4x， 2π π ∴T＝ 4 ＝2. 5 12．已知 θ 为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝9，则 sin2θ＝________. [答案] [解析] 2 2 3 5 sin4θ＋cos4θ＝9，

5 ∴(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝9， 1 5 ∴1－2sin22θ＝9， 8 ∴sin22θ＝9. ∵θ 为第三象限角， 3π ∴2kπ＋π<θ<2kπ＋ 2 ，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π，k∈Z， 2 2 ∴sin2θ＝ . 3 三、解答题 sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 13．若 cos(4＋x)＝5， 12 <x< 4 ，求 的值． 1－tanx [解析] 17π 7π 5π π 由 12 <x< 4 ，得 3 <x＋4<2π，

π 3 又∵cos(4＋x)＝5， π 4 ∴sin(4＋x)＝－5，

π π ∴cosx＝cos[(4＋x)－4] π π π π ＝cos(4＋x)cos4＋sin(4＋x)sin4 3 2 4 2 2 ＝5× 2 －5× 2 ＝－ 10 . 17π 7π 又由 12 <x< 4 ， 7 2 ∴sinx＝－ 1－cos2x＝－ 10 ， ∴tanx＝7， 2sinxcosx＋2sin2x 28 ∴原式＝ ＝－75. 1－tanx 14．(2010· 荆州市高一下学期期末测试)已知向量 a＝(sinx,2 3sinx)，b＝(2cosx， sinx)，f(x)＝a· b－ 3. (1)求函数 y＝f(x)的单调递减区间； π (2)若 0<θ<2，且 y＝f(x＋θ)为偶函数，求 θ 的值． [解析] f(x)＝a· b－ 3＝2sinxcosx＋2 3sin2x－ 3

π ＝sin2x＋ 3(1－cos2x)－ 3＝sin2x－ 3cos2x＝2sin(2x－ )． 3 π π 3π (1)令 2kπ＋2≤2x－3≤2kπ＋ 2 (k∈Z)， 5π 11π ∴kπ＋12≤x≤kπ＋ 12 (k∈Z)， 5π 11π ∴函数 f(x)的单调递减区间为[kπ＋ ，kπ＋ ](k∈Z)． 12 12 π (2)f(x＋θ)＝2sin(2x＋2θ－3)， ∵函数 y＝f(x＋θ)为偶函数， π π ∴2θ－3＝kπ＋2(k∈Z)， kπ 5π ∴θ＝ 2 ＋12(k∈Z)， π ∵0<θ< ， 2 5π ∴θ＝ . 12

3 π π π π 3 5 3 15．已知－4<α<4，4<β<4π，sin?4π＋α?＝13，cos?4－β?＝5，求 sin2(α－β)的值． ? ? ? ? [解析] π π π 3 ∵－4<α<4，∴2<4π＋α<π，

3 ∴cos?4π＋α?＝－

?

?

3 1－sin2?4π＋α?

?

?

＝－

5 12 1－?13?2＝－13.

? ?

π 3 3 π ∵4<β<4π，∴－4π<－β<－4， π π ∴－ < －β<0， 2 4 π ∴sin?4－β?＝－

?

?

π 1－cos2?4－β?

?

?

＝－

3 4 1－?5?2＝－5，

? ?

3π π ∴cos?? 4 π＋α?＋?4－β??

??

? ?

??

＝cos[π＋(α－β)]＝－cos(α－β) 3π π 3π π ＝cos? 4 ＋α?cos?4－β?－sin? 4 ＋α?sin?4－β?

?

?

?

?

?

?

?

?

4 12 3 5 16 ＝－ × － ×?－5?＝－ . 13 5 13 ? ? 65 16 ∴cos(α－β)＝ . 65 π π 3 π ∵－4<α<4，－4π<－β<－4， ∴－π<α－β<0， 63 ∴sin(α－β)＝－ 1－cos2?α－β?＝－65， 63 16 2016 ∴sin2(α－β)＝2sin(α－β)· cos(α－β)＝2×?－65?×65＝－4225.

?

?

π 1 16．已知 tan?4＋α?＝2.

?

?

(1)求 tanα 的值； sin2α－cos2α (2)求 的值． 1＋cos2α [解析] π 1 (1)解法一：变角：tan?4＋α?＝2

?

?

??π ? π? tanα＝tan ?4＋α?－4 ? ?
1 2－1 1 ＝ ＝ ＝－ . π 1 3 π 1＋tan?4＋α?tan4 1＋2 ? ? π π tan?4＋α?－tan4

?

?

解法二：利用两角和的正切公式展开： π tan4＋tanα 1＋tanα 1 π tan?4＋α?＝ ＝ ＝ ， π ? ? 1－tanα 2 1－tan4tanα 1 解得：tanα＝－3. sin2α－cos2α 2sinαcosα－cos2α 2sinα－cosα (2) ＝ ＝ 2cosα 2cos2α 1＋cos2α 1 1 1 5 ＝tanα－ ＝－ － ＝－ . 2 3 2 6 17．若已知方程 x2－(tanθ＋cotθ)x＋1＝0 有两个实根，且其中一个根是 2－ 3.求 cos4θ 的值． [解析] ∵方程 x2－(tanθ＋cotθ)x＋1＝0 有两个实根，

sinθ cosθ ∴Δ＝(tanθ＋cotθ)2－4＝?cosθ＋ sinθ ?2－4 ? ? ＝ 4 －4≥0 恒成立(∵sin22θ≤1)． sin22θ

设另一个根为 m，则由根与系数的关系，得 1 (2－ 3)m＝1，于是 m＝ ＝2＋ 3. 2－ 3 故 tanθ＋cotθ＝(2＋ 3)＋(2－ 3)＝4， 2 1 即sin2θ＝4.∴sin2θ＝2(满足 sin22θ≤1)． 1 ∴cos4θ＝1－2sin22θ＝2.