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高中数学三角函数复习(答案)

时间:2015-01-14


三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: S ? (3) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1 (4) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k· ? /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性

>函 数

R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

②商数关系: tan a ?

sin a , cos a

x
?a 2? ? a
?
2 ?a

sin x ? sin a ? sin a

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a

cot x

? cot a

? tan a
? cot a

? cot a
? tan a

cosa

2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ?

s i na(? ? ) ? s i n ac o ? s ?c oa ss i n ?
注:公式的逆用或者变形 .........

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan ? 1 ? tana tan ?

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a
tan 2a ? 2 tan a 1 ? tan 2 a

2 2 co2 s a ? c o 2sa ? s i n a ? 1 ? 2s i n a ? 2 c o 2sa ? 1

从二倍角的余弦公式里面可得出
2 降幂公式: cos a ?

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cosa a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cosa ?? ? ? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a
y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
定义域 值域 最小正周期 奇偶性 (-∞,+∞) [-1,1]

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞)

T ? 2?


T ? 2?


T ??


[ 2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]
单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

单调性

单调递增
[2k? ?

( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

(

k? ,0 ) 2

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
ymin ? ?1

ymin ? ?1

4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2) 函数 y ? A tan( ?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 的值以 2 2

及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字 母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (附上函数平移伸缩变 换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f ( x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f ( x) 图像纵坐标不变, 横坐标缩到原来的 短, 0 ? w ? 1伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f ( x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍( A ? 1

1 倍 ( w ? 1缩 w

伸长, 0 ? A ? 1缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f ( x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f ( x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧 (偶函数局 部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α =(α +β )-β ,β =
2 2

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确
2 2

定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 解:因为 tan x ?

sin x ? 2 ,又 sin2x+cos2x=1, cos x

?sin x ? 2 cos x , 联立得 ? 2 2 ?sin x ? cos x ? 1
? 2 5 ? 2 5 ?sin x ? ?sin x ? ? ? 5 ? 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 ? 5 ? cos x ? cos x ? ? ? 5 ? 5 ? ?
2.求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

的值.

解:原式

tan(?120? ? 180? ) cos(180? ? 30? ) sin(?360? ? 120? ) ? tan(?720? ? 30o ) sin(?150? ) cos(360? ? 30? )
? tan 60? (? cos 30? )(? sin120? ) ? ?3 3. tan 30? (? sin150? ) cos 30?

3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x

sin x ? cos x ? 2, sin x ? cos x 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 得到 sinx=-3cosx,又 sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得

解:法一:因为

? 3 10 ? 3 10 ? ?sin x ? 10 ? ?sin x ? ? 10 , , ? ? 10 ? 10 ? ?cos x ? ? 10 ? ?cos x ? 10 ?

3 ? 10 sin x ? cos x ? 2, 法二:因为 sin x ? cos x
所以 sin x cos x ? ? 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以 1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有 sin x cos x ? ?

3 ? 10

4.求证:tan2x· sin2x=tan2x-sin2x. 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x· cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x· sin2x,问题得证. 法二:左边=tan2x· sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x· cos2x=tan2x-sin2x,问题得证. 5.求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间[0,2??]上的值域. 2 6
x π x π 7π ? π, ? ? ? , 由正弦函数的图象, 2 6 2 6 6

解:因为 0≤x≤2π,所以 0 ?

x π 1 得到 sin( ? ) ?[? ,1], 2 6 2 所以 y∈[-1,2]. 6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). 解:(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3,

令 t=cosx,则 t ? [?1,1], y ? ?(t 利用二次函数的图象得到 y ? [1,

2

1 13 1 13 ? t ) ? 3 ? ?(t ? ) 2 ? ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 2 4

13 ]. 4 π 2 , sin( x ? ) ,则 4

(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令 t=sinx+cosx ?

5 t ? [? 2 , 2 ] 则, y ? t 2 ? t ? 1, 利用二次函数的图象得到 y ? [? ,1 ? 2 ]. 4
7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点之间的图 象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A ? 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与 x 轴交点的间隔是

1 4

个周期,这样求得

T π ? 4 ,T=16,所以 ? ? ? 8 4 π π 2 sin( x ? ). 8 4

π π 又由 2 ? 2 sin( ? 2 ? ? ) ,得到可以取 ? ? .? y ? 8 4 4 4 8.已知函数 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x.
(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

π 2

解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
π π ? (cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 sin( ? 2x) ? ? 2 sin(2x ? ) 4 4 所以最小正周期为 π. π π π 3π π 3π (Ⅱ)若 x ? [0, ] ,则 (2 x ? ) ?[? , ] ,所以当 x=0 时,f(x)取最大值为 ? 2 sin(? ) ? 1; 当 x ? 时, 2 4 4 4 4 8

f(x)取最小值为 ? 2.

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ? sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?
1. 已知 tan? ?

2 ,求(1)

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会使解题过 程简化。 2. 求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4
3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ? R , 有 8 π π f (? ? x )? f ? ( ? x 成立, ) 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin( ? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8
所以,当 2 x ? 4. 已知函数 y=

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
所以 y 取最大值时,只需 2x+ (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

1 1 1 3 3 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 4 4 4 2 1 5 1 ? ? 5 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 2 6 6 4 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ? (ii) 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y=sin(2x+ )的图像; 2 6 1 1 ? (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 y= sin(2x+ )的 2 2 6
图像; (iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

1 3 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2


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