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3.2.3一元二次不等式的解法(习题课)


不等式

3.2.3

一元二次不等式的解法(习题课)

1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.将其它不等式化为一元二次不等式并求解. 3.一元二次不等式的解集是实数集R和空集?的 含义及应用.

基础梳理

a a 1.分式 b >0?________

__;b <0?__________. 2.设二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 R,则有 a______0且Δ=b2-4ac______0.
3.设二次不等式ax2+bx+c>0的解集为?,则有 a______0且Δ=b2-4ac______0. 4.设不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|1<x<2},则 方程ax2+bx+c=0的解集是:______,且a______0. 答案:1.a· b>0 a· b<0 2.> <

3.< ≤
4.{1,2} <

5.求函数y=logaf(x)的定义域,只需解不等式: ____________. 函数y=log(x2-2x)的定义域是:__________.
6.求函数 y= g?x?的定义域,只需解不等式 函数 y= 2-x-x2的定义域是 . .

答案:5.f(x)>0 练习1:(-∞,0)∪(2,+∞) 6.g(x)≥0 练习2:[-2,1]

自测自评

1.下列不等式的解集是?的为( D ) A.x2+2x+1≤0 B. x2≤0 1?x 1 1 ? C. 2 -1<0 D. -3> x x ? ? m 2.不等式x2+mx+ >0恒成立的条件是( 2
A.m>2 B.m<2 C.m<0或m>2
2

)

D.0<m<2

m 解析:Δ=m -4× <0, 2 即 m(m-2)<0,∴0<m<2. 答案:D

3.如果A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的集 合为( )

A.{a|0<a<4}
C.{a|0<a≤4}

B.{a|0≤a≤4}
D.{a|0≤a≤4}

解析:当 a=0 时,有 1<0,故 A=?, 当 a≠0 时,若 A=?, ? ?a>0 则有? ?0<a≤4, 2 ? ?Δ=a -4a≤0 综上,a∈{a|0≤a≤4}. 答案:D

三个二次间关系的应用 已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2, 求实数m的取值范围.

解析:法一:设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1, x2,由题意知; 解析:法一:设方程 x2+2mx-m+12=0 的两根为 x1,x2,由题
2 Δ = 4 m -4?-m+12?≥0, ?

? ?x1+x2=-2m>4, ? ??x1-2??x2-2?>0,

? 即?m<-2, ? ?3m+16>0,

2 m ? +m-12≥0,

? ?m<-2, 解得? 16 ? ?m>- 3 ,

m≤-4或m≥3, 16 所以- <m≤-4. 3

法二:设函数 f(x)=x2+2mx-m+12,则

? ?f?2?=2 +2m· 2-m+12>0, ? b 2m ? ?-2a=- 2 >2,
Δ≥0,
2

? ? 16 即?m>- 3 , ? ?m<-2,

m≤-4或m≥3,

16 所以,- <m≤-4. 3

跟踪训练 1.已知方程x2+(2m-3)x+m2-15=0的两个根一

个大于-2,一个小于-2,求实数m的取值范围.

解析:设函数 f(x)=x2+(2m-3)x+m2-15. 则由题意: 2 2 ? Δ = ? 2 m - 3 ? - 4 ? m -15?>0, ?
? ? ?f?-2?<0, ? ?-12m+69>0, 即? 2 ?m -4m-5<0, ?

∴-1<m<5.

一元二次不等式恒成立问题 已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对于所有的 实数x都成立,求a的取值范围. 解析:若a=0,原不等式为一次不等式,可化为-x -1<0,

显然它对于任意的x不都成立,所以a=0不符合题目 要求.
若a≠0,原不等式为二次不等式,由于所给不等式对 所有实数x都成立,所以对应二次函数的图象抛物线必须 开口向下,且判别式Δ<0,

? ① ?a<0 即? 2 ? ? a - 1 ? -4a?a-1?<0 ?



整理②,得 3a2-2a-1>0, 1 解得 a<- 或 a>1. 3 a<0, ? ? 1 ∴? ∴a<- . 1 3 a<- 或a>1. ? 3 ? 1? ? ∴a 的取值范围是 -∞,-3 . ? ?

跟踪训练 2.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集

是空集,求实数a的取值范围.

解析:当 a2-4=0 时,a=± 2, 当 a=-2 时,解集为?; 当 a2-4≠0 时,要使解集为?, 2 ? a ? -4<0, 6 则有? 解得-2<a< . 5 ? ?Δ<0, 6 综上:-2≤a< . 5

一元二次不等式的实际应用 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成 本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本 年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成 本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相

应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
设年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的 关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增 加的比例x应在什么范围内?

解析:(1)依题意,得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1000(1+0.6x) =1000(-0.06x2+0.02x+0.2), 所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关 系式为 y=1000(-0.06x2+0.02x+0.2). (2)依题意,得 1000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)· 1000
1 2 化简,得3x -x<0,解得:0<x< 3,

答:为使本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增
? ? 1? ? 加的比例x的范围是: x?0<x< ? . 3? ? ?

跟踪训练

3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附 加税政策,现知某种酒每瓶70元,不加收附加税时,每年大 约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100天要征税R元 (叫做税率R%),则每年的销售将减少10R万瓶,要使每年在 此项经营中所收附加税金不少于112万元,问R应怎样确定?
解析:由题意得

70×(100-10R)×R%≥112,
化简得 R2-10R+16≤0, 解得 2≤R≤8.

一、选择填空题 1.不等式4x2≥4x-1的解是( A.全体实数
1 C.x≠ 2

)

B.?
1 D.x= 2

解析:4x2≥4x-1?4x2-4x+1≥0?(2x-1)2 ≥0?x∈R.故选A. 答案:A

2.设

x-1 ? ?2e f(x)=? 2 ? ?log3?x -1?

?x<2?, ?x≥2?,

则不等式 f(x)>2

的解集为( B ) A.(1,2)∪(3,+∞) C.( 10,+∞)
x-1 ? ?2e 解析:∵f(x)=? 2 ? ?log3?x -1?

B.(1,2)∪( 10,+∞) D.(1,2)

?x<2?, ?x≥2?.

∴不等式 f(x)>2 等价于不等式组
? ?x<2, ? x-1 ? >2 ?2e





? ?x≥2, ? 2 ? ?log3?x -1?>2.



解①得 1<x<2;解②得 x> 10,故选 B.

1.解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数 集R和空集?的几何意义,准确把握一元二次不等式的解 集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在 联系. 2.解不等式的关键在于保证变形转化的等价性.简 单分式不等式可化为整式不等式求解:先通过移项、通 分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式,然后通过 符号法则转化为整式不等式求解.转化为求不等式组的 解时,应注意区别“且”、“或”,涉及到最后几个不 等式的解集是“交”,还是“并”. 3.在解决实际问题时,先要从实际问题中抽象出数 学模型,并寻找出该数学模型中已知量与未知量,再建 立数学关系式,然后用适当的方法解决问题.


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