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2011级(2013年11月考试)绵阳一诊文科数学试题及答案


保密 ★ 启用前 【考试时间:2013 年 11 月 1 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2011 级第一次诊断性考试

数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答

题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试题卷上答 题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A=[2,4],集合 B=[1,4],则 BA= A.[1,2] C. ?1 ,2? B.{1,2} D. ?1, 2?

2.对于非零向量 a,b, “a // b”是“a+b=0”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列不等式中,正确的是 A.sin1< sin1? C.sinπ? < cosπ 4.若命题“p ? q”是假命题,则 A.p ? q 为假命题 C.( ? p) ? ( ? q)为假命题 B.p ? q 为真命题 D.( ? p) ? ( ? q)为真命题 B.cos1 > cos1? D.sinπ < cosπ? B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 b 的夹角为

数学(文科)试题第 1 页(共 4 页)

A.0

B.

? 2

C.

? 3

D.π

6.已知 tanα= 3 ,π<α< A.
?1? 3 2

3 π,则 cosα-sinα= 2

B.

?1? 3 2

C.

1? 3 2

D.

1? 3 2

7. 已知函数 f (x)= ka x ? a ? x (a>0, 且 a≠1)在 R 上是奇函数, 且是增函数, 则函数 g(x)=loga(x-k) 的大致图象是
y y y y

O

1

2

x

-1

O 1

x

O

1 2

x

-1 O

1

x

A.

B.

C.

D.

8.已知正实数 a,b 满足 lna+lnb=ln(a+b),则 4a+b 的最小值为 A.1 B.4 C.9 D.10

9.已知 ?,? 都是锐角,且 cos ? ? A.2 B. ?
2 11

4 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 tan ? 为 5 5

C. ?

2 或2 11

D.

2 或-2 11

1 10.已知 O 为△ABC 的外心, cos A ? ,若 AO ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的最大值为 3

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a5=__________. 12.化简: a ? 3 a 2 (其中 a>0)=_________(用分数指数幂表示) .
? x ? y ? 1 ? 0, ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x+y 的最大值为________. ? y ? 1, ?

14.已知 f (x)是 R 上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两个点,则不等式| f (1+lnx)|<1 的解集是__________. 15.已知函数 f (x)=m(x-m)(x- m-1), g (x)= 2 ? x - 1,若命题 p: ? x∈ (3, +∞ ), f (x)g(x)≤0
数学(文科)试题第 2 页(共 4 页)

为假命题,则实数 m 的取值范围为__________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

? 设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) cos x . 3
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

? (Ⅱ)讨论 f ( x) 在 [0, ] 上单调性. 2
17. (本题满分 12 分) 已知{an}为等差数列,且 a4=14,a5+a8=48. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和,若 b1=a1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,求 S4. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ?2. x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 (1,f (1)) 处的切线方程为 y=2x+b,求 a, b 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ≥0 对任意 x>0 恒成立,求 a 的最小值. 19. (本题满分 12 分) 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训 OASBCD, 道路的平面图如图所示 (单位: 线段 ASB 为函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0 , A |φ|<
S B C D x y







km) , 已知曲 0<ω<1 ,

? ), x∈[0,3]的图象,且最高点为 2
1

S(1 , 2) ,折 OD=4,折线

线段 AOD 为固定线路,其中 AO= 3 , O

3

段 BCD 为可变线路,但为保证驾驶安全,限定∠BCD=120?. (Ⅰ)求 A,ω,φ 的值; (Ⅱ)应如何设计,才能使折线段道路 BCD 最长? 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f (x)=x2+bx+2,g(x)=|x2-1|,x∈R. (Ⅰ)若函数 f (x)满足 f (1+x)= f (2-x),求使不等式 f (x)≥g(x)成立的 x 的取值集合; (Ⅱ)若函数 h(x)= f (x)+g(x)+2 在(0,2)上有两个不同的零点 x1,x2,求实数 b 的取值范 围. 21. (本题满分 14 分)
数学(文科)试题第 3 页(共 4 页)

已知函数 f ( x) ? ex ? x2 ? ax . (Ⅰ)若 a<0,求 f (x)在[-2,0]上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f (x)恰有两个不同的极值点 x1,x2,x1<x2. ① 证明 x1<ln2; ② 求 f (x1)的最小值,并指出此时 a 的值.

数学(文科)试题第 4 页(共 4 页)

绵阳市高 2011 级第一次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBDDB AACAD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
5

11.9 14. ( , e2 )

12. a 6

13.5

1 e

15.m<0 或 m>2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (I) f ( x) ? 2(sin x cos

?
3

? cos x sin ) cos x 3

?

? sin x cos x ? 3 cos2 x
? 1 3 (1 ? cos 2 x) sin 2 x ? 2 2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? sin(2 x ?

?
3

)?

3 ,?????????????????6 分 2

∴ T?

2? ? ? ,即 f(x)的最小正周期为 π. ?????????????7 分 2

(II)由 2kπ ?

π π π π 5π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 12 2 2 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,可得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k∈Z, 3 2 2 12 12 π 5π 即函数 f(x)的单调递减区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 ?π 11π 单调递增区间为 [kπ ? ,kπ ? ] ,k∈Z, 12 12 5π 5π π ∴ f (x)在[ 0, ]上是减函数,在[ , ]上是增函数. ??????12 分 12 ?? 2

17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a1=2,d=4. ??????????????4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 48,
∴an=2+4(n-1)=4n-2.??????????????????????6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1=b1,S2=2b1,S3=3b1, 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b1=4b1,而 b1≠0,故 q=1 不合题意. ??????????????????????7 分 若 q≠1,则 S1=b1, S 2 ? 于是 2 ? 2 ?
b1 (1 ? q ) b (1 ? q 3 ) , S3 ? 1 , 1? q 1? q
2

b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) ? 3b1 ? 1 , 1? q 1? q
数学(文科)试题第 5 页(共 4 页)

整理得:4q2=3q+q3,解得 q=0(舍去) ,q=1(舍去) ,q=3, ???10 分 ∴ S4 ?
2 ? (1 ? 34 ) ? 80 . ?????????????????????12 分 1? 3

18.解: (I)∵ f ?( x) ?

1 a , ? x x2

∴ 由题意知 f ?(1) ? 2 ,即 1-a=2,解得 a=-1. 于是 f(1)=-1-2=-3, ∴ -3=2×1+b,解得 b=-5. ???????????????????6 分 (II)由题知 ln x ?

a ? 2 ≥0 对任意 x>0 恒成立,即 a≥ 2 x ? x ln x , x

令 g ( x) ? 2 x ? x ln x , ∴ g ?( x) ? 2 ? (ln x ? 1) ? 1 ? ln x . ??????????????????8 分 显然当 0<x<e 时, g ?( x) ? 0 ,即得 g(x)在(0,e)上是增函数, 当 x≥e 时, g ?( x) ≤0,即得 g(x)在 ?e, ? ?? 上是减函数. ∴ g ( x) max ? g (e) ? e . ∴ a≥e,即 a 的最小值为 e.??????????????????12 分 19.解: (I)由已知 A=2, 且有 2 sin(? ? 0 ? ? ) ? 3 ,即 sin? ? 由| ? |<
3 , 2

?
2

得? ?

?
3



又∵ 最高点为(1,2), ∴ 2 sin(? ?

?
3 ?

) ? 2,解得 ? ?

?
6



∴ y ? 2 sin( x ? ) .??????????????????????6 分 6 3 (II)∵ B 点的横坐标为 3,代入函数解析式得 yB ? 2sin( ? 3 ? ) =1, ∴ BD ? 12 ? (4 ? 3)2 ? 2 .???????????????????8 分 在△BCD 中,设∠CBD=θ,则∠BDC=180? -120? -θ=60? -θ. BD CD BC ? ? 由正弦定理有 ,? sin120? sin? sin(60? ? ? ) ∴ CD ?
2 6 2 6 sin? , BC ? sin(60? ? ? ) , 3 3

?

π 6

π 3

?????????????9 分

∴ BC ? CD ?

2 6 [sin? ? sin(60? ? ? )] 3

?
?

2 6 3 1 [sin ? ? cos ? ? sin? ] 3 2 2
2 6 ? sin(? ? ) . 3 3

∴ 当且仅当 ? ?

?
6

时,折线段 BCD 最长,最长为

2 6 千米.?????12 分 3

数学(文科)试题第 6 页(共 4 页)

20.解: (I)由于 f(1+x)=f(2-x)知函数 f(x)关于 x ? 即?

3 对称, 2

b 3 2 ? ,解得 b=-3,于是 f(x)=x -3x+2.????????????3 分 2 2

2 ? x ? ?1或x ? 1, ? x ? 1, g ( x) ? ? 2 ? 1 ? x ? 1, ? ?1 ? x ,

当 x≤-1,或 x≥1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1,解得 x≤1, ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1,或 x=1. 当-1<x<1 时,由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2,解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤

1 或 x≥1, 2

1 . 2

∴ 综上知,使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤

1 或 x=1}. 2

????????????????????????7 分

?2 x 2 ? bx ? 3,x ? ?1或x ? 1, (II) h( x) ? ? ? 1 ? x ? 1, ?bx ? 5, ?2 x2 ? 3,x ? ?1或x ? 1, 若 b=0 时, h( x) ? ? 显然 h(x)>0 恒成立,不满足条件. ? 1 ? x ? 1. ?5,
?????????????????????????9 分 若 b≠0 时,函数 ? (x)=bx+5 在(0,1)上是单调函数, 即 ? (x)在(0,1)上至多一个零点,不妨设 0<x1<x2<2. ①如果 0<x1<1,1≤x2<2 时,则 ? (0)? (1) ? 0 ,且 h(1)h(2) ≤0,即

?b ? 5 ? 0, 11 解得 ? ≤ b ? ?5 . ? 2 ?(b ? 5)(2b ? 11) ? 0,

10 11 11 时, h( x) 的零点为 ,2(舍去) ,∴ ? < b ? ?5 . 2 11 2 ②若 1≤x1<x2<2 时,
经检验 b ? ?

? h(1) ? 1, ?b ? 5 ? 0, ? h(2) ? 0, ?2b ? 11 ? 0, ? ? ? 即? 得:-5≤ b ? ?2 6 . b ? ? 8 ? b ? ?4, 1 ? ? ? 2 , ? ? 4 ? 2 ?b ? ?2 6或b ? 2 6, ? ? ?b ? 24 ? 0,
∴ 综上所述 b 的取值范围为 ?

11 ? b ? ?2 6 . ???????????12 分 2

21.解: (I)∵ f ?( x) ? e x ? 2x ? a(a ? 0) , ∴ 当 x∈[-2,0]时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x)在[-2,0]上是增函数, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 1 . ??????????????????????4 分 (II)∵ 函数 f(x)恰有两个不同的极值点 x1,x2, ∴ 方程 ex-2x-a=0 有两个不同的零点 x1,x2. 令 h(x)=ex-2x-a. ① h?( x) ? e x ? 2 ,
数学(文科)试题第 7 页(共 4 页)

当 x ? ln 2 时, h?( x) ? 0 ,h(x)是减函数; 当 x ? ln 2 时, h ? (x)>0,h(x)是增函数, ∴ h( x) 在 x=ln2 时取得最小值. ∴ x1<ln2.???????????????????????????9 分 ②∵ h(x1)=0,即 e x1 ? 2 x1 ? a ? 0 , ∴ a ? e x1 ? 2 x1 .
2 2 于是 f ( x1) ? e x1 ? x1 , ? (e x1 ? 2x1) ? x1 ? (1 ? x1)ex1 ? x1

∴ f ?( x1) ? x1(2 ? ex1 ) . ∵ x1<ln2, ∴ 2 ? e x1 ? 0 . ∴ 当 x1<0 时, f ?( x1 ) ? 0 ,f(x1)是减函数; 当 0≤x1<ln2 时, f ?( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) 是增函数. ∴ f (x1)在(-∞,ln2)上的最小值为 f(0)=1,此时 a=1.???????14 分

数学(文科)试题第 8 页(共 4 页)


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