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2015-2016学年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

时间:2015-10-21


3.1 3.1.1

函数与方程

方程的根与函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的定义,会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解 函数的零点与方程的根的联系.

[知识链接] 考察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x -2x-3=0 与函数 y=x -2x-3; (

2)方程 x -2x+1=0 与函数 y=x -2x+1; (3)方程 x -2x+3=0 与函数 y=x -2x+3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标吗? 答案 方程 函数
2 2 2 2 2 2

x2-2x-3=0 y=x2-2x-3

x2-2x+1=0 y=x2-2x+1

x2-2x+3=0 y=x2-2x+3

函数的图象

方程的实数根 函数的图象与

x1=-1,x2=3
(-1,0)、(3,0)

x1=x2=1
(1,0)

无实数根 无交点

x 轴的交点
[预习导引] 1.函数的零点

对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点.
1

2.方程、函数、图象之间的关系; 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 3.函数零点存在的判定方法 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0.那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 方程 f(x)=0 的根. 温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可,否则不一定存在零点;反过来,若函数 y=

f(x)在区间(a,b)内有零点,则 f(a)·f(b)<0 不一定成立.

要点一 求函数的零点 例 1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=x +7x+6; (2)f(x)=1-log2(x+3); (3)f(x)=2 (4)f(x)=
x-1
2

-3;

x2+4x-12 . x-2
2

解 (1)解方程 f(x)=x +7x+6=0, 得 x=-1 或 x=-6, 所以函数的零点是-1,-6. (2)解方程 f(x)=1-log2(x+3)=0,得 x=-1, 所以函数的零点是-1. (3)解方程 f(x)=2
x-1

-3=0,得 x=log26,

所以函数的零点是 log26.

x2+4x-12 (4)解方程 f(x)= =0,得 x=-6, x-2
所以函数的零点为-6. 规律方法 求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根;(2)几何法:对 于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找 出零点. 跟踪演练 1 判断下列说法是否正确: (1)函数 f(x)=x -2x 的零点为(0,0),(2,0); (2)函数 f(x)=x-1(2≤x≤5)的零点为 x=1. 解 (1)函数的零点是使函数值为 0 的自变量的值,所以函数 f(x)=x -2x 的零点为 0 和 2,
2
2 2

故(1)错. (2)虽然 f(1)=0, 但 1?[2,5], 即 1 不在函数 f(x)=x-1 的定义域内, 所以函数在定义域[2,5] 内无零点,故(2)错. 要点二 判断函数零点所在区间 例 2 在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间为(
x

)

? 1 ? A.?- ,0? ? 4 ? ?1 1? C.? , ? ?4 2?
答案 C

? 1? B.?0, ? ? 4? ?1 3? D.? , ? ?2 4?

?1? 4 解析 ∵f? ?= e-2<0, ?4?
f( )= e-1>0,∴f? ?·f? ?<0, 4 2
1 2

?1? ? ?

?1? ? ?

?1 1? ∴零点在? , ?上. ?4 2?
规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法:一是利用零点存在定理,二是利用函数图象. 2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ,若 f(x)图象在 [a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上必有零点,若 f(a)·f(b)>0,则 f(x) 在(a,b)上不一定没有零点. 跟踪演练 2 函数 f(x)=e +x-2 所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) 答案 C 解析 ∵f(0)=e +0-2=-1<0,
0

x

)

C.(0,1) D.(1,2)

f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在(0,1)内有零点. 要点三 判断函数零点的个数 例 3 判断函数 f(x)=ln x+x -3 的零点的个数. 解 方法一 函数对应的方程为 ln x+x -3=0,所以原函数零点的个数即为函数 y=ln x 与 y=3-x 的图象交点个数. 在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图).
2 2 2

由图象知,函数 y=3-x 与 y=ln x 的图象只有一个交点.从而 ln x+x -3=0 有一个根,

2

2

3

即函数 y=ln x+x -3 有一个零点. 方法二 由于 f(1)=ln 1+1 -3=-2<0,
2

2

f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0, 又 f(x)=ln x+x -3 的图象在(1,2)上是不间断的,所以 f(x)在(1,2)上必有零点, 又 f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个. 规律方法 判断函数零点个数的方法主要有: (1)对于一般函数的零点个数的判断问题, 可以 先确定零点存在,然后借助于函数的单调性判断零点的个数;(2)由 f(x)=g(x)-h(x)=0, 得 g(x)=h(x),在同一坐标系下作出 y1=g(x)和 y2=h(x)的图象,利用图象判定方程根的个 数;(3)解方程,解得方程根的个数即为函数零点的个数. 跟踪演练 3 函数 f(x)=2 |log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 令 f(x)=2 |log0.5x|-1=0,
x x
2

)

?1?x 可得|log0.5x|=? ? . ?2?

?1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x)的图象,可以发 ?2?
现两个函数图象一定有 2 个交点,因此函数 f(x)有 2 个零点.

1.函数 y=4x-2 的零点是( A.2 B.(-2,0)

)

?1 ? C.? ,0? ?2 ?
答案 D

1 D. 2

1 解析 令 y=4x-2=0,得 x= . 2 1 ∴函数 y=4x-2 的零点为 . 2 2.对于函数 f(x),若 f(-1)·f(3)<0,则( )

4

A.方程 f(x)=0 一定有实数解 B.方程 f(x)=0 一定无实数解 C.方程 f(x)=0 一定有两实根 D.方程 f(x)=0 可能无实数解 答案 D 解析 ∵函数 f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,故尽管 f(-1)·f(3)<0,但未必函数 y=

f(x)在(-1,3)上有实数解.
9 3.函数 y=lg x- 的零点所在的大致区间是(

x

)

A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10) 答案 D 解析 因为 f(9)=lg 9-1<0,

f(10)=lg 10- =1- >0,所以 f(9)·f(10)<0,所以 y=lg x- 在区间(9,10)上有零 10 10 x
点,故选 D. 4.方程 2 -x =0 的解的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 在同一坐标系画出函数 y=2 ,及 y=x 的图象,可看出两图象有三个交点,故 2 -x =0 的解的个数为 3. 5.函数 f(x)=x -2x+a 有两个不同零点,则实数 a 的范围是________. 答案 (-∞,1) 解析 由题意可知,方程 x -2x+a=0 有两个不同解, 故 Δ =4-4a>0,即 a<1.
2 2

9

9

9

x

2

)

x

2

x

2

1.在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数是连续的;(2)定理不可逆;(3)至少存在一 个零点. 2.方程 f(x)=g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标,也是函数 y=f(x)-g(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 3.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有 时化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础.

5

一、基础达标 1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )

答案 A 解析 B,C,D 的图象均与 x 轴有交点,故函数均有零点,A 的图象与 x 轴没有交点,故函数 没有零点. 2.函数 f(x)=(x-1)(x +3x-10)的零点个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 ∵f(x)=(x-1)(x +3x-10) =(x-1)(x+5)(x-2), ∴由 f(x)=0 得 x=-5 或 x=1 或 x=2. 3.根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=e -x-2 的一个零点所在的区间是(
x
2 2

)

)

x
e
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 C

解析 由上表可知 f(1)=2.72-3<0,

f(2)=7.39-4>0,
∴f(1)·f(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)上存在零点. 4.函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点所在的区间为( A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 B 解析 f(1)=ln 1+2-6=-4<0, )

f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0, f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,所以 f(2)·f(3)<0,则函数 f(x)的零点所在的区间为(2,3).
5.方程 log3x+x=3 的解所在的区间为( A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
6

)

答案 C 2 解析 令 f(x)=log3x+x-3, 则 f(2)=log32+2-3=log3 <0, f(3)=log33+3-3=1>0, 3 那么方程 log3x+x=3 的解所在的区间为(2,3). 6.已知函数 f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________. 答案 0 解析 ∵奇函数的图象关于原点对称,∴若 f(x)有三个零点,则其和必为 0. 7.判断函数 f(x)=log2x-x+2 的零点的个数. 解 令 f(x)=0,即 log2x-x+2=0, 即 log2x=x-2. 令 y1=log2x,y2=x-2. 画出两个函数的大致图象,如图所示,

有两个不同的交点. 所以函数 f(x)=log2x-x+2 有两个零点. 二、能力提升 8. 若 a<b<c, 则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别 位于区间( )

A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A 解析 ∵f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+ (x-c)(x-a), ∴f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),

f(c)=(c-a)(c-b),
∵a<b<c,∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0, ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 9.若函数 f(x)=ax -x-1 仅有一个零点,则 a=__________. 1 答案 0 或- 4
7
2

解析 a=0 时,f(x)只有一个零点-1,

a≠0 时,由 Δ =1+4a=0,得 a=- .
10.设 x0 是方程 ln x+x=4 的解,且 x0∈(k,k+1),k∈Z,则 k=________. 答案 2 解析 令 f(x)=ln x+x-4, 且 f(x)在(0,+∞)上递增, ∵f(2)=ln 2+2-4<0,

1 4

f(3)=ln 3-1>0.
∴f(x)在(2,3)内有解,∴k=2. 11.已知函数 f(x)=x -2x-3,x∈[-1,4]. (1)画出函数 y=f(x)的图象,并写出其值域; (2)当 m 为何值时,函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点? 解 (1)依题意:f(x)=(x-1) -4,x∈[-1,4],其图象如图所示.
2 2

由图可知,函数 f(x)的值域为[-4,5]. (2)∵函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点. ∴方程 f(x)=-m 在 x∈[-1,4]上有两相异的实数根, 即函数 y=f(x)与 y=-m 的图象有两 个交点. 由(1)所作图象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<4. ∴当 0≤m<4 时,函数 y=f(x)与 y=-m 的图象有两个交点, 故当 0≤m<4 时,函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点. 三、探究与创新 12.已知二次函数 f(x)满足:f(0)=3;f(x+1)=f(x)+2x. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数 g(x)有 4 个零点,求实数 m 的范围. 解 (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),∵f(0)=3, ∴c=3,∴f(x)=ax +bx+3.
2 2

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+(a+b+3), f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3,
∵f(x+1)=f(x)+2x,
8

?2a+b=b+2, ? ∴? ?a+b+3=3, ?

解得 a=1,b=-1,

∴f(x)=x -x+3. (2)由(1),得 g(x)=x -|x|+3+m, 在平面直角坐标系中,画出函数 g(x)的图象,如图所示,
2

2

由于函数 g(x)有 4 个零点,则函数 g(x)的图象与 x 轴有 4 个交点. 3+m>0, ? ? 由图象得?11 +m<0, ? ?4 11 解得-3<m<- , 4 11? ? 即实数 m 的范围是?-3,- ?. 4? ? 13.已知二次函数 f(x)=x -2ax+4 ,求下列条件下,实数 a 的取值范围. (1)零点均大于 1; (2)一个零点大于 1,一个零点小于 1; (3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内. 解 (1)因为方程 x -2ax+4=0 的两根均大于 1, 结合二次函数的单调性与零点存在定理,得 ?-2a? -16≥0, ? ? ?f?1?=5-2a>0, ? ?a>1.
2 2 2 2

5 解得 2≤a< . 2

(2)因为方程 x -2ax+4=0 的一个根大于 1,一个根小于 1, 5 结合二次函数的单调性与零点存在定理,得 f(1)=5-2a<0,解得 a> . 2 (3)因为方程 x -2ax+4=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内, 结合二次函数的单调性与零点存在定理,得
2

f?0?=4>0, ? ?f?1?=5-2a<0, ?f?6?=40-12a<0, ? ?f?8?=68-16a>0,

10 17 解得 <a< . 3 4

9


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