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一道数学奥林匹克题的再推广 (1)


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2 0 0 3年 第 1 9期 

数 学 通 讯 

4 5  



道 数 学 奥 林 匹 克 题 的 再 推 广 
李建潮  
( 湖 州 市 双 林 中学 , 浙江 3 1 3 01 2 )  <

br />
中 图分 类 号 : 01 2—4 4  

文 献标 识 : A 

文章 编 号 : 0 4 8 8 —7 3 9 5 ( 2 0 0 3 ) 1 9 —0 0 4 5—0 2  

1 9 9 9年 加 拿 大 数 学 奥 林 匹 克 试 题 第 5  
题 :  

( 注: 文[ 1 ] ( 2 ) 式“ =” 号成 立 的条件 “ z。 , z   ,  


,z  

已知 z, Y, z为 满 足 z+Y+z=1的 非 

中 一 个 为 吾 , 另 一 个 为 号 , 其 余, z 一 2  
( 3 )式 的 正 确 性 显 然 . 以 下 分 两 种 

负实 数 , 试证 :  
z   . y +y   z+z 2 z ≤  并 指 出等 号 成 立 的 条 件 .   ( 1 )  

个均为 0 ” 有误 , 其 由: 误把“ 轮换 对 称 式” 当 
作“ 可换 对 称 式 ” ) .  



情形证 明( 4 ) 式 的正确性 , 并 不妨设 z ≥ Y, z  
≥ z.  

文[ 1 ] 将其多元 推广为 :  
若 z1 , z2 , …, z   (  ≥ 3 ) 为 满足 z 1 +z 2   +… +z  =1的非 负 实 数 , 则 


情形 1  

>1 =仇, 这 时 有 

z” Y + . y”   + Zn z 



。 z  +z   2 z  +. . ? +z2   z  +z2   ≤ 

≤z ” 一  ( m y+y z+z   )  

≤z ” 一 - [  ( z+z ) +   1   z ( z+z ) ]  
( 2 )  

当z 。 , z   , …, z  中一 个 为了 2


另 一 个 为 号 ,  


-   .



m  ( z + z ) (   . y + 争)  

其余 7 / 一2个 均 为 0时 等 号 成 立 .   今对 赛 题 ( 1 ) 式与文[ 1 ] 推广( 2 ) 式 分 别 
作 指数推广 .  
≤ 

l L (   一 1 ) z + ( z + z ) + ( n y + 号 z )  
— ——— ——   T— ——— 一
1  ●●, ' - 1  

 

1 赛题 的 指 数 推 广  定理 1   若 z, Y, z为 满 足 z+Y+z=1   的非负实数 ,  , 仇 ∈N+ 且  ≥ 仇 , 则 
z” Ym + Y”   研 + zn x 



 

[ L   — — —  — — ] j   , l + 1  
r 
≤ )  
 

≤   [  
: 一

( ? . ?   ∈N+,   >1 ,. ? .  

( 7 " / +1 )  

情形 2  


≥ 仇 >1 , 这 时 有 

2 7 ” Y  + Y”   m +  ” z拼  

≤z ” ( Y  +Y   一   +   )  

收 稿 日期 : 2 0 0 3~0 0—0 0  

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数 学 通 讯  2 0 0 3年 第 l 9期 

≤  ” (  + 2 )  
:  

( ‘ 。  m ∈ N  , m >1 )  

≤z : ( z 2 +  3 )   +( z 2 +z , ) ” z ?十… 
+z : z   + l +z : + l z ?  
/   , z  m  
‘  

, 王 2 ) m   (   z) 一 ( n y+  
7 t  m  



 

1  

—  一

;  

f  : !  兰 2 ±   : !   ±苎 兰 ! ]  
L   n+   j  

, l   m  

这表 明 , 当 P=五+1时 ( 5 ) 式也成立 .  
综上 1 ) 与2 ) , 知 对 于 任 何 P≥ 3不 等式 

1  
, l   7 , J  

『 l   ! 兰 ±  ±  ] , l +  
n +  J  

( 5 ) 都成立 , 证毕 .  
, z  m  

( , l + m)  

仿 定 理 2的证 明 还 可 得 到 :  
定理 3  若 z 。 , z   , …, z   ( p≥ 4 ) 是 满 

综 上 情 形 1与 2, 知 不 等式 ( 4 ) 成立 , 且  其 中“=” 号成 立 的 条 件 都 是 
f z=0,  
n y+ , l 2,  

足 zl +z 2 +… +z p :1的 非 负 实 数 , 则 
z 。z  + z z , + … + Xp


1  ̄ p + z   z 。 ≤ 丢 ,  

【 z+Y+2=1 ,  
即 z=   ,   ,   0, 证毕 ?  

其 中 P=4时 的 证 明是 :  
Zl   Z 2 + Z 2Z 3+ X 3   Z4+ Z 4   Z l  



(  l +z 3 ) (  2 +z4 )  

2 文【 1 】 推 广 的 指 数 推 广  定理 2   若 z。 , z 2 , …, z p ( p≥ 3 ) 是 满 
足  l +z 2+… + z p=1的 非 负 实 数 , , z , 7 , z   ∈N+ 且 n ≥m, , z >1 , 则 

≤ (  
:  

)  

4‘  

z : z :+z ; z ;+… +z ; 一 l   +z  7 ≤ 
(   +7 n )   ( 5 )  

当且 仅 当 z。 +x 3 =z  +x 4 =   时取 等 号 .  

最后 , 根据定 理 1 , 2 。 3可 将 文 首 赛 题 再 
推广为 :  

其 中“ =” 号 成 立 当且 仅 当 z   =  
=  

,   … 

定 理  若 z。 , z 2 , …, z   (  ≥3 ) 是 满 足 
zl +z 2 +… +z p=q ( q为 正 常 数 ) 的 非 负 

( i =1 , 2 , …, P; z   + l =z   ) , 其 余 各 
, z十 优   。  

实 数 ;, z , m ∈N+, 则 

项均 为 0 .  

z : z  +z ; z ;+… +z ; 一 1 z ; +z   ≤ 



不 妨 设  c 。 ≥z   ( i =2, 3 , …, P) ,  
, 

1 )当 声:3时 , 由 定 理 1可 知 ( 5 ) 式 成 
立 ;  

(   )   优 不 全 为 1 或  ) ,  
I   ( , z   = 1 且户   3 ) .  
参 考 文 献 

2 )假 设 当 P=启时 ( 5 ) 式成 立 , 则 
z:  :+   - }? ? 『 士.   : z  l +z : + 1  

≤ :  !十  : . z ?寸( z :+  3 ) ” z 了+… 
十  : z  1   + i  

【 1 ] 禹平 君 , 宋庆 . 两 道数 学 竞赛 题 的推 广 . 中学 生 
数学 , 2 0 0 2 , t O ( 上) ,  


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