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高中数学必修二第二章总复习-知识点加练习

时间:2013-06-09


直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 平面与平面平行的判定 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平

行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面与平面平行的性质 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

β ∥α

一、选择题 1、a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若 b ? M,a∥b,则 a∥ M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正确命题的个数有( )
1

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 2.已知:a∥α ,α ∥β ,b?β ,则 a 与 b 的位置关系为( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.以上三种均有可能 3.下列命题中正确的是( ) A.平行于同一个平面的两条直线平行 B.垂直于同一条直线的两条直线平行 C.若直线 a 与平面α 内的无数条直线平行,则 a∥α D.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于两个平面中的一个 4.下列四个命题 (1)存在与两条异面直线都平行的平面; (2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行; (3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行; (4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行. 其中正确的命题是( ) A.(1),(3) B.(2),(4) C.(1),(3),(4) D.(2),(3),(4) 5.在正方体 ABCD—A1BlC1D1 中,下面四条直线中与平面 AB1C 平行的直线是( ) A.DD1 B.AlD1 C.C1D1 D.AlD 6.A 为两异面直线 a,b 外的一点,过点 A 且与 a、b 都平行的平面( ) A.至多有 1 个 B.至少有 1 个 C.有 1 个 D.有 0 个 7.已知平面α ∥平面β ,直线 a∥α ,直线 b∥β 那么,a 与 b 的关系必定是( ) A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 8、下列命题中:(1)平行于同一直线的两个平面平行;(2)平行于同一平面的两个平面平行;(3)垂直于同一 直线的两直线平行;(4)垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( ) A、1 B、2 C、3 D、4 二、填空题 1.下列命题,其中真命题的个数为 . ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a∥ ? ; ④若直线 a∥b,b ? ? ,那么直线 a 就平行于平面 ? 内的

①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l∥ ? ; ③若直线 a∥b,直线 b ? ? ,则 a∥ ? ; 无数条直线. 2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是 ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

(填序号). ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 (填序号).

3.对于平面 ? 和共面的直线 m、n,下列命题中假命题是 ①若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? ②若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n

③若 m ? ? ,n∥ ? ,则 m∥n ④若 m、n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

2

4.已知直线 a,b,平面 ? ,则以下三个命题: ①若 a∥b,b ? ? ,则 a∥ ? ; 其中真命题的个数是 ②若 a∥b,a∥ ? ,则 b∥ ? ; . (填序号). ③若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b.

5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列命题不正确的是 ①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ③若 ? ⊥ ? ,m ? ? ,则 m⊥ ? 6.写出平面 ? ∥平面 ? 的一个充分条件 三、解答题

②若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,m ? ? ,则 m∥ ? (写出一个你认为正确的即可)

例题:正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 证明 方法一 如图所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB,∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB, 又∵PM∥AB∥QN, ∴
QN BQ PM PE PM QN ? ? ? , , ,∴PM DC BD AB DC AB AE

QN,

∴四边形 PMNQ 为平行四边形,∴PQ∥MN. 又 MN ? 平面 BCE,PQ ? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法二

如图所示,连接 AQ,并延长交 BC 于 K,连接 EK,

∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ, ∴
AP DQ = PE BQ



3

又∵AD∥BK,∴ 由①②得

DQ AQ = BQ QK



AP AQ = ,∴PQ∥EK. PE QK

又 PQ ? 平面 BCE,EK ? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法三

如图所示,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M,

连接 QM. ∵PM∥BE,PM ? 平面 BCE, 即 PM∥平面 BCE, ∴
AP AM = PE MB



又∵AP=DQ,∴PE=BQ, ∴
AP DQ = PE BQ



由①②得

AM DQ = ,∴MQ∥AD, MB BQ

∴MQ∥BC,又∵MQ ? 平面 BCE,∴MQ∥平面 BCE. 又∵PM∩MQ=M,∴平面 PMQ∥平面 BCE, PQ ? 平面 PMQ,∴PQ∥平面 BCE.

1.如图所示,在三棱柱 ABC— A1 B1C1 D1 中,M、N 分别是 BC 和 A1 B1 的中点.求证:MN∥平面 AA 1 C 1 C. .

4

2.如图所示,已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA=SB=SC,SG 为△SAB 上的高,D、E、F 分别是 AC、BC、 SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给予证明.

3.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、C1D1、A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H.

5

4.已知正方体 ABCD ? A B1C1D1,求证:平面B1 AD1 / / 平面BC1D 1

5、如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: (1)直线 EF // 平面 ACD ; (2)平面 EFC ? 平面 BCD .

6

6. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC ,PA ? 平面 ABCD , PA ?AB , E 是 PD 且 点 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ;

直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 β

直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
7

2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

一、选择题 1.下列命题是真命题的是( ) B.若 a⊥α ,则 a 可与α 内的某条直线不垂直 D.若直线 a 和平面α 内的某条直线垂直,则 a 与α 垂直

A.a⊥α ? b 是α 内任一直线且 a⊥b C.若 a⊥α ,则 a 可与α 没有公共点 2.下列命题是真命题的是( )

A.若 a 垂直于α 内的一条直线,则 a⊥α C.若 a 垂直于α 内的三条直线,则 a⊥α 3.下列结论不正确的是( ... )

B.若 a 垂直于α 内的两条直线,则 a⊥α D.若 a 垂直于α 内的两条相交直线,则 a⊥α

A.若两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面 B.若两条平行线中的一条不垂直于某个平面,则另一条也不垂直于这个平面 C.若三条平行线中的一条垂直于某个平面,则这三条直线都垂直于这个平面 D.若三条平行线中的一条不垂直于某个平面,则另两条中可以有一条和这个平面垂直 4.直线 l⊥平面α ,直线 m ? α ,则有( A.l 和 m 异面 B.l 和 m 相交 C.l∥m ) B.l 和α 相互垂直 D.不确定 )
8

) D.l 不平行于 m

5.直线 l 和平面α 内无数条直线垂直,则( A.l 和α 相互平行 C.l 在α 内 6.直线 l 和平面α 垂直是指(

A.l 和α 内的无数条直线垂直 C.l 和α 内的所有直线垂直 7、二面角指的是( ) A.两个平面相交所组成的角

B.l 和α 内的两条直线垂直 D.l 和α 内的某些直线垂直 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 D.两个平面所夹的不大于 90°的角

C.一条直线出发的两个半平面组成的图形

8、 如图设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,则平面 PAB 与平面 PBC、 平面 PAD 的位置关系是(

)

A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直、与平面 PAD 不垂直 9、下列命题正确的是( )

B.它们两两都垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直

A.垂直于同一条直线的两直线平行 C.垂直于同一个平面的两直线平行 10、下列说法中正确的是( )

B.垂直于同一条直线的两直线垂直 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行

①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 A.①②③ B.①②③④ C.②③ )

②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 D.②③④

11. 已知两个平面垂直,下列命题(

① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是( A.3 B.2 ) C.1 D.0

12. 已知直线 l ? 平面? ,有以下几个判断: ① 若 m ? l ,则 m//? ; ② 若 m ? ? ,则 m//l ; ③ 若 m//? ,则

m ? l ; ④ 若 m//l ,则 m ? ? .上述判断中正确的是(


9

A. ①②③

B. ②③④

C. ①③④

D. ①②④

13. 已知三条直线 m , n , l ,三个平面 ? , ? , ? .下面四个命题中,正确的是(



A.

? ?? ? ? ? ? //? ? ???

B.

m//? ? ??l ? ? l ?m?

C.

m//? ? ? ? m//n n//? ?

D.

m??? ? ? m//n n ?? ?

二、填空 1. 已知直线 a , b 和平面 ? ,且 a ? b , a ? ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 . 2、直线 a 不垂直于平面 ? ,则 ? 内与 a 垂直的直线有___________. 3、如图,P 是二面角 α-AB-β 的棱 AB 上一点,分别在 α、β 上引射线 PM、PN,截 PM=PN,如果∠BPM=∠BPN=45° , ∠MPN=60° ,则二面角 α-AB-β 的大小是___________.

4、设 a , b 是异面直线 ①.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a , b 都相交 ②.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a , b 垂直 ③.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 ④.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 其中正确的两个命题是___________. 5. 下面四个命题: ① 若直线 a// 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 a 平行; ②若直线 a ? 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 a 垂直; ③ 若平面 ? // 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 ? 平行; 其中正确的两个命题是___________. 三、解答题 1、如图,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC 都全等,且 棱、以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角的大小. ,BC=2,求以 BC 为 ④若平面 ? ? 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 ? 垂直.

10

2 如图所示 ABCD 为正方形,SA ? 平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB ,SC ,SD 于 E ,F ,G . 求证: AE ? SB,AG ? SD . S

F

G
D E

C

A

B

3 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD , AE ? PD , EF //CD , AM ? EF . 求证: MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线. P

E A
M B F

D

C

4. 如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1) 求证: SD ? 平面 ABC ;
11

(2) 若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

S

A D

C

B
5、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
?

S

D A C B

6、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

D1 A1 D O A B B1

C1

C

7、如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 , ?ADP ~ ?BAD 。
? ?

(1)求线段 PD 的长;
12

(2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。 .

8 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ? 平 面 A B C D, AB ∥ DC , △PAD 是 等 边 三 角 形 , 已 知

BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 .
(Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

9、如图:已知四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD, ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点 求证:(1) PC // 平面 EBD (2)平面 PBC⊥平面 PCD P

E A B

D

C

13

D1 10、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 3 , A1 B1B=BC=1, O (1)求 D D1 与平面 ABD1 所成角的大小; (2)求面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的大小; A B D B1

C1

C

14


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