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新人教A版高中数学必修5 第二章数列2.2 第2课时

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第二章 数 列 第二章 2.2 第2课时 等差数列 等差数列的性质 课前自主预习 2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日, 第 41 届世 博会在中国上海举办,展会期间,人流如织, 总参观人数超过 7000 万,根据有关部门统计, 某展馆 7 月上旬每天平均参观人数为 20 万人, 在后面 70 天内,前 40 天每天增加 0.5 万人, 后 30 天每天减少 1 万人, 问在这时间内, 有多少天参观人数能 达到 30 万人?这是与等差数列单调性有关的问题, 让我们进一 步认识等差数列的有关性质吧! ? 1.等差数列{an},对于任意正整数n,都有an+1-an= ________. [答案] d 2 .等差数列 { a n } ,对于任意正整数 n 、 m ,都有 a n - a m = ________. [答案] (n-m)d ? ? ? 1.等差数列{an}的一些简单性质 (1)对于任意正整数 n、m 都有 an-am=(n-m)D. (2)对任意正整数 p、q、r、s,若 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as. 特别地对任意正整数 p、q、r 若 p+q=2r,则 ap+aq=2ar. (3)对于任意非零常数 b,若数列{an}成等差,公差为 d,则 {ban}也成等差数列,且公差为 bD. (4)若{an}与{bn}都是等差数列,cn=an+bn,dn=an-bn 则 {cn},{dn}都是等差数列. (5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等 差数列.如 a1,a4,a7,?,a3n-2,?成等差数列. (1)等差数列{an}中,a2=3,a8=6,则 a10=________; (2)已知等差数列{an}中,a2=4,a4+a6=26,则 a8 的值是 ________. [ 答案] (1)7 (2)22 [ 解析] (1)设公差为 d,∴a8-a2=6d=3, 1 ∴d=2.∴a10=a8+2d=6+1=7, (2)∵a2+a8=a4+a6=26, ∴a8=26-a2=26-4=22. ? ? 2.等差数列的单调性 等差数列 {a n }的公差为 d ,则当 d = 0时,等差数列 { a n }是常 数列,当d<0时,等差数列{an}是单调递减数列;当d>0时, 等差数列{an}是单调递增数列. 等差数列{an}是递增数列,若 a2+a4=16,a1· a5=28,则通 项 an=________. [ 答案] 3n-1 [ 解析] 设公差为 d, ? ?a1=2 ,解得? ? ?a5=14 ? ?a1=14 或? ? ?a5=2 ∵a2+a4=a1+a5=16, ? ?a1+a5=16 ∴由? ? a5=28 ?a1· . ∵等差数列{an}是递增数列, ∴a1=2,a5=14. a5-a1 12 ∴d= = 4 =3, 5-1 ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 3.等差数列中的设项方法与技巧 (1)若有三个数成等差数列,则一般设为 a-d,a,a+D. (2)若有四个数成等差数列,则一般设为 a-3d,a-d,a +d,a+3D. (3)若有五个数成等差数列,则一般设为 a-2d,a-d,a, a+d,a+2D. 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为 21,前三项 之积为 231,求数列的通项公式. [ 解析] 设等差数列的前三项分别为 a-d,a,a+d,由题 ? ?a-d+a+a+d=21

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